6.2 6.2.1 Fórmula de Taylor

ci-6-2-1 6.2.1 Fórmula de Taylor

La deducción más rigurosa de la Fórmula de Taylor proviene del Teorema Fundamental del Cálculo:

$$ f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt $$

Aplicando el método de integración por partes reiterada con la elección estratégica de partes:

$$ u = f'(t) \implies du = f''(t) dt, \qquad dv = dt \implies v = -(x - t) $$

se obtiene sucesivamente:

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) $$

donde el Resto en Forma Integral es:

$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x - t)^n f^{(n+1)}(t) dt $$

Aplicando el Teorema del Valor Medio del cálculo integral a esta expresión se deducen directamente:

Resto de Lagrange: $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} $$ con $$ c \in (x_0, x) $$

Resto de Cauchy: $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x - c)^n (x - x_0) $$

Una de las aplicaciones analíticas más trascendentes de la Fórmula de Taylor es el Criterio de las Derivadas de Orden Superior para la clasificación de extremos relativos e inflexiones:

Sea $ f $ de clase $ C^n $ en un entorno de un punto crítico $ x_0 $ tal que:

$$ f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad \text{pero} \quad f^{(n)}(x_0) \ne 0 $$

Por la fórmula de Taylor: $$ f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) $$

Se deducen dos reglas infalibles:

1. Si el orden de la primera derivada no nula $ n $ es par:

- Si $ f^{(n)}(x_0) > 0 $, $ f(x_0) $ es un mínimo relativo estricto.

- Si $ f^{(n)}(x_0) < 0 $, $ f(x_0) $ es un máximo relativo estricto.

2. Si el orden de la primera derivada no nula $ n $ es impar:

En $ x_0 $ no hay extremo local; existe un punto de inflexión con tangente horizontal.

📝 Ejemplo: de derivadas de orden superior:

Para $ f(x) = x^4 $ en $ x_0 = 0 $:

$$ f'(0) = 0, f''(0) = 0, f'''(0) = 0, f^{(4)}(0) = 24 > 0 $$. Como el orden 4 es par y positivo, hay un mínimo relativo en el origen.

Para $ g(x) = x^5 $, $ g^{(5)}(0) = 120 \ne 0 $, el orden 5 es impar, por lo que hay un punto de inflexión con tangente horizontal.

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Clasificar la naturaleza del punto crítico en el origen $ x_0 = 0 $ para la función:

$$ f(x) = \cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2} $$

utilizando la Fórmula de Taylor y el criterio de las derivadas de orden superior.

👉 PASO 1

Calculamos las derivadas sucesivas de la función en el punto $ x_0 = 0 $:

- $ f(0) = \cos(0) - 1 + 0 = 0 $

- $ f'(x) = -\sin(x) + x \implies f'(0) = 0 $

- $$ f''(x) = -\cos(x) + 1 \implies f''(0) = -1 + 1 = 0 $$

- $ f'''(x) = \sin(x) \implies f'''(0) = 0 $

- $$ f^{(4)}(x) = \cos(x) \implies f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1 \ne 0 $$

👉 PASO 2

Identificamos el orden de la primera derivada que no se anula:

$$ n = 4 \quad (\text{número par}) $$

👉 PASO 3

Observamos el signo de dicha derivada de orden 4:

$$ f^{(4)}(0) = 1 > 0 \quad (\text{estrictamente positivo}) $$

👉 PASO 4

Por el Criterio de Taylor de orden superior, al ser el orden par y el valor positivo, la función alcanza un mínimo relativo local estricto en el origen.

✅ Conclusión

La función alcanza un mínimo relativo en $ x = 0 $ con valor $ f(0) = 0 $

📝 Ejemplo 2 Clasificar la naturaleza del punto crítico en el origen de la función:

$$ f(x) = x - \sin(x) $$

👉 PASO 1

Calculamos las derivadas sucesivas en $ x = 0 $:

- $ f(0) = 0 - 0 = 0 $

- $$ f'(x) = 1 - \cos(x) \implies f'(0) = 1 - 1 = 0 $$

- $ f''(x) = \sin(x) \implies f''(0) = 0 $

- $ f'''(x) = \cos(x) \implies f'''(0) = 1 \ne 0 $

👉 PASO 2

La primera derivada no nula es de orden $ n = 3 $, que es un número impar.

👉 PASO 3

Por el criterio de Taylor, al ser el orden impar, no existe extremo local (ni máximo ni mínimo).

La función atraviesa la tangente horizontal, presentando un punto de inflexión.

✅ Conclusión

En $ (0, 0) $ la función presenta un punto de inflexión con tangente horizontal.

📝 Ejemplo 3 Deducir el resto de Lagrange a partir de la fórmula del resto integral de Taylor para $ n = 1 $

👉 PASO 1

Escribimos la fórmula de Taylor con resto integral para $ n = 1 $:

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + R_1(x) $$

donde:

$$ R_1(x) = \int_{x_0}^x (x - t) f''(t) dt $$

👉 PASO 2

Observamos que para $ t \in [x_0, x] $, la función peso $ g(t) = x - t \ge 0 $ no cambia de signo.

👉 PASO 3

Aplicamos el Teorema del Valor Medio Ponderado del cálculo integral:

si $ g(t) \ge 0 $ y $ f''(t) $ es continua, existe un punto $ c \in (x_0, x) $ tal que:

$$ \int_{x_0}^x (x - t) f''(t) dt = f''(c) \int_{x_0}^x (x - t) dt $$

👉 PASO 4

Calculamos la integral restante:

$$ \int_{x_0}^x (x - t) dt = \left[ -\frac{(x - t)^2}{2} \right]_{x_0}^x = 0 - \left( -\frac{(x - x_0)^2}{2} \right) = \frac{(x - x_0)^2}{2} $$

👉 PASO 5

Sustituimos el resultado en la expresión:

$$ R_1(x) = f''(c) \cdot \frac{(x - x_0)^2}{2} = \frac{f''(c)}{2!}(x - x_0)^2 $$

✅ Conclusión

Queda demostrado rigurosamente que el resto integral conduce exactamente al resto de Lagrange.

📝 Ejemplo 4 Demostrar mediante la fórmula de Taylor de orden 1 con resto de Lagrange la propiedad de convexidad de la función exponencial:

$$ e^x > 1 + x \quad \forall x \ne 0 $$

👉 PASO 1

Desarrollamos la función $ f(x) = e^x $ mediante la fórmula de Taylor de orden $ n = 1 $ centrada en $ x_0 = 0 $:

$$ e^x = P_1(x) + R_1(x) $$

👉 PASO 2

El polinomio de orden 1 es $ P_1(x) = f(0) + f'(0)x = 1 + x $

👉 PASO 3

El resto de Lagrange es:

$$ R_1(x) = \frac{f''(c)}{2!} x^2 = \frac{e^c}{2} x^2 $$

para algún punto $ c $ comprendido entre 0 y $ x $

👉 PASO 4

Para cualquier número real $ c \in \mathbb{R} $, la función exponencial es estrictamente positiva: $ e^c > 0 $

Para cualquier $ x \ne 0 $, $ x^2 > 0 $

Por tanto:

$$ R_1(x) = \frac{e^c}{2} x^2 > 0 \quad \forall x \ne 0 $$

👉 PASO 5

Concluimos directamente:

$$ e^x = 1 + x + R_1(x) > 1 + x \quad \forall x \ne 0 $$

✅ Conclusión

La desigualdad fundamental se deduce de forma inmediata del carácter positivo del resto de Lagrange de Taylor.

📝 Ejemplo 5 Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en $ x_0 = 2 $ de la función polinómica $ P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 1 $ y comprobar que coincide exactamente con la propia función reescrita en potencias de $ (x - 2) $

👉 PASO 1

Calculamos el valor del polinomio y de sus derivadas en $ x_0 = 2 $:

- $$ P(2) = 2(8) - 4(4) + 5(2) - 1 = 16 - 16 + 10 - 1 = 9 $$

- $$ P'(x) = 6x^2 - 8x + 5 \implies P'(2) = 6(4) - 8(2) + 5 = 24 - 16 + 5 = 13 $$

- $$ P''(x) = 12x - 8 \implies P''(2) = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 $$

- $ P'''(x) = 12 \implies P'''(2) = 12 $

- $ P^{(4)}(x) = 0 $

👉 PASO 2

Construimos la fórmula de Taylor de orden 3:

$$ P_3(x) = P(2) + P'(2)(x - 2) + \frac{P''(2)}{2!}(x - 2)^2 + \frac{P'''(2)}{3!}(x - 2)^3 $$

$$ P_3(x) = 9 + 13(x - 2) + \frac{16}{2}(x - 2)^2 + \frac{12}{6}(x - 2)^3 $$

$$ P_3(x) = 9 + 13(x - 2) + 8(x - 2)^2 + 2(x - 2)^3 $$

👉 PASO 3

Comprobamos desarrollando las potencias:

- $$ 2(x - 2)^3 = 2(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 2x^3 - 12x^2 + 24x - 16 $$

- $$ 8(x - 2)^2 = 8(x^2 - 4x + 4) = 8x^2 - 32x + 32 $$

- $ 13(x - 2) = 13x - 26 $

- Sumando todo:

$$ 2x^3 + (-12x^2 + 8x^2) + (24x - 32x + 13x) + (-16 + 32 - 26 + 9) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 1 $$

✅ Conclusión

Para cualquier función polinómica de grado $ n $, su polinomio de Taylor de orden $ n $ coincide exactamente con el polinomio original sin ningún tipo de error ($ R_n(x) \equiv 0 $).