Bloque 4: Probabilidad y Estadística

4.3.7 Aproximación de la binomial por la normal

Teorema de De Moivre-Laplace, condiciones de validez np >= 5 y nq >= 5, corrección de continuidad o de Yates y cálculo práctico de probabilidades.

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El Teorema de De Moivre-Laplace (caso particular del Teorema Central del Límite) demuestra que cuando el número de repeticiones $$n$$ de un proceso binomial es suficientemente elevado, la distribución discreta $$B(n, p)$$ converge a una distribución continua normal con su misma media y varianza.

Condiciones de aplicabilidad

La aproximación normal proporciona una precisión matemática rigurosa cuando se satisfacen conjuntamente los siguientes criterios:

  1. $$n$$ es suficientemente grande (habitualmente $$n \ge 30$$).
  2. $$n \cdot p \ge 5$$
  3. $$n \cdot q = n(1 - p) \ge 5$$

Bajo estas condiciones:

$$X \sim B(n, p) \quad \xrightarrow{\text{aprox.}} \quad X' \sim N(\mu, \sigma) = N(n p, \sqrt{n p q})$$

Corrección de continuidad o de Yates

Dado que aproximamos una variable discreta (cuyas probabilidades están concentradas en puntos enteros aislados $$k$$) mediante una variable continua (donde la probabilidad puntual es nula, $$P(X' = k) = 0$$), es imprescindible aplicar la corrección por continuidad, expandiendo cada punto $$k$$ en el intervalo $$[k - 0.5, k + 0.5]$$:

  • Probabilidad puntual: $$P(X = k) \approx P(k - 0.5 \le X' \le k + 0.5)$$
  • Menor o igual ($$\le$$): $$P(X \le k) \approx P(X' \le k + 0.5)$$
  • Estrictamente menor ($$<$$): $$P(X < k) = P(X \le k - 1) \approx P(X' \le k - 0.5)$$
  • Mayor o igual ($$\ge$$): $$P(X \ge k) \approx P(X' \ge k - 0.5)$$
  • Estrictamente mayor ($$>$$): $$P(X > k) = P(X \ge k + 1) \approx P(X' \ge k + 0.5)$$
  • Intervalo: $$P(a \le X \le b) \approx P(a - 0.5 \le X' \le b + 0.5)$$
📌 Ejemplo Concreto de Aproximación Normal con Corrección de Yates:

Sea $$X \sim B(100, 0.4)$$. Verificamos las condiciones: $$n = 100 \ge 30$$, $$np = 40 \ge 5$$, $$nq = 60 \ge 5$$.

Aproximamos por $$Y \sim N(\mu = 40, \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.90)$$. Para calcular $$P(X \ge 45)$$ aplicamos la corrección de continuidad restando $$0.5$$:

$$P(X \ge 45) \approx P(Y \ge 44.5) = P\left(Z \ge \frac{44.5 - 40}{4.90} ight) = P(Z \ge 0.92) = 1 - \Phi(0.92) = 1 - 0.8212 = 0.1788 \quad (17.88\%)$$

Ejemplos Canónicos Desarrollados

Ejemplo 1 Lanzamiento multitudinario de monedas y número de caras

Se lanza una moneda equilibrada $$100$$ veces. Calcula la probabilidad de obtener entre $$45$$ y $$55$$ caras (ambos incluidos).

Resolución paso a paso:

1) Modelizamos como variable Binomial:

$$X = \text{número de caras} \sim B(100, 0.5)$$

2) Comprobamos las condiciones de De Moivre-Laplace:

$$n = 100 \ge 30, \quad n p = 100(0.5) = 50 \ge 5, \quad n q = 100(0.5) = 50 \ge 5$$

Parámetros de la normal equivalente $$X'$$:

$$\mu = n p = 50, \quad \sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5$$ $$X' \sim N(50, 5)$$

3) Aplicamos la corrección de continuidad de Yates:

$$P(45 \le X \le 55) \approx P(44.5 \le X' \le 55.5)$$

4) Tipificamos los extremos:

$$Z_1 = \frac{44.5 - 50}{5} = \frac{-5.5}{5} = -1.10$$ $$Z_2 = \frac{55.5 - 50}{5} = \frac{5.5}{5} = +1.10$$

5) Calculamos con la tabla $$N(0, 1)$$:

$$P(-1.10 \le Z \le 1.10) = 2\Phi(1.10) - 1 = 2(0.8643) - 1 = 1.7286 - 1 = 0.7286$$
Ejemplo 2 Control de pasajeros y sobreventa de billetes de avión

Una aerolínea vende $$200$$ billetes para un vuelo con $$192$$ plazas disponibles. La probabilidad de que un pasajero no se presente es del $$10\%$$. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún pasajero se quede en tierra por falta de plazas?

Resolución paso a paso:

1) Sea $$X$$ el número de pasajeros que se presentan al vuelo:

$$n = 200, \quad p = 0.90, \quad q = 0.10 \implies X \sim B(200, 0.9)$$

Condiciones: $$n p = 180 \ge 5$$, $$n q = 20 \ge 5$$. Aproximable por:

$$\mu = 180, \quad \sigma = \sqrt{200 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{18} \approx 4.2426$$ $$X' \sim N(180, 4.2426)$$

2) Nadie se queda en tierra si se presentan $$192$$ o menos pasajeros: $$P(X \le 192)$$.

3) Aplicamos la corrección de continuidad:

$$P(X \le 192) \approx P(X' \le 192.5)$$

4) Tipificamos:

$$Z = \frac{192.5 - 180}{4.2426} = \frac{12.5}{4.2426} \approx 2.95$$

5) Buscamos en la tabla:

$$P(Z \le 2.95) = \Phi(2.95) = 0.9984$$

La probabilidad de que todos puedan embarcar es del $$99.84\%$$.

Ejemplo 3 Probabilidad de una cota estricta en sondeos electorales

En una población el $$40\%$$ apoya una propuesta. Se encuesta a $$150$$ personas. Halla la probabilidad de que más de $$70$$ personas la apoyen.

Resolución paso a paso:

1) Binomial original: $$X \sim B(150, 0.4)$$.

$$n p = 150 \times 0.4 = 60 \ge 5, \quad n q = 150 \times 0.6 = 90 \ge 5$$ $$\mu = 60, \quad \sigma = \sqrt{150 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \implies X' \sim N(60, 6)$$

2) Condición estricta: $$P(X > 70) = P(X \ge 71)$$.

3) Con corrección de continuidad:

$$P(X > 70) \approx P(X' \ge 70.5)$$

4) Tipificamos:

$$Z = \frac{70.5 - 60}{6} = \frac{10.5}{6} = 1.75$$ $$P(Z \ge 1.75) = 1 - \Phi(1.75) = 1 - 0.9599 = 0.0401 \quad (4.01\%)$$