2.3.3 Área del paralelogramo y del triángulo
Cálculo geométrico del área de paralelogramos y triángulos en el espacio mediante el módulo del producto vectorial.
1. Área del Paralelogramo
Geométricamente, la altura de un paralelogramo de lados $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ es $$h = |\vec{v}| \sin(\alpha)$$. En consecuencia, su área coincide con el módulo del producto vectorial:
Hallemos el área del paralelogramo sustentado por $$\vec{u} = (3, 1, 0)$$ y $$\vec{v} = (0, 2, 4)$$:
2. Área del Triángulo en el Espacio
Dados tres puntos no alineados $$A$$, $$B$$ y $$C$$ en $$\mathbb{R}^3$$, el triángulo que determinan es exactamente la mitad del paralelogramo:
Dados los vértices $$A(1, 1, 1)$$, $$B(2, 3, 1)$$ y $$C(1, 2, 3)$$, calculamos los vectores de los lados contiguos:
Calculamos el producto vectorial y dividimos su módulo por dos:
3. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla el área del paralelogramo generado por $$\vec{u}=(1, 2, 0)$$ y $$\vec{v}=(0, 3, 1)$$.
$$\vec{u} \times \vec{v} = (2, -1, 3)$$
$$\text{Área} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \; \text{u}^2$$
Enunciado: Halla el área del triángulo de vértices $$A(1, 0, 1)$$, $$B(2, 1, 2)$$ y $$C(3, 0, 4)$$.
$$\vec{AB}=(1, 1, 1), \; \vec{AC}=(2, 0, 3) \implies \vec{AB} \times \vec{AC} = (3, -1, -2)$$
$$\text{Área} = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 1 + 4} = \frac{\sqrt{14}}{2} \; \text{u}^2$$
Enunciado: Calcula la altura sobre el lado $$AB$$ del triángulo anterior.
$$h = \frac{2\text{Área}}{|\vec{AB}|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}} \; \text{u}$$