📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
2.1.5 Producto de un número por un vector
Multiplicación de un escalar real por un vector, cambio de módulo y sentido, y condición de paralelismo entre vectores.
1. Producto por Escalar y Condición de Paralelismo
$$k \cdot \vec{v} = (k v_1, \; k v_2, \; k v_3)$$
Dos vectores no nulos son paralelos si son proporcionales: $$\vec{u} = k \cdot \vec{v}$$.
📌 Ejemplo Concreto de Producto por Escalar y Paralelismo:
Dado el vector $$\vec{v} = (3, -2, 5)$$ y el escalar $$k = -2$$, multiplicamos cada una de sus componentes:
$$-2 \cdot \vec{v} = (-2 \cdot 3, \; -2 \cdot (-2), \; -2 \cdot 5) = (-6, \, 4, \, -10)$$
El vector resultante $$(-6, 4, -10)$$ tiene el doble de longitud que $$\vec{v}$$, la misma dirección pero sentido opuesto al ser $$k \lt 0$$. Como sus componentes son proporcionales, ambos vectores son paralelos:
$$\frac{-6}{3} = \frac{4}{-2} = \frac{-10}{5} = -2 \implies (-6, 4, -10) \parallel (3, -2, 5)$$