📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.8 Discusión de sistemas: casos compatibles indeterminados
Estudio de las raíces paramétricas que anulan el determinante principal y dan lugar a sistemas compatibles indeterminados con infinitas soluciones.
1. Análisis del Caso SCI con Parámetros
Para los valores particulares del parámetro que anulan el determinante principal ($$|A(m)| = 0$$), se sustituye el valor numérico y se comprueba si $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n$$.
📌 Ejemplo Concreto de Caso SCI tras Sustituir el Parámetro:
Consideremos el sistema dependiente de $$m \in \mathbb{R}$$:
$$\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = 1 \end{cases}$$
Para el valor crítico $$m = 1$$, sustituimos directamente en el sistema:
$$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies (A \mid B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & 1 & \mid & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 - F_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix}$$
Como $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 2 = n$$, para $$m = 1$$ el sistema es un Compatible Indeterminado con infinitas soluciones: $$(x, y) = (1 - \lambda, \lambda)$$.