4 Cinemática: ecuaciones integrales del movimiento
De la definición de derivada a la integral: deducción rigurosa
Partimos de la definición de velocidad instantánea en una dimensión: \(v(t) = dx/dt \). Esta igualdad diferencial se puede escribir en forma de diferenciales multiplicando ambos miembros por \(dt \):
Esta expresión dice algo muy concreto: en un intervalo infinitesimal \(dt \), la variación infinitesimal de la posición \(dx \) es el producto de la velocidad (instantánea en ese momento) por el intervalo.
Es la aproximación "la posición cambia a ritmo \(v \) durante un tiempo \(dt \)", hecha exacta al tomar el límite.
Para obtener la variación finita entre un instante inicial \(t_0 \) y un instante genérico \(t \), sumamos (integramos) todas las contribuciones infinitesimales:
La integral de la izquierda es inmediata: \(\int dx' = x \), evaluada entre los límites da \(x(t) - x(t_0) \). Llamando \(x_0 = x(t_0) \) a la posición inicial, se obtiene la primera ecuación integral del movimiento:
El mismo razonamiento aplicado a \(a(t) = dv/dt \), es decir, \(dv = a(t) \, dt \), da la segunda ecuación integral:
donde \(v_0 = v(t_0) \) es la velocidad inicial.
Estas dos ecuaciones son el puente que permite subir "hacia arriba": de la aceleración a la velocidad, y de la velocidad a la posición.
Obsérvese el papel esencial de las condiciones iniciales \(x_0 \) y \(v_0 \): la aceleración sola no determina el movimiento, porque al integrar aparece una constante; hacen falta la posición y la velocidad en un instante para fijar completamente la solución.
Dos móviles con la misma aceleración pueden describir movimientos totalmente distintos si parten de sitios distintos o con velocidades distintas.
Una partícula se mueve sobre el eje \(x \) con velocidad \(v(t) = 3t^2 \) (en unidades del sistema internacional) y en el instante inicial \(t_0 = 0 \) se encuentra en \(x_0 = 1 \, \text{m} \). Determina su posición \(x(t) \) en función del tiempo.
Aplicando la ecuación integral de la posición se obtiene $$x(t) = 1 + \int_0^t 3t'^2 \, dt' = 1 + \left[t'^3\right]_0^t = 1 + t^3 $$. Derivando se recupera \(dx/dt = 3t^2 = v(t) \), lo que verifica la consistencia entre derivar e integrar.
Interpretación geométrica: la integral como área bajo la curva
La integral definida \(\int_{t_0}^{t} v(t') \, dt' \) es el área (con signo) encerrada entre la gráfica de \(v \) en función de \(t \) y el eje de tiempos, entre \(t_0 \) y \(t \)
Por tanto, el desplazamiento \(x(t) - x_0 \) es el área bajo la curva \(v \)-\(t \), y la variación de velocidad \(v(t) - v_0 \) es el área bajo la curva \(a \)-\(t \)
Esta interpretación permite calcular desplazamientos y variaciones de velocidad directamente a partir de gráficas, sin conocer la expresión analítica: basta medir áreas de rectángulos, triángulos y trapecios.
Las áreas por encima del eje de tiempos contribuyen positivamente y las de por debajo, negativamente.
La gráfica de la velocidad de un móvil en función del tiempo forma un triángulo de base \(4 \, \text{s} \) y altura \(10 \, \text{m/s} \) por encima del eje.
El desplazamiento es el área del triángulo: $$\Delta x = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 10 = 20 \, \text{m} $$. Si a continuación la gráfica forma un triángulo idéntico por debajo del eje, el área es \(-20 \, \text{m} \) y el desplazamiento total se anula: el móvil vuelve al punto de partida.
Aplicación a aceleración constante
Si \(a(t) = a_0 \) (constante), la segunda ecuación integral da:
Tomando \(t_0 = 0 \): \(v(t) = v_0 + a_0 t \)
Sustituyendo en la primera ecuación integral:
Son las conocidas ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, aquí deducidas por integración y no postuladas.
Un móvil parte del reposo (\(v_0 = 0 \)) desde \(x_0 = 0 \) con aceleración constante \(a_0 = 2 \, \text{m/s}^2 \). Su velocidad es \(v(t) = 2t \) y su posición \(x(t) = t^2 \). En \(t = 5 \, \text{s} \) ha recorrido \(x(5) = 25 \, \text{m} \) con velocidad \(v(5) = 10 \, \text{m/s} \)
Aplicación a aceleración variable
La potencia real de las ecuaciones integrales se muestra cuando \(a(t) \) no es constante: entonces no hay fórmulas cerradas memorizables y la integral es el único camino.
El procedimiento es siempre el mismo: integrar \(a(t) \) para obtener \(v(t) \) (añadiendo \(v_0 \)) e integrar \(v(t) \) para obtener \(x(t) \) (añadiendo \(x_0 \)).
Una partícula parte del reposo en \(x_0 = 2 \, \text{m} \) con aceleración \(a(t) = 4t + 4t^3 \) (unidades del sistema internacional).
La velocidad es $$v(t) = 0 + \int_0^t (4t' + 4t'^3) \, dt' = \left[2t'^2 + t'^4\right]_0^t = 2t^2 + t^4 $$. La posición es $$x(t) = 2 + \int_0^t (2t'^2 + t'^4) \, dt' = 2 + \left[\frac{2t'^3}{3} + \frac{t'^5}{5}\right]_0^t = 2 + \frac{2t^3}{3} + \frac{t^5}{5} $$
Una partícula parte del reposo en el punto \(x_0 = 2 \, \text{m} \) y se mueve con una aceleración dada por \(a(t) = 4t + 4t^3 \) (unidades del sistema internacional).
Encuentra la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo (considera el movimiento rectilíneo).
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la ecuación integral de la velocidad integrando la aceleración e imponiendo la condición inicial de reposo.
A continuación aplicaremos la ecuación integral de la posición integrando la velocidad obtenida e imponiendo la posición inicial.
Para terminar verificaremos el resultado derivando.
Velocidad en función del tiempo.
La ecuación integral de la velocidad es \(v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t') \, dt' \). Los datos son \(v_0 = 0 \) (parte del reposo) y \(t_0 = 0 \)
Sustituyendo la aceleración: \(v(t) = \int_0^t (4t' + 4t'^3) \, dt' \)
Integramos término a término: \(\int 4t' \, dt' = 2t'^2 \) y \(\int 4t'^3 \, dt' = t'^4 \)
Evaluando entre \(0 \) y \(t \): $$v(t) = \left[2t'^2 + t'^4\right]_0^t = (2t^2 + t^4) - 0 = 2t^2 + t^4 $$ (en \(\text{m/s} \)).
Posición en función del tiempo.
La ecuación integral de la posición es $$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t') \, dt' ,\ \text{con}\ x_0 = 2 \, \text{m} $$
Sustituyendo la velocidad hallada: \(x(t) = 2 + \int_0^t (2t'^2 + t'^4) \, dt' \)
Integramos: \(\int 2t'^2 \, dt' = \frac{2t'^3}{3} \) y \(\int t'^4 \, dt' = \frac{t'^5}{5} \)
Evaluando: $$x(t) = 2 + \left[\frac{2t'^3}{3} + \frac{t'^5}{5}\right]_0^t = 2 + \frac{2t^3}{3} + \frac{t^5}{5} $$ (en metros).
Verificación por derivación.
Derivando la posición: \(\frac{dx}{dt} = 2t^2 + t^4 = v(t) \), y derivando la velocidad: \(\frac{dv}{dt} = 4t + 4t^3 = a(t) \). Además \(x(0) = 2 \) y \(v(0) = 0 \), como exigen las condiciones iniciales.
Conclusión: Así pues, la velocidad es \(v(t) = 2t^2 + t^4 \, \text{m/s} \) y la posición \(x(t) = 2 + 2t^3/3 + t^5/5 \, \text{m} \)
Dado el gráfico de la velocidad de un objeto en función del tiempo de la figura (formado por tramos rectilíneos: de \(t = 0 \) a \(t = 2 \, \text{s} \) la velocidad crece linealmente de \(0 \) a \(6 \, \text{m/s} \); de \(t = 2 \, \text{s} \) a \(t = 5 \, \text{s} \) se mantiene en \(6 \, \text{m/s} \); de \(t = 5 \, \text{s} \) a \(t = 7 \, \text{s} \) decrece linealmente hasta \(0 \)), dibuja los gráficos de la posición y de la aceleración en función del tiempo suponiendo \(x_0 = 0 \). Argumenta tu respuesta.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la aceleración como pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en cada tramo.
A continuación calcularemos la posición como área acumulada bajo la curva de velocidad.
Para terminar describiremos la forma de ambas gráficas.
Gráfica de la aceleración.
La aceleración es la derivada de la velocidad, es decir, la pendiente de la gráfica \(v \)-\(t \). En el primer tramo la pendiente es \(a_1 = (6-0)/(2-0) = 3 \, \text{m/s}^2 \), constante entre \(t = 0 \) y \(t = 2 \, \text{s} \). En el segundo tramo la velocidad es constante, luego \(a_2 = 0 \) entre \(t = 2 \, \text{s} \) y \(t = 5 \, \text{s} \). En el tercer tramo la pendiente es \(a_3 = (0-6)/(7-5) = -3 \, \text{m/s}^2 \), constante entre \(t = 5 \, \text{s} \) y \(t = 7 \, \text{s} \). La gráfica \(a \)-\(t \) es por tanto escalonada: un segmento horizontal en \(3 \, \text{m/s}^2 \), otro en \(0 \) y otro en \(-3 \, \text{m/s}^2 \)
Gráfica de la posición.
La posición es el área acumulada bajo la curva \(v \)-\(t \) desde \(t = 0 ,\ \text{con}\ x_0 = 0 \). En el primer tramo el área es un triángulo creciente: $$x(2) = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 6 = 6 \, \text{m} $$, y dentro del tramo \(x(t) = \frac{1}{2}\cdot t \cdot 3t = 1,5t^2 \) (parábola con ramas hacia arriba).
En el segundo tramo se suma el área de un rectángulo: \(x(5) = 6 + 6\cdot 3 = 24 \, \text{m} \), con crecimiento lineal \(x(t) = 6 + 6(t-2) \) (recta de pendiente 6).
En el tercer tramo se suma un triángulo: $$x(7) = 24 + \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 6 = 30 \, \text{m} $$, con forma de parábola con ramas hacia abajo porque la aceleración es negativa.
La gráfica \(x \)-\(t \) es por tanto: parábola creciente cóncava hacia arriba, seguida de recta, seguida de parábola cóncava hacia abajo que se aplana hasta pendiente cero en \(t = 7 \, \text{s} \)
Conclusión: Así pues, la aceleración es escalonada (\(3 \), \(0 \), \(-3 \, \text{m/s}^2 \)) porque es la pendiente de la gráfica de velocidad, y la posición se obtiene acumulando áreas: \(x(2) = 6 \, \text{m} \), \(x(5) = 24 \, \text{m} \), \(x(7) = 30 \, \text{m} \)
Una partícula se mueve con aceleración \(a(t) = 6t - t^2 \) (unidades del sistema internacional) para \(t \geq 0 \), partiendo del origen con velocidad \(v_0 = 2 \, \text{m/s} \). Halla \(v(t) \) y \(x(t) \), el instante en que la velocidad es máxima y la posición en ese instante.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración para obtener la velocidad con su condición inicial.
A continuación integraremos la velocidad para obtener la posición.
Para terminar buscaremos el máximo de la velocidad anulando su derivada (la aceleración).
Velocidad.
$$v(t) = v_0 + \int_0^t (6t' - t'^2) \, dt' = 2 + \left[3t'^2 - \frac{t'^3}{3}\right]_0^t = 2 + 3t^2 - \frac{t^3}{3} $$ (en \(\text{m/s} \)).
Posición.
$$x(t) = 0 + \int_0^t \left(2 + 3t'^2 - \frac{t'^3}{3}\right) dt' = \left[2t' + t'^3 - \frac{t'^4}{12}\right]_0^t = 2t + t^3 - \frac{t^4}{12} $$ (en metros).
Máximo de la velocidad.
La velocidad es máxima cuando su derivada se anula, es decir, cuando \(a(t) = 0 \): \(6t - t^2 = t(6 - t) = 0 \), de donde \(t = 0 \) o \(t = 6 \, \text{s} \). Para \(0 < t < 6 \) la aceleración es positiva (la velocidad crece) y para \(t > 6 \) es negativa (la velocidad decrece): en \(t = 6 \, \text{s} \) hay un máximo.
El valor máximo es $$v(6) = 2 + 3\cdot 36 - 216/3 = 2 + 108 - 72 = 38 \, \text{m/s} $$, y la posición en ese instante $$x(6) = 12 + 216 - 1296/12 = 12 + 216 - 108 = 120 \, \text{m} $$
Conclusión: Así pues, \(v(t) = 2 + 3t^2 - t^3/3 \, \text{m/s} \) y \(x(t) = 2t + t^3 - t^4/12 \, \text{m} \); la velocidad alcanza su máximo de \(38 \, \text{m/s} \) en \(t = 6 \, \text{s} \), cuando la partícula está en \(x = 120 \, \text{m} \)
Demuestra que si se conoce la gráfica de la aceleración en función del tiempo, el incremento de velocidad entre dos instantes es el área bajo dicha gráfica, y aplícalo a una aceleración que vale \(a_1 = 4 \, \text{m/s}^2 \) durante los primeros \(3 \, \text{s} \) y \(a_2 = -2 \, \text{m/s}^2 \) durante los \(3 \, \text{s} \) siguientes, con \(v_0 = 1 \, \text{m/s} \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por deducir la relación entre el incremento de velocidad y el área a partir de la ecuación integral.
A continuación calcularemos las áreas de cada tramo con su signo.
Para terminar obtendremos la velocidad final.
Deducción general.
De la ecuación integral \(v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t') \, dt' \) se deduce directamente que \(v(t) - v_0 = \int_{t_0}^{t} a(t') \, dt' \): el incremento de velocidad es la integral de la aceleración, es decir, el área (con signo) bajo la curva \(a \)-\(t \) entre esos instantes.
Áreas de cada tramo.
Primer tramo: rectángulo de base \(3 \, \text{s} \) y altura \(4 \, \text{m/s}^2 \) por encima del eje: área \(A_1 = 3\cdot 4 = 12 \, \text{m/s} \). La velocidad gana \(12 \, \text{m/s} \)
Segundo tramo: rectángulo de base \(3 \, \text{s} \) y altura \(-2 \, \text{m/s}^2 \) (por debajo del eje): área \(A_2 = 3\cdot(-2) = -6 \, \text{m/s} \). La velocidad pierde \(6 \, \text{m/s} \)
Velocidad final.
El incremento total es $$\Delta v = A_1 + A_2 = 12 - 6 = 6 \, \text{m/s} $$, luego $$v(6) = v_0 + \Delta v = 1 + 6 = 7 \, \text{m/s} $$
Conclusión: Así pues, queda demostrado que el incremento de velocidad es el área bajo la curva de aceleración, y en este caso la velocidad pasa de \(1 \, \text{m/s} \) a \(7 \, \text{m/s} \) en \(6 \, \text{s} \)
Un móvil desacelera con \(a(t) = -k\,v(t) \), donde \(k = 0,5 \, \text{s}^{-1} \) es constante, y \(v_0 = 20 \, \text{m/s} \). Demuestra por integración que la velocidad decae exponencialmente y calcula la distancia total que recorrerá el móvil hasta detenerse (en el límite \(t \to \infty \)).
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar variables en la ecuación diferencial e integrar para obtener la velocidad.
A continuación integraremos la velocidad para obtener la posición.
Para terminar tomaremos el límite cuando el tiempo tiende a infinito para hallar la distancia total.
Velocidad por separación de variables.
De \(\frac{dv}{dt} = -k\,v \) separamos variables: \(\frac{dv}{v} = -k\,dt \). Integramos desde \(v_0 \) hasta \(v(t) \) y desde \(0 \) hasta \(t \):
Despejando: \(v(t) = v_0\,e^{-kt} \): decaimiento exponencial.
Posición.
Distancia total hasta detenerse.
Cuando \(t \to \infty \), \(e^{-kt} \to 0 \), luego \(x(\infty) - x_0 = v_0/k \). Con los datos: \(s_{\text{total}} = 20/0,5 = 40 \, \text{m} \). El móvil se detiene asintóticamente tras recorrer \(40 \, \text{m} \): la velocidad nunca llega a ser exactamente cero en tiempo finito, pero la distancia recorrida sí tiene un límite finito.
Conclusión: Así pues, la velocidad decae como \(v(t) = 20\,e^{-0,5t} \, \text{m/s} \) y la distancia total hasta la detención asintótica es \(40 \, \text{m} \)