2.2.1 Producto escalar
Definición geométrica y analítica del producto escalar en el espacio tridimensional, interpretación geométrica y cálculo mediante componentes.
1. Concepto y Definición Geométrica
En el espacio afín euclídeo $$\mathbb{R}^3$$, el producto escalar (también llamado producto punto o producto interno estándar) de dos vectores libres $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ es una operación que asocia a dicho par de vectores un número real (escalar):
donde $$|\vec{u}|$$ y $$|\vec{v}|$$ son los módulos de los vectores y $$\alpha \in [0, \pi]$$ es el menor ángulo formado entre ellos.
Consideremos dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ con módulos $$|\vec{u}| = 5$$, $$|\vec{v}| = 6$$ que forman un ángulo $$\alpha = 45^\circ$$:
El producto escalar es un número real positivo, indicando que el ángulo comprendido es agudo.
2. Expresión Analítica Ortonormal
Respecto a la base canónica ortonormal $$\mathcal{B} = \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$$, dados $$\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$$ y $$\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$$:
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} > 0 \iff \alpha < 90^\circ$$ (Ángulo agudo).
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \alpha = 90^\circ$$ o bien alguno de los vectores es nulo (Vectores ortogonales).
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \iff \alpha > 90^\circ$$ (Ángulo obtuso).
Dados los vectores $$\vec{u} = (3, -1, 2)$$ y $$\vec{v} = (-2, 4, 5)$$, multiplicamos sus componentes homólogas:
Al ser el producto escalar exactamente $$0$$, concluimos con certeza que ambos vectores son perpendiculares (ortogonales) en el espacio.
3. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Dados $$\vec{u} = (2, -1, 4)$$ y $$\vec{v} = (3, 5, -2)$$, calcula $$\vec{u} \cdot \vec{v}$$.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(3) + (-1)(5) + 4(-2) = 6 - 5 - 8 = -7$$
Conclusión: El producto escalar es $$-7$$. Al ser negativo, ambos vectores forman un ángulo obtuso.
Enunciado: Si $$|\vec{u}| = 3$$, $$|\vec{v}| = 4$$ y forman un ángulo de $$60^\circ$$, halla su producto escalar.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
Enunciado: Determinar si $$\vec{u}=(1, 3, -2)$$ y $$\vec{v}=(4, 2, 5)$$ son perpendiculares.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(4) + 3(2) + (-2)(5) = 4 + 6 - 10 = 0$$
Conclusión: Al anularse el producto escalar con vectores no nulos, son ortogonales.