La distribución Normal o Gaussiana, denotada por $$N(\mu, \sigma)$$, es la distribución continua más trascendente de la ciencia y la estadística, descrita gráficamente por la célebre Campana de Gauss.
Función de densidad normal
Una variable $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ con media $$\mu \in \mathbb{R}$$ y desviación típica $$\sigma > 0$$ tiene por función de densidad:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$Propiedades geométricas fundamentales
- Simetría absoluta: La curva es estrictamente simétrica respecto a la recta vertical $$x = \mu$$. En dicho eje coinciden media, mediana y moda.
- Máximo absoluto: Se alcanza en la media $$x = \mu$$, con valor de ordenada $$f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$$.
- Puntos de inflexión: La curvatura cambia de cóncava a convexa en $$x = \mu - \sigma$$ y en $$x = \mu + \sigma$$.
- Asíntota horizontal: El eje de abscisas $$y = 0$$ es asíntota bilateral cuando $$x \to \pm\infty$$.
- Área total: El área encerrada bajo toda la campana es exactamente igual a $$1$$.
Regla empírica o regla 68-95-99.7
- En $$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$$ queda encerrado el $$68.27\%$$ de la masa total.
- En $$[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$$ se concentra el $$95.45\%$$.
- En $$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$$ se encuentra el $$99.73\%$$ de todas las observaciones.
Tipificación de la variable ($$Z$$)
Dado que la integral de $$f(x)$$ carece de primitiva elemental en términos de funciones algebraicas estándar, se realiza una transformación de cambio de escala y traslación denominada tipificación, reduciendo cualquier variable general a la normal estándar $$Z \sim N(0, 1)$$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$Esta variable $$Z$$ tiene media cero $$\mu_Z = 0$$ y varianza unitaria $$\sigma_Z = 1$$.
Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal $$X \sim N(\mu = 100, \sigma = 15)$$.
Para determinar la probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación menor o igual a $$130$$, tipificamos la variable a la normal estándar $$Z \sim N(0, 1)$$:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
La estatura de los adultos de una ciudad sigue una distribución $$N(172, 10)$$ en centímetros. Halla la proporción de personas que miden más de $$185\text{ cm}$$.
Resolución paso a paso:
1) Tipificamos la variable $$X$$ definiendo $$Z = \frac{X - 172}{10}$$:
$$X = 185 \implies Z = \frac{185 - 172}{10} = \frac{13}{10} = 1.3$$2) Expresamos la probabilidad en términos de $$Z$$:
$$P(X > 185) = P(Z > 1.3) = 1 - P(Z \le 1.3) = 1 - \Phi(1.3)$$3) Consultando el valor de la normal estándar $$\Phi(1.30) = 0.9032$$:
$$P(X > 185) = 1 - 0.9032 = 0.0968 \quad (9.68\%)$$Sea $$X \sim N(50, 6)$$. Calcula la probabilidad de que $$X$$ sea inferior a $$41$$.
Resolución paso a paso:
1) Tipificamos la cota $$x = 41$$:
$$Z = \frac{41 - 50}{6} = \frac{-9}{6} = -1.5$$2) Por simetría de la campana de Gauss respecto al origen en $$N(0, 1)$$:
$$P(Z \le -1.5) = P(Z \ge 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5) = 1 - \Phi(1.50)$$3) Buscando $$\Phi(1.50) = 0.9332$$:
$$P(X < 41) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \quad (6.68\%)$$El peso de un producto sigue una distribución normal con media $$\mu = 250\text{ g}$$. Si el $$10\%$$ de los productos pesa más de $$260\text{ g}$$, calcula la desviación típica $$\sigma$$.
Resolución paso a paso:
1) La condición es $$P(X > 260) = 0.10$$, lo que equivale a $$P(X \le 260) = 0.90$$.
2) En la tabla de la normal estándar $$N(0, 1)$$, buscamos el valor crítico $$z$$ tal que $$\Phi(z) = 0.90$$:
$$\Phi(1.28) = 0.8997, \quad \Phi(1.29) = 0.9015 \implies z \approx 1.282$$3) Igualamos con la fórmula de tipificación:
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma} \implies 1.282 = \frac{260 - 250}{\sigma} = \frac{10}{\sigma}$$ $$\sigma = \frac{10}{1.282} \approx 7.80\text{ g}$$