📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
2.1.6 Propiedades de las operaciones con vectores
Estructura de espacio vectorial de R3 sobre R: conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento simétrico y distributivas.
1. Axiomas de Espacio Vectorial $$(\mathbb{R}^3, +, \cdot)$$
Las operaciones con vectores confieren a $$\mathbb{R}^3$$ estructura de espacio vectorial sobre $$\mathbb{R}$$ de dimensión 3:
- Conmutatividad: $$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$$
- Asociatividad: $$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$$
- Distributiva vectorial: $$k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$$
- Distributiva escalar: $$(a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$$
📌 Ejemplo Concreto de Propiedad Distributiva Vectorial:
Comprobemos la propiedad distributiva $$k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$$ con $$k = 3$$, $$\vec{u} = (1, 0, -2)$$ y $$\vec{v} = (2, -1, 3)$$:
1) Calculando primero la suma y multiplicando por el escalar:
$$\vec{u} + \vec{v} = (3, -1, 1) \implies 3(\vec{u} + \vec{v}) = 3 \cdot (3, -1, 1) = (9, \, -3, \, 3)$$
2) Multiplicando cada vector por el escalar y sumando los resultados:
$$3\vec{u} = (3, 0, -6), \quad 3\vec{v} = (6, -3, 9) \implies 3\vec{u} + 3\vec{v} = (3+6, \; 0-3, \; -6+9) = (9, \, -3, \, 3)$$
Se verifica idéntico resultado en ambos procedimientos, validando la propiedad distributiva en $$\mathbb{R}^3$$.