3 Cinemática: aceleración
Aceleración media e instantánea
Entre dos instantes \(t_1 \) y \(t_2 \) la velocidad pasa de \(\vec{v}(t_1) \) a \(\vec{v}(t_2) \), experimentando la variación \(\Delta \vec{v} = \vec{v}(t_2) - \vec{v}(t_1) \). La aceleración media se define como:
y la aceleración instantánea como su límite cuando el intervalo tiende a cero:
La aceleración es, por tanto, la derivada de la velocidad respecto del tiempo, o equivalentemente la derivada segunda del vector de posición.
En componentes cartesianas:
La velocidad de una partícula es $$\vec{v}(t) = 3t \, \vec{e}_x - 4t^2 \, \vec{e}_y $$ (unidades del sistema internacional).
Derivando componente a componente: $$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 3 \, \vec{e}_x - 8t \, \vec{e}_y $$. En \(t = 2 \, \text{s} \) vale $$\vec{a}(2) = 3 \, \vec{e}_x - 16 \, \vec{e}_y $$, de módulo $$|\vec{a}(2)| = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} \approx 16,3 \, \text{m/s}^2 $$
Interpretación física: la aceleración mide el cambio del vector velocidad
Es un error muy común pensar que "acelerar" significa solo "ir más deprisa". Como la velocidad es un vector, puede variar de dos formas independientes: cambiando su módulo (la celeridad) o cambiando su dirección.
La aceleración mide la rapidez total con la que cambia el vector velocidad, incluyendo ambos efectos.
El caso más revelador es el movimiento circular uniforme: la celeridad es constante, pero la dirección de la velocidad gira sin parar, y por eso existe una aceleración (la aceleración normal o centrípeta) dirigida hacia el centro.
Un coche que toma una curva a velocidad constante está acelerando, aunque el velocímetro no se mueva.
En el movimiento rectilíneo la dirección no cambia y la aceleración solo mide el cambio de celeridad:
si \(\vec{a} \) tiene el mismo sentido que \(\vec{v} \) el móvil va más deprisa;
si tiene sentido contrario, frena.
Un coche toma una curva de radio \(R = 50 \, \text{m} \) a \(72 \, \text{km/h} = 20 \, \text{m/s} \) constantes.
Aunque la celeridad no cambia, su velocidad cambia de dirección continuamente y existe una aceleración normal \(a_n = v^2/R = 400/50 = 8 \, \text{m/s}^2 \) hacia el centro de la curva: es la aceleración que notan los pasajeros empujados hacia fuera.
Unidades y dimensiones
La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, es decir, una longitud dividida por un tiempo al cuadrado.
Su unidad en el sistema internacional es el metro por segundo al cuadrado, \(\text{m/s}^2 \). Una aceleración de \(1 \, \text{m/s}^2 \) significa que la velocidad aumenta (o disminuye) en \(1 \, \text{m/s} \) cada segundo.
Como referencia, la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \): un cuerpo en caída libre aumenta su velocidad de caída en \(9,8 \, \text{m/s} \) cada segundo.
La aceleración como vector: componentes y suma
Al ser un vector, la aceleración se suma por componentes y su efecto total es la suma vectorial de sus componentes.
Esto será esencial en la sección 12, donde se verá que toda aceleración se puede descomponer en una componente tangencial (que cambia el módulo de la velocidad) y una componente normal (que cambia su dirección):
con \(|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \), porque ambas componentes son perpendiculares.
Esta descomposición se introduce aquí y se deduce con todo rigor en la sección 1
2.
Una partícula que describe una trayectoria curva tiene en un instante dado una aceleración tangencial \(a_t = 3 \, \text{m/s}^2 \) y una aceleración normal \(a_n = 4 \, \text{m/s}^2 \). Calcula el módulo de su aceleración total e interpreta ambas componentes.
La aceleración total tiene módulo \(|\vec{a}| = \sqrt{9+16} = 5 \, \text{m/s}^2 \): la celeridad aumenta a razón de \(3 \, \text{m/s} \) cada segundo mientras la dirección gira con una aceleración normal de \(4 \, \text{m/s}^2 \)
El vector de posición de una partícula (en unidades del sistema internacional) es $$\vec{r}(t) = 6t \, \vec{e}_x - 3t^2 \, \vec{e}_y + \frac{t^3}{2} \, \vec{e}_z $$. Halla su velocidad y su aceleración en función del tiempo, y evalúalas en \(t = 2 \, \text{s} \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar el vector de posición para obtener la velocidad.
A continuación derivaremos la velocidad para obtener la aceleración.
Para terminar evaluaremos ambas en el instante pedido.
Cálculo de la velocidad.
Derivando cada componente del vector de posición respecto del tiempo: \(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \)
La derivada de \(6t \) es \(6 \); la derivada de \(-3t^2 \) es \(-6t \); la derivada de \(t^3/2 \) es \(3t^2/2 \)
Por tanto: $$\vec{v}(t) = 6 \, \vec{e}_x - 6t \, \vec{e}_y + \frac{3t^2}{2} \, \vec{e}_z $$
Cálculo de la aceleración.
Derivando la velocidad: \(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} \)
La derivada de la constante \(6 \) es cero; la derivada de \(-6t \) es \(-6 \); la derivada de \(3t^2/2 \) es \(3t \)
Por tanto: $$\vec{a}(t) = -6 \, \vec{e}_y + 3t \, \vec{e}_z $$
Evaluación en t = 2 s.
Sustituyendo \(t = 2 \): $$\vec{v}(2) = 6 \, \vec{e}_x - 12 \, \vec{e}_y + 6 \, \vec{e}_z $$ (en \(\text{m/s} \)) y $$\vec{a}(2) = -6 \, \vec{e}_y + 6 \, \vec{e}_z $$ (en \(\text{m/s}^2 \)).
Conclusión: Así pues, la velocidad es $$6 \, \vec{e}_x - 6t \, \vec{e}_y + (3t^2/2) \, \vec{e}_z $$ y la aceleración \(-6 \, \vec{e}_y + 3t \, \vec{e}_z \), que en \(t = 2 \, \text{s} \) valen $$6 \, \vec{e}_x - 12 \, \vec{e}_y + 6 \, \vec{e}_z \, \text{m/s} $$ y $$-6 \, \vec{e}_y + 6 \, \vec{e}_z \, \text{m/s}^2 $$ respectivamente.
Un móvil se mueve con $$\vec{v}(t) = (4 - 2t) \, \vec{e}_x + 3t^2 \, \vec{e}_y $$ (unidades del sistema internacional).
Halla la aceleración, el instante en que la componente \(x \) de la velocidad se anula y la aceleración en ese instante.
Interpreta el resultado.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la velocidad para hallar la aceleración.
A continuación igualaremos a cero la componente \(x \) de la velocidad para hallar el instante pedido.
Para terminar evaluaremos la aceleración en ese instante y la interpretaremos físicamente.
Aceleración.
Derivando: $$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -2 \, \vec{e}_x + 6t \, \vec{e}_y $$
Instante en que v_x = 0.
Imponemos \(v_x(t) = 4 - 2t = 0 \), de donde \(2t = 4 \rightarrow t = 2 \, \text{s} \)
Aceleración en ese instante e interpretación.
Sustituyendo: $$\vec{a}(2) = -2 \, \vec{e}_x + 12 \, \vec{e}_y $$ (en \(\text{m/s}^2 \)).
En \(t = 2 \, \text{s} \) la componente \(x \) de la velocidad se anula pero la aceleración no: la componente \(a_x = -2 \, \text{m/s}^2 \) sigue empujando hacia el sentido negativo del eje \(x \), por lo que el móvil invierte su marcha en esa dirección (pasa de avanzar hacia \(+x \) a retroceder hacia \(-x \)), mientras que en la dirección \(y \) sigue acelerando con \(a_y = 12 \, \text{m/s}^2 \)
Conclusión: Así pues, en \(t = 2 \, \text{s} \) se anula \(v_x \) pero la aceleración vale $$-2 \, \vec{e}_x + 12 \, \vec{e}_y \, \text{m/s}^2 $$: el móvil cambia el sentido de su marcha en \(x \) sin que la aceleración se anule, lo que muestra que velocidad nula no implica aceleración nula.
Demuestra que en todo movimiento rectilíneo la aceleración es paralela a la velocidad, y que en todo movimiento con celeridad constante la aceleración es perpendicular a la velocidad (cuando no es nula).
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la velocidad de un movimiento rectilíneo y derivarla.
A continuación usaremos que el cuadrado del módulo de la velocidad es constante para deducir la perpendicularidad.
Para terminar interpretaremos ambos resultados.
Movimiento rectilíneo.
En un movimiento rectilíneo la dirección no cambia, luego \(\vec{v}(t) = v(t) \, \vec{u} \), donde \(\vec{u} \) es un vector unitario fijo y \(v(t) \) es la componente (con signo) de la velocidad.
Derivando, como \(\vec{u} \) es constante: $$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv}{dt} \, \vec{u} $$. La aceleración es un múltiplo escalar de \(\vec{u} \), luego es paralela a la velocidad: solo puede cambiar su módulo, nunca su dirección.
Celeridad constante.
Si la celeridad es constante, $$|\vec{v}|^2 = \vec{v}\cdot\vec{v} = v_0^2 = \text{constante} $$. Derivando esta igualdad respecto del tiempo y usando la regla de derivación del producto escalar, $$\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v}) = 2\,\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} $$:
El producto escalar nulo con \(\vec{v} \neq \vec{0} \) y \(\vec{a} \neq \vec{0} \) significa que ambos vectores son perpendiculares: con celeridad constante la aceleración solo puede cambiar la dirección de la velocidad, nunca su módulo.
Es exactamente lo que ocurre en el movimiento circular uniforme, donde la aceleración es normal a la trayectoria.
Conclusión: Así pues, queda demostrado que la aceleración es paralela a la velocidad en todo movimiento rectilíneo y perpendicular a ella en todo movimiento de celeridad constante no rectilíneo.
Una partícula tiene aceleración $$\vec{a}(t) = 2 \, \vec{e}_x + 6t \, \vec{e}_y $$ (unidades del sistema internacional) y en \(t = 0 \) su velocidad es \(\vec{v}_0 = 5 \, \vec{e}_x - 2 \, \vec{e}_y \). Halla la velocidad en función del tiempo y el instante en que la velocidad forma \(45^{\circ} \) con el eje \(x \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración para obtener la velocidad, determinando la constante de integración con la condición inicial.
A continuación impondremos la condición geométrica del ángulo.
Para terminar resolveremos la ecuación resultante.
Velocidad en función del tiempo.
Como \(\vec{a} = d\vec{v}/dt \), se tiene \(d\vec{v} = \vec{a} \, dt \) e integrando: $$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t \vec{a}(t') \, dt' $$
Integrando componente a componente: \(\int_0^t 2 \, dt' = 2t \) y \(\int_0^t 6t' \, dt' = 3t^2 \)
Por tanto: $$\vec{v}(t) = (5 + 2t) \, \vec{e}_x + (-2 + 3t^2) \, \vec{e}_y $$. Se comprueba que $$\vec{v}(0) = 5 \, \vec{e}_x - 2 \, \vec{e}_y = \vec{v}_0 $$
Condición del ángulo de 45 grados.
Que la velocidad forme \(45^{\circ} \) con el eje \(x \) significa que sus componentes son iguales (con el ángulo en el primer cuadrante): \(v_y = v_x \). Imponemos:
Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 84}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3} $$
La solución positiva es $$t = (1 + \sqrt{22})/3 \approx 1,90 \, \text{s} $$ (la negativa, \(t \approx -1,23 \, \text{s} \), se descarta por ser anterior al instante inicial).
Conclusión: Así pues, la velocidad es \((5+2t) \, \vec{e}_x + (3t^2-2) \, \vec{e}_y \) y forma \(45^{\circ} \) con el eje \(x \) cuando \(t = (1+\sqrt{22})/3 \approx 1,90 \, \text{s} \)
Un satélite describe una órbita circular de radio \(R = 7000 \, \text{km} \) con celeridad constante \(v = 7,5 \, \text{km/s} \). Calcula el módulo de su aceleración y explica por qué existe aceleración aunque la celeridad no cambie.
Si de repente la celeridad se duplicara manteniendo el radio, ¿cómo cambiaría la aceleración?
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por razonar por qué hay aceleración con celeridad constante a partir del cambio de dirección del vector velocidad.
A continuación calcularemos el módulo de la aceleración normal con la fórmula correspondiente.
Para terminar estudiaremos cómo escala la aceleración al duplicar la celeridad.
Por qué hay aceleración.
En todo movimiento con celeridad constante la aceleración (si no es nula) es perpendicular a la velocidad, pues solo cambia su dirección.
En la órbita circular la dirección de la velocidad gira continuamente, luego existe aceleración normal dirigida hacia el centro de la órbita, aunque el módulo de la velocidad no varíe.
Módulo de la aceleración.
La aceleración normal vale \(a_n = v^2/R \). Pasamos a unidades del sistema internacional: \(v = 7500 \, \text{m/s} \), \(R = 7\cdot 10^6 \, \text{m} \)
$$a_n = \frac{7500^2}{7\cdot 10^6} = \frac{56,25\cdot 10^6}{7\cdot 10^6} = \frac{56,25}{7} \approx 8,04 \, \text{m/s}^2 $$, dirigida hacia el centro de la Tierra.
Efecto de duplicar la celeridad.
De la fórmula general \(a_n = v^2/R \) se ve que la aceleración es proporcional al cuadrado de la celeridad.
Si \(v \) se duplica, \(v^2 \) se multiplica por cuatro, luego la aceleración se cuadruplica: $$a_n' = 4\cdot 8,04 \approx 32,1 \, \text{m/s}^2 $$
Conclusión: Así pues, el satélite tiene una aceleración de \(8,04 \, \text{m/s}^2 \) hacia el centro aunque su celeridad sea constante, porque su velocidad cambia de dirección; al duplicar la celeridad la aceleración se multiplica por cuatro.