La tabla de la distribución normal estándar tabula los valores de la función de distribución acumulada $$\Phi(z) = P(Z \le z)$$ para una variable $$Z \sim N(0, 1)$$ con pasos de centésimas (desde $$0.00$$ hasta $$3.99$$).
Reglas universales para el manejo de la tabla
Cualquier cálculo probabilístico sobre $$Z \sim N(0, 1)$$ se descompone en una de las cuatro situaciones estándar:
- Probabilidad de cola izquierda con cota positiva ($$z > 0$$): $$P(Z \le z) = \Phi(z) \quad \text{(Lectura directa en tabla)}$$
- Probabilidad de cola derecha con cota positiva ($$z > 0$$): $$P(Z > z) = 1 - P(Z \le z) = 1 - \Phi(z)$$
- Probabilidad con cota negativa (simetría de la campana): Como la campana es simétrica respecto al cero: $$P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$$ $$P(Z > -z) = P(Z < z) = \Phi(z)$$
- Probabilidad comprendida en un intervalo $$[a, b]$$: $$P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)$$
Búsqueda inversa (cálculo de valores críticos $$z_\alpha$$)
Cuando el dato de entrada es la probabilidad $$p$$ y se busca la abscisa $$z$$ tal que $$\Phi(z) = p$$:
- Si $$p > 0.5$$: Se busca el valor más próximo a $$p$$ en el cuerpo numérico interior de la tabla y se leen fila y columna.
- Si $$p < 0.5$$: Por simetría, se busca $$1 - p$$ en la tabla, obteniendo el valor positivo $$z'$$, y la solución requerida es su opuesto simétrico: $$z = -z'$$.
Para una distribución normal estándar $$Z \sim N(0, 1)$$, calculemos la probabilidad $$P(Z \le -1.24)$$ y el intervalo bilateral $$P(-1.24 \le Z \le 1.24)$$:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Utilizando la tabla de la normal estándar $$N(0, 1)$$, calcula: a) $$P(Z \le 1.84)$$, b) $$P(Z > 1.84)$$, c) $$P(Z < -1.84)$$, d) $$P(-1.84 \le Z \le 1.84)$$.
Resolución paso a paso:
Consultamos en la tabla $$\Phi(1.84)$$ (fila 1.8 y columna 0.04): $$\Phi(1.84) = 0.9671$$.
- a) $$P(Z \le 1.84) = \Phi(1.84) = 0.9671$$
- b) $$P(Z > 1.84) = 1 - \Phi(1.84) = 1 - 0.9671 = 0.0329$$
- c) Por simetría: $$P(Z < -1.84) = 1 - \Phi(1.84) = 0.0329$$
- d) Para el intervalo simétrico: $$P(-1.84 \le Z \le 1.84) = \Phi(1.84) - \Phi(-1.84) = 0.9671 - (1 - 0.9671) = 2(0.9671) - 1 = 0.9342$$
Halla el valor exacto de $$z_\alpha$$ tal que $$P(Z \le z_\alpha) = 0.975$$ y $$P(Z \le z_\beta) = 0.990$$.
Resolución paso a paso:
1) Para $$0.9750$$:
Buscando en la tabla en la fila $$1.9$$ y columna $$0.06$$, encontramos el valor exacto $$0.9750$$. Por tanto:
$$z_\alpha = 1.96$$2) Para $$0.9900$$:
Buscando en la fila $$2.3$$:
$$\Phi(2.32) = 0.9898, \quad \Phi(2.33) = 0.9901$$Por interpolación lineal equidistante:
$$z_\beta \approx 2.326 \quad (\text{o } 2.33)$$Calcula la probabilidad acumulada entre dos cotas negativas: $$P(-2.15 \le Z \le -0.45)$$.
Resolución paso a paso:
Aplicamos la propiedad de sustracción de la función de distribución:
$$P(-2.15 \le Z \le -0.45) = \Phi(-0.45) - \Phi(-2.15)$$Transformamos cada término a cotas positivas mediante $$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$$:
$$\Phi(-0.45) = 1 - \Phi(0.45) = 1 - 0.6736 = 0.3264$$ $$\Phi(-2.15) = 1 - \Phi(2.15) = 1 - 0.9842 = 0.0158$$Restamos los valores acumulados:
$$P(-2.15 \le Z \le -0.45) = 0.3264 - 0.0158 = 0.3106$$