2.2.2 Propiedades del producto escalar
Análisis exhaustivo de las cuatro leyes fundamentales que rigen algebraicamente la multiplicación escalar de vectores en $R^3$.
Las Cuatro Leyes Fundamentales
El producto escalar no es un simple capricho de cálculo; respeta una serie de propiedades algebraicas que le confieren una estructura matemática muy robusta (creando lo que se denomina un espacio euclídeo).
El orden de los vectores no altera el escalar resultante. Al proyectar $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$, o $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$, la cantidad de superposición geométrica es exactamente idéntica.
Multiplicar escalarmente un vector por una suma de vectores equivale a sumar los productos escalares por separado. Visualmente, proyectar un vector suma equivale a sumar las proyecciones individuales.
Si introducimos un número real $k$ en la operación, da igual si primero escalamos un vector y luego hacemos el producto escalar, o si hacemos el producto y escalamos el número final. Es "mixta" porque mezcla números con vectores.
El producto escalar de un vector consigo mismo siempre da un número positivo (ya que equivale a elevar su módulo al cuadrado). La única forma de que dé exactamente $0$, es que el propio vector sea el vector nulo $\vec{0}$.
Sean $\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,1,0)$ y $\vec{w}=(1,1,0)$. Comprobemos que $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ es lo mismo que hacerlo por separado.
Primero por la izquierda: $\vec{v} + \vec{w} = (1, 2, 0)$.
Producto escalar: $\vec{u} \cdot (1, 2, 0) = (1)(1) + (0)(2) + (0)(0) = 1$.
Ahora por separado: $(\vec{u} \cdot \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{w}) = (0) + (1) = 1$. ¡Se cumple la propiedad!