📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.3.2 Propiedades del producto vectorial

Propiedades de anticonmutatividad, distributiva vectorial, homogeneidad escalar y condición de paralelismo lineal.

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1. Propiedades Operacionales del Producto Vectorial

El producto vectorial posee una estructura algebraica muy particular que lo distingue radicalmente del producto numérico habitual:

Anticonmutativa: $$\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$$
No asociativa: $$(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \neq \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w})$$
Distributiva respecto a la suma: $$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$$
Homogeneidad escalar: $$(k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v})$$

Criterio Fundamental de Paralelismo

\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}

📌 Ejemplo Concreto de Anticonmutatividad y Paralelismo:

Consideremos $$\vec{u} = (1, 0, 2)$$ y $$\vec{v} = (0, 3, 1)$$:

\vec{u} \times \vec{v} = (-6, \, -1, \, 3), \quad \vec{v} \times \vec{u} = (6, \, 1, \, -3) = -(\vec{u} \times \vec{v})

Comprobemos además el criterio de paralelismo con un vector proporcional $$\vec{w} = 2\vec{u} = (2, 0, 4)$$:

\vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (0, \, 0, \, 0) = \vec{0} \implies \vec{u} \parallel \vec{w}

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Simplificación de Expresión Vectorial

Enunciado: Simplifica $$(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})$$.

Paso 1: Aplicar distributiva y anticonmutatividad

$$=\vec{u}\times\vec{u} - \vec{u}\times\vec{v} + \vec{v}\times\vec{u} - \vec{v}\times\vec{v} = \vec{0} - \vec{u}\times\vec{v} - \vec{u}\times\vec{v} - \vec{0} = 2(\vec{v} \times \vec{u})$$

Ejemplo 2: Demostración de No Asociatividad

Enunciado: Comprueba con los vectores de la base canónica que el producto vectorial no es asociativo.

Paso 1: Evaluación directa

$$(\vec{i} \times \vec{i}) \times \vec{j} = \vec{0} \times \vec{j} = \vec{0}$$

$$\vec{i} \times (\vec{i} \times \vec{j}) = \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} \neq \vec{0}$$

Ejemplo 3: Paralelismo por Producto Nulo

Enunciado: Comprueba si $$\vec{u}=(2, -4, 6)$$ y $$\vec{v}=(-1, 2, -3)$$ son paralelos.

Paso 1: Cálculo del producto vectorial

$$\vec{u} \times \vec{v} = (12 - 12, \; -(-6 - (-6)), \; 4 - 4) = (0, 0, 0) \implies \vec{u} \parallel \vec{v}$$

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