7.1 7.1 Definición y propiedades

ci-7-1-1 7.1 Definición y propiedades

En el análisis matemático, el problema del cálculo de primitivas constituye la operación inversa exacta de la derivación.

Dada una función continua $ f: I \to \mathbb{R} $, nos planteamos determinar una nueva función derivable $ F: I \to \mathbb{R} $ cuya derivada coincida idénticamente con $ f(x) $ en todo punto del intervalo $ I $:

$$ F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I $$

A toda función $ F $ que satisface esta ecuación diferencial básica se la denomina función primitiva o antiderivada de $ f $

Como consecuencia directa del Teorema del Valor Medio de Lagrange, si dos funciones derivables $ F_1(x) $ y $ F_2(x) $ tienen la misma derivada en un intervalo conexo $ I $, entonces su diferencia es forzosamente constante:

$$ (F_1 - F_2)'(x) = f(x) - f(x) = 0 \implies F_1(x) - F_2(x) = C \in \mathbb{R} $$

Por consiguiente, si se conoce una primitiva particular $ F(x) $, el conjunto completo de todas las infinitas primitivas de $ f(x) $ viene dado por la familia uniparamétrica:

$$ \int f(x) \, dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R} $$

donde el símbolo $ \int $ es el signo de integración, $ f(x) $ es la función integrando, $ dx $ indica la variable respecto a la cual se integra, y $ C $ es la constante de integración arbitraria.

📝 Ejemplo: de primitiva y familia de antiderivadas:

Para la función potencial simple $ f(x) = 3x^2 $, sabemos que $ \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2 $

Por tanto, una primitiva es $ F(x) = x^3 $, y su integral indefinida completa es la familia de curvas cúbicas desplazadas verticalmente:

$$ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C $$

⚙️ Propiedad: de linealidad de la integral indefinida

La integración indefinida es un operador lineal sobre el espacio vectorial de las funciones continuas, satisfaciendo dos propiedades fundamentales:

1. Homogeneidad respecto al producto por escalares: La integral del producto de una constante real $ k \in \mathbb{R} $ por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función:

$$ \int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx $$

📝 Ejemplo: de homogeneidad:

Para integrar $ \int 7 e^x \, dx $, extraemos la constante multiplicativa del integrando:

$$ \int 7 e^x \, dx = 7 \int e^x \, dx = 7 e^x + C $$

2. Aditividad respecto a la suma: La integral de la suma o resta de dos funciones integrables es igual a la suma o resta de sus respectivas integrales indefinidas:

$$ \int \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $$

📝 Ejemplo: de aditividad:

Para la función compuesta por suma de trigonometría y potencia $ f(x) = \cos x + 4x^3 $:

$$ \int (\cos x + 4x^3) \, dx = \int \cos x \, dx + 4 \int x^3 \, dx = \sin x + 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) + C = \sin x + x^4 + C $$

Tabla de Primitivas Inmediatas Fundamentales:

Invertir directamente la tabla de derivadas de las funciones elementales permite construir la tabla básica de integración:

Función potencial ($$ \alpha \neq -1 $$)

$$ \int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C $$

📝 Ejemplo: de función potencial:

Para $ \alpha = \frac{1}{2} $, $$ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x\sqrt{x} + C $$

Función logarítmica ($$ \alpha = -1 $$)

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C $$

El valor absoluto es obligatorio porque el dominio de la función inversa $ \frac{1}{x} $ es $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $, extendiendo la primitiva al semiplano negativo.

📝 Ejemplo: de logaritmo: $ \int \frac{1}{x + 5} \, dx = \ln|x + 5| + C $

Funciones exponenciales

$$ \int e^x \, dx = e^x + C, \qquad \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) $$

📝 Ejemplo: de exponencial en base cualquiera:

Para $ a = 3 $, $ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C $

Funciones trigonométricas directas

$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x \, dx = \sin x + C $$

$$ \int \sec^2 x \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C $$

$$ \int \csc^2 x \, dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C $$

📝 Ejemplo: de secante al cuadrado con argumento lineal: $$ \int \frac{1}{\cos^2(5x)} \, dx = \frac{1}{5} \int \sec^2(5x) \cdot 5 \, dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C $$

Funciones trigonométricas inversas

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C $$

📝 Ejemplo: de arco tangente escalada:

Para $ \int \frac{1}{9 + x^2} \, dx $, factorizamos el 9:

$$ \int \frac{1}{9\left(1 + \left(\frac{x}{3}\right)^2\right)} \, dx = \frac{1}{9} \cdot 3 \int \frac{1/3}{1 + \left(\frac{x}{3}\right)^2} \, dx = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C $$

Funciones hiperbólicas

$$ \int \sinh x \, dx = \cosh x + C, \qquad \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $$

📝 Ejemplo: de coseno hiperbólico: $$ \int \cosh(4x) \, dx = \frac{1}{4}\sinh(4x) + C $$

A continuación presentamos cinco problemas prácticos avanzados con resolución completa paso a paso:

📝 Ejemplo 1 Calcular la integral indefinida de la función algebraica con radicales en el denominador:

$$ I = \int \frac{6x^2 + 4x + 1}{\sqrt{2x^3 + 2x^2 + x + 7}} \, dx $$

👉 PASO 1

Analizamos la estructura del integrando.

Observamos que el radicando del denominador es un polinomio de tercer grado $ g(x) = 2x^3 + 2x^2 + x + 7 $

Calculamos su derivada ordinaria:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 2x^2 + x + 7) = 6x^2 + 4x + 1 $$

Comprobamos que el numerador del integrando coincide con la derivada exacta del radicando.

👉 PASO 2

Reescribimos la integral en la forma potencial generalizada $ \int [g(x)]^\alpha g'(x) \, dx $ con exponente fraccionario negativo $ \alpha = -\frac{1}{2} $:

$$ I = \int \left(2x^3 + 2x^2 + x + 7\right)^{-1/2} \cdot \left(6x^2 + 4x + 1\right) \, dx $$

👉 PASO 3

Aplicamos la regla de integración de potencias compuestas $$ \int [g(x)]^\alpha g'(x) \, dx = \frac{[g(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C $$:

$$ I = \frac{\left(2x^3 + 2x^2 + x + 7\right)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{\left(2x^3 + 2x^2 + x + 7\right)^{1/2}}{\frac{1}{2}} + C $$

Multiplicar por el inverso de un medio equivale a multiplicar por dos:

$$ I = 2 \sqrt{2x^3 + 2x^2 + x + 7} + C $$

✅ Conclusión

La primitiva es $ 2\sqrt{2x^3 + 2x^2 + x + 7} + C $, verificable inmediatamente por derivación mediante la regla de la cadena.

📝 Ejemplo 2 Calcular la integral indefinida de la tangente al cuadrado mediante identidades trigonométricas:

$$ I = \int \tan^2 x \, dx $$

👉 PASO 1

Observamos que $ \tan^2 x $ no es una derivada elemental directa de la tabla inmediata.

Sin embargo, recordamos la identidad pitagórica fundamental que relaciona la tangente con la secante:

$$ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \implies \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $$

👉 PASO 2

Sustituimos esta expresión en la integral indefinida y aplicamos la propiedad de aditividad y linealidad del operador integral:

$$ I = \int \left( \sec^2 x - 1 \right) dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx $$

👉 PASO 3

Integramos cada sumando elemental:

- La derivada de la tangente es la secante al cuadrado: $ \int \sec^2 x \, dx = \tan x $

- La integral de la unidad es la variable lineal: $ \int 1 \, dx = x $

Combinamos los resultados añadiendo la constante arbitraria $ C \in \mathbb{R} $:

$$ I = \tan x - x + C $$

✅ Conclusión

La función primitiva buscada es $ \tan x - x + C $

📝 Ejemplo 3 Calcular la integral indefinida del cociente de exponenciales reales:

$$ I = \int \frac{e^{3x} + 4e^{2x} - 2e^x + 5}{e^x} \, dx $$

👉 PASO 1

El denominador consta de un único monomio exponencial $ e^x $. Descomponemos algebraicamente la fracción dividiendo término a término cada sumando del numerador entre el denominador:

$$ \frac{e^{3x} + 4e^{2x} - 2e^x + 5}{e^x} = \frac{e^{3x}}{e^x} + 4\frac{e^{2x}}{e^x} - 2\frac{e^x}{e^x} + \frac{5}{e^x} $$

👉 PASO 2

Aplicamos las leyes de los exponentes para simplificar cada cociente ($ \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} $):

$$ = e^{3x - x} + 4e^{2x - x} - 2(1) + 5e^{-x} = e^{2x} + 4e^x - 2 + 5e^{-x} $$

👉 PASO 3

Integramos término a término aplicando la linealidad y las primitivas exponenciales inmediatas:

$$ I = \int e^{2x} \, dx + 4 \int e^x \, dx - 2 \int 1 \, dx + 5 \int e^{-x} \, dx $$

Calculamos cada término:

- $ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} $

- $ 4\int e^x \, dx = 4e^x $

- $ -2\int 1 \, dx = -2x $

- $ 5\int e^{-x} \, dx = 5(-e^{-x}) = -5e^{-x} $

👉 PASO 4

Unificamos el resultado:

$$ I = \frac{1}{2}e^{2x} + 4e^x - 2x - 5e^{-x} + C $$

✅ Conclusión

La integral indefinida es $ \frac{1}{2}e^{2x} + 4e^x - 2x - 5e^{-x} + C $

📝 Ejemplo 4 Calcular la integral de la función racional con grado del numerador mayor que el denominador:

$$ I = \int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx $$

👉 PASO 1

Comparamos los grados de los polinomios.

El numerador tiene grado 4 y el denominador grado 2. Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, realizamos la división euclídea de polinomios o utilizamos el artificio algebraico de sumar y restar 1:

$$ x^4 = (x^4 - 1) + 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1 $$

👉 PASO 2

Dividimos entre el denominador común $ x^2 + 1 $:

$$ \frac{x^4}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1} $$

👉 PASO 3

Integramos la suma resultante aplicando la linealidad:

$$ I = \int \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx = \int x^2 \, dx - \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx $$

👉 PASO 4

Resolvemos cada una de las integrales inmediatas:

- $ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $

- $ \int 1 \, dx = x $

- $ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x $

Sumando las tres primitivas obtenemos:

$$ I = \frac{x^3}{3} - x + \arctan x + C $$

✅ Conclusión

La primitiva general de la función es $ \frac{x^3}{3} - x + \arctan x + C $

📝 Ejemplo 5 Determinar la primitiva única $ F(x) $ de la función continua:

$$ f(x) = \frac{4}{1 + x^2} + 6\cos(2x) - 3e^{-3x} $$

que satisface la condición inicial puntual $ F(0) = 5 $

👉 PASO 1

Hallamos en primer lugar la familia general de todas las primitivas calculando la integral indefinida $ \int f(x) \, dx $:

$$ F(x) = \int \left( \frac{4}{1 + x^2} + 6\cos(2x) - 3e^{-3x} \right) dx $$

👉 PASO 2

Separamos por linealidad en tres integrales inmediatas:

$$ F(x) = 4 \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx + 3 \int 2\cos(2x) \, dx + \int (-3e^{-3x}) \, dx $$

Calculamos cada término:

- $ 4 \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = 4 \arctan x $

- $ 3 \int \cos(u) \, du = 3 \sin(2x) $ donde $ u = 2x, du = 2dx $

- $ \int (-3e^{-3x}) \, dx = e^{-3x} $ ya que $ \frac{d}{dx}[e^{-3x}] = -3e^{-3x} $

Por tanto, la familia de primitivas con la constante genérica $ C $ es:

$$ F(x) = 4\arctan x + 3\sin(2x) + e^{-3x} + C $$

👉 PASO 3

Imponemos la condición inicial dada en el enunciado $ F(0) = 5 $ para aislar el valor numérico exacto de la constante $ C $:

$$ F(0) = 4\arctan(0) + 3\sin(0) + e^{0} + C = 5 $$

Evaluamos los valores numéricos:

- $ \arctan(0) = 0 \implies 4(0) = 0 $

- $ \sin(0) = 0 \implies 3(0) = 0 $

- $ e^0 = 1 $

Sustituyendo:

$$ 0 + 0 + 1 + C = 5 \implies 1 + C = 5 \implies C = 4 $$

👉 PASO 4

Escribimos la primitiva particular reemplazando la constante encontrada $ C = 4 $:

$$ F(x) = 4\arctan x + 3\sin(2x) + e^{-3x} + 4 $$

✅ Conclusión

La única función primitiva que satisface la condición de contorno inicial dada es $ F(x) = 4\arctan x + 3\sin(2x) + e^{-3x} + 4 $