📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.9 Discusión de sistemas: casos incompatibles
Estudio de las raíces paramétricas que hacen incompatible el sistema de ecuaciones lineales por discrepancia de rangos.
1. Análisis del Caso SI con Parámetros
Al sustituir una raíz de $$|A(m)| = 0$$, si el orlado con la columna de términos independientes resulta distinto de cero, el sistema resulta incompatible $$\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$$.
📌 Ejemplo Concreto de Detección de Caso Incompatible con Parámetros:
Consideremos el sistema dependiente de $$m \in \mathbb{R}$$:
$$\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = 1 \end{cases}$$
Para la raíz $$m = -1$$, sustituimos directamente en la matriz ampliada:
$$(A \mid B) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & -1 & \mid & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 + F_1} \begin{pmatrix} -1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & \mid & 2 \end{pmatrix}$$
La segunda fila arroja la contradicción $$0 = 2$$. Por tanto, $$\text{rg}(A) = 1 < \text{rg}(A|B) = 2$$ y para $$m = -1$$ el sistema es Incompatible (SI) sin solución.