5 Cinemática: movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): deducción desde a = 0
Si la aceleración es nula, \(a(t) = 0 \), la ecuación integral de la velocidad da:
La velocidad es constante: un móvil sin aceleración mantiene su velocidad para siempre (primera ley de Newton en forma cinemática).
Aplicando la ecuación integral de la posición con \(v(t') = v_0 \):
Tomando \(t_0 = 0 \): \(x(t) = x_0 + v_0\,t \). La posición es una función lineal del tiempo: en intervalos iguales se recorren distancias iguales.
Un tren circula a \(v_0 = 30 \, \text{m/s} \) constantes.
Tomando \(x_0 = 0 \) en el instante en que pasa por la estación, su posición es \(x(t) = 30t \): en \(t = 60 \, \text{s} \) está a \(x = 1800 \, \text{m} \) de la estación.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): deducción desde a = constante
Si \(a(t) = a \) constante, la ecuación integral de la velocidad da:
La velocidad varía linealmente con el tiempo: cada segundo que pasa, la velocidad aumenta (o disminuye) en \(a \) unidades.
Integrando de nuevo para la posición:
La posición es una función cuadrática del tiempo: el término \(\frac{1}{2}at^2 \) recoge el efecto acumulado de que la velocidad no para de cambiar.
Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones se obtiene una relación muy útil cuando no se conoce el instante en que ocurre un suceso.
De \(v = v_0 + at \) se despeja \(t = (v - v_0)/a \) y se sustituye en la ecuación de la posición:
Despejando: \(v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0) \). Esta ecuación liga velocidad y posición sin que aparezca el tiempo.
Un coche circula a \(25 \, \text{m/s} \) y frena con aceleración constante \(a = -5 \, \text{m/s}^2 \). El tiempo de frenada se obtiene de la ecuación general de la velocidad \(v = v_0 + at \) imponiendo \(v = 0 \): \(0 = 25 - 5t \rightarrow t = 5 \, \text{s} \). La distancia de frenado se obtiene de \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \) con \(x_0 = 0 \): $$x = 25\cdot 5 + \frac{1}{2}(-5)\cdot 25 = 125 - 62,5 = 62,5 \, \text{m} $$. Con la ecuación sin tiempo: $$0 = 25^2 + 2(-5)x \rightarrow x = 625/10 = 62,5 \, \text{m} $$
Las gráficas x-t, v-t y a-t: lectura y coherencia
Las tres gráficas están ligadas por derivación e integración, y deben leerse de forma coherente:
- En el MRU: \(a \)-\(t \) es la recta \(a = 0 \); \(v \)-\(t \) es una recta horizontal a altura \(v_0 \); \(x \)-\(t \) es una recta de pendiente \(v_0 \) (la pendiente de \(x \)-\(t \) es la velocidad).
- En el MRUA: \(a \)-\(t \) es una recta horizontal a altura \(a \); \(v \)-\(t \) es una recta de pendiente \(a \) (la pendiente de \(v \)-\(t \) es la aceleración); \(x \)-\(t \) es una parábola (cóncava hacia arriba si \(a > 0 \), hacia abajo si \(a < 0 \)).
La coherencia entre gráficas es una comprobación poderosa:
si la gráfica \(x \)-\(t \) es una parábola, la de \(v \)-\(t \) debe ser una recta no horizontal y la de \(a \)-\(t \) una recta horizontal no nula.
Un móvil con \(x(t) = 2 + 3t - 2t^2 \) tiene \(v(t) = 3 - 4t \) y \(a = -4 \, \text{m/s}^2 \): la gráfica \(x \)-\(t \) es una parábola cóncava hacia abajo (porque \(a < 0 \)) con vértice donde \(v = 0 \), es decir, en \(t = 3/4 = 0,75 \, \text{s} \), donde el móvil invierte su marcha.
Discusión: cuándo se puede usar cada modelo
El MRU describe cualquier movimiento con velocidad vectorial constante: no basta que la celeridad sea constante, la dirección tampoco puede cambiar (un coche en una curva a celeridad constante no es un MRU).
El MRUA describe movimientos con aceleración vectorial constante: la caída libre (sección 9) y el tiro parabólico por componentes (sección 10) son sus aplicaciones principales.
Cuando la aceleración no es constante hay que volver a las ecuaciones integrales generales de la sección 4 o a los métodos de las secciones 6, 7 y 8: las fórmulas del MRUA dejan de ser válidas.
Un ascensor que arranca suavemente no tiene aceleración constante durante el arranque: las fórmulas del MRUA solo valen una vez alcanzada la aceleración de régimen, no durante la transición.
Un coche acelera desde el reposo con aceleración constante \(a = 3 \, \text{m/s}^2 \). Halla su velocidad y su posición en función del tiempo, el tiempo que tarda en alcanzar los \(100 \, \text{km/h} \) y la distancia recorrida hasta entonces.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones del MRUA con las condiciones iniciales del problema.
A continuación convertiremos la velocidad objetivo a unidades del sistema internacional e impondremos la condición para hallar el tiempo.
Para terminar calcularemos la distancia con la ecuación de la posición.
Ecuaciones del movimiento.
Con \(v_0 = 0 \), \(x_0 = 0 \) y \(a = 3 \, \text{m/s}^2 \), las ecuaciones generales \(v = v_0 + at \) y \(x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \) dan:
\(v(t) = 3t \) y \(x(t) = 1,5t^2 \) (en \(\text{m/s} \) y metros).
Tiempo hasta 100 km/h.
Convertimos: $$100 \, \text{km/h} = 100/3,6 = 27,78 \, \text{m/s} $$. Imponemos \(v(t) = 27,78 \):
Distancia recorrida.
Sustituimos en la ecuación de la posición: $$x(9,26) = 1,5\cdot 9,26^2 = 1,5\cdot 85,75 = 128,6 \, \text{m} $$
Conclusión: Así pues, el coche alcanza los \(100 \, \text{km/h} \) en \(9,26 \, \text{s} \) tras recorrer \(128,6 \, \text{m} \)
Un móvil se mueve con MRUA, parte de \(x_0 = 5 \, \text{m} \) con \(v_0 = 2 \, \text{m/s} \), y en \(t = 4 \, \text{s} \) se encuentra en \(x = 45 \, \text{m} \). Halla su aceleración y su velocidad en ese instante.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación general de la posición del MRUA con los datos conocidos.
A continuación impondremos la condición de posición en \(t = 4 \, \text{s} \) para despejar la aceleración.
Para terminar calcularemos la velocidad con la ecuación general.
Ecuación de la posición.
La ecuación general es \(x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \). Con los datos: \(x(t) = 5 + 2t + \frac{1}{2}at^2 \)
Determinación de la aceleración.
Imponemos \(x(4) = 45 \): $$45 = 5 + 2\cdot 4 + \frac{1}{2}a\cdot 16 = 13 + 8a $$
Despejando: \(8a = 32 \rightarrow a = 4 \, \text{m/s}^2 \)
Velocidad en t = 4 s.
De la ecuación general \(v = v_0 + at \): \(v(4) = 2 + 4\cdot 4 = 18 \, \text{m/s} \)
Conclusión: Así pues, la aceleración es \(4 \, \text{m/s}^2 \) y en \(t = 4 \, \text{s} \) la velocidad es \(18 \, \text{m/s} \)
Dos coches parten del mismo punto en el mismo instante: el coche A con MRU a \(20 \, \text{m/s} \) y el coche B desde el reposo con MRUA de aceleración \(a = 4 \, \text{m/s}^2 \). Halla cuándo y dónde se encuentran de nuevo, y qué velocidad lleva cada uno en ese momento.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación de la posición de cada coche.
A continuación igualaremos ambas posiciones para hallar el instante de encuentro descartando la solución trivial.
Para terminar calcularemos la posición y las velocidades en ese instante.
Ecuaciones de posición.
Coche A (MRU): \(x_A(t) = 20t \). Coche B (MRUA desde el reposo): \(x_B(t) = \frac{1}{2}\cdot 4t^2 = 2t^2 \)
Instante de encuentro.
Igualamos posiciones: $$20t = 2t^2 \rightarrow 2t^2 - 20t = 0 \rightarrow 2t(t - 10) = 0 $$. Las soluciones son \(t = 0 \) (el instante de partida) y \(t = 10 \, \text{s} \) (el reencuentro).
Posición y velocidades en el encuentro.
La posición es \(x = 20\cdot 10 = 200 \, \text{m} \) (se comprueba: \(2\cdot 10^2 = 200 \)).
Velocidad de A: \(v_A = 20 \, \text{m/s} \) (constante).
Velocidad de B: \(v_B(t) = 4t \), luego \(v_B(10) = 40 \, \text{m/s} \): B alcanza a A y lo adelanta yendo al doble de velocidad.
Conclusión: Así pues, los coches se reencuentran a los \(10 \, \text{s} \) en \(x = 200 \, \text{m} \), con A a \(20 \, \text{m/s} \) y B a \(40 \, \text{m/s} \)
Un tren entra en una estación con velocidad \(v_0 = 54 \, \text{km/h} \) y frena con aceleración constante hasta detenerse recorriendo \(150 \, \text{m} \). Halla la aceleración de frenado y el tiempo que tarda en detenerse, usando la ecuación sin tiempo.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir la velocidad inicial a unidades del sistema internacional.
A continuación aplicaremos la ecuación \(v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) \), que no contiene el tiempo, para hallar la aceleración.
Para terminar obtendremos el tiempo con la ecuación de la velocidad.
Conversión de unidades.
Aceleración con la ecuación sin tiempo.
La ecuación general sin tiempo es \(v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0) \). Los datos particulares son: velocidad final \(v = 0 \) (se detiene), \(v_0 = 15 \, \text{m/s} \), \(x - x_0 = 150 \, \text{m} \)
Sustituyendo: \(0 = 15^2 + 2a\cdot 150 = 225 + 300a \)
Despejando: \(a = -225/300 = -0,75 \, \text{m/s}^2 \). El signo negativo indica que la aceleración se opone al movimiento: es una frenada.
Tiempo de frenada.
De \(v = v_0 + at \) con \(v = 0 \): $$0 = 15 - 0,75t \rightarrow t = 15/0,75 = 20 \, \text{s} $$
Conclusión: Así pues, la aceleración de frenado es \(-0,75 \, \text{m/s}^2 \) y el tren tarda \(20 \, \text{s} \) en detenerse.
Demuestra que en un MRUA la velocidad media en cualquier intervalo es la semisuma de las velocidades en los extremos, y úsalo para calcular la distancia recorrida por un móvil que pasa de \(10 \, \text{m/s} \) a \(30 \, \text{m/s} \) con aceleración constante \(a = 5 \, \text{m/s}^2 \) sin calcular el tiempo.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por deducir la fórmula de la velocidad media en el MRUA a partir de la ecuación de la posición.
A continuación la aplicaremos a los datos para hallar la distancia sin pasar por el tiempo.
Para terminar verificaremos el resultado con la ecuación sin tiempo.
Deducción de la velocidad media en el MRUA.
El desplazamiento entre \(t_1 \) y \(t_2 \) es $$\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = v_0(t_2-t_1) + \frac{1}{2}a(t_2^2-t_1^2) $$, usando \(x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \)
Dividiendo por \(\Delta t = t_2 - t_1 \) y usando \(t_2^2 - t_1^2 = (t_2-t_1)(t_2+t_1) \):
La velocidad media es la semisuma de las velocidades inicial y final del intervalo.
Esto solo vale porque la velocidad varía linealmente con el tiempo.
Aplicación a los datos.
La velocidad media es \(v_m = (10 + 30)/2 = 20 \, \text{m/s} \). El tiempo que tarda se obtiene de \(v_2 = v_1 + at \): \(30 = 10 + 5t \rightarrow t = 4 \, \text{s} \). La distancia es $$\Delta x = v_m\cdot t = 20\cdot 4 = 80 \, \text{m} $$
Verificación con la ecuación sin tiempo.
$$v_2^2 = v_1^2 + 2a\,\Delta x \rightarrow 900 = 100 + 10\,\Delta x \rightarrow \Delta x = 800/10 = 80 \, \text{m} $$: coincide.
Conclusión: Así pues, en todo MRUA la velocidad media es \((v_1+v_2)/2 \), y el móvil recorre \(80 \, \text{m} \) al pasar de \(10 \, \text{m/s} \) a \(30 \, \text{m/s} \)