📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.2 Propiedades del producto escalar

Propiedades conmutativa, distributiva respecto a la suma vectorial, homogeneidad escalar, positividad definida y desigualdad de Cauchy-Schwarz.

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1. Propiedades Fundamentales del Producto Escalar

El producto escalar en $$\mathbb{R}^3$$ satisface las siguientes propiedades estructurales que lo definen como una forma bilineal simétrica definida positiva:

Conmutativa: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$$
Distributiva: $$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$$
Asociatividad mixta: $$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$$ para todo $$k \in \mathbb{R}$$
Positividad definida: $$\vec{u} \cdot \vec{u} \ge 0$$, anulándose únicamente si $$\vec{u} = \vec{0}$$

📌 Ejemplo Concreto de Propiedad Conmutativa y Distributiva:

Sean $$\vec{u} = (1, 2, 0)$$, $$\vec{v} = (3, -1, 2)$$ y $$\vec{w} = (0, 1, 4)$$. Verificamos la conmutatividad y distributiva:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(3) + 2(-1) + 0(2) = 1, \quad \vec{v} \cdot \vec{u} = 3(1) + (-1)(2) + 2(0) = 1

Para la suma $$\vec{v} + \vec{w} = (3, 0, 6)$$:

\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = 1(3) + 2(0) + 0(6) = 3

Distribuyendo: $$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} = 1 + (1(0) + 2(1) + 0(4)) = 1 + 2 = 3$$. Se verifica la identidad.

2. Desigualdad de Cauchy-Schwarz

|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|

La igualdad estricta se alcanza si y solo si los vectores son colineales (proporcionales).

📌 Ejemplo Concreto de Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Comprobemos que $$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$$ para $$\vec{u} = (1, 2, 2)$$ y $$\vec{v} = (2, 0, -1)$$:

|\vec{u}| = \sqrt{1+4+4} = 3, \quad |\vec{v}| = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}

El producto escalar es $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(2) + 2(0) + 2(-1) = 0$$. Por tanto:

|0| \le 3 \cdot \sqrt{5} \iff 0 \le 6.708

Cumpliéndose la desigualdad estricta al no ser linealmente dependientes.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Módulo de la Suma Vectorial

Enunciado: Demostrar que $$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2$$.

Paso 1: Aplicar distributiva

$$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}$$

Paso 2: Por conmutatividad

$$= |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2$$

Ejemplo 2: Teorema de Pitágoras Vectorial

Enunciado: Si $$|\vec{u}|=3$$, $$|\vec{v}|=4$$ y $$\vec{u} \perp \vec{v}$$, calcula $$|\vec{u} + \vec{v}|$$.

Paso 1: Nulidad del término cruzado

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies |\vec{u} + \vec{v}|^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \implies |\vec{u} + \vec{v}| = 5$$.

Ejemplo 3: Suma por Diferencia

Enunciado: Desarrolla $$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$$.

Paso 1: Desarrollo

$$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{u} - |\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2$$

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