📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.7 Discusión de sistemas: casos compatibles determinados
Discusión analítica de sistemas de ecuaciones con parámetros reales para los valores que dan lugar a sistemas compatibles determinados.
1. Análisis del Caso SCD con Parámetros
En problemas EBAU, el sistema cuadrado $$A(m)X = B(m)$$ es compatible determinado para todos los valores del parámetro $$m$$ que no anulan el determinante principal $$|A(m)| \neq 0$$.
📌 Ejemplo Concreto de Rango Máximo y SCD con Parámetros:
Consideremos el sistema dependiente del parámetro $$a \in \mathbb{R}$$:
$$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases}$$
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
$$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$
Caso SCD: Para todo $$a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$, $$|A| \neq 0$$, por lo que $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 = n$$ y el sistema es Compatible Determinado con solución única.