6.1.1 Definición y propiedades

6.1.1 Definición y propiedades 1. Aproximación polinómica local y condiciones de contacto El objetivo del análisis de Taylor es sustituir localmente una función derivable general \(f(x)\) en el entorno inmediato de un punto base \(x_0\) por el polinomio de grado a lo sumo \(n\) más próximo posible, exigiendo que comparta con la función el mismo valor y las mismas derivadas sucesivas hasta el orden \(n \in \mathbb{N}\): \(P_n(x_0) = f(x_0), \quad P_n'(x_0) = f'(x_0), \quad P_n''(x_0) = f''(x_0), \quad \dots, \quad P_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)\) Estas \(n + 1\) condiciones de contacto determinan de manera única los coeficientes del polinomio aproximador. 2. Polinomios de Taylor y de Maclaurin El único polinomio que verifica las condiciones de contacto de orden \(n\) centrado en el punto \(x_0\) es el Polinomio de Taylor: \(P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n\) Cuando el centro de desarrollo es el origen (\(x_0 = 0\)), el polinomio resultante se denomina Polinomio de Maclaurin: \(P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\) Ejemplo: Para la función exponencial natural \(f(x) = e^x\), todas sus derivadas sucesivas en el origen son idénticas a uno: \(f^{(k)}(0) = e^0 = 1\). El polinomio de Maclaurin de orden \(n\) es: \(P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}\) 3. Teorema de Taylor y fórmula del resto de Lagrange Teorema de Taylor: Sea \(f\) una función con derivadas continuas hasta el orden \(n + 1\) en un intervalo abierto que contiene a \(x_0\) y a \(x\). Entonces la función se descompone exactamente como la suma del polinomio de Taylor y un término de error denominado Resto de Taylor: \(f(x) = P_n(x) + R_n(x)\) Forma de Lagrange del Resto: El resto de orden \(n\) puede expresarse como: \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \quad \text{para algún } c \text{ estrictamente comprendido entre } x_0 \text{ y } x\) Esta expresión es una generalización de orden superior del Teorema del Valor Medio de Lagrange. 4. Acotación rigurosa del error de aproximación Si la derivada de orden \(n + 1\) está acotada en el intervalo que une \(x_0\) con \(x\), es decir, si existe una constante real \(M > 0\) tal que \(|f^{(n+1)}(t)| \le M\), el error absoluto cometido al aproximar la función por su polinomio de Taylor satisface la cota estricta: \(|R_n(x)| = |f(x) - P_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!} |x - x_0|^{n+1}\) Ejemplo: Aproximación del número \(e = e^1\) mediante el polinomio de Maclaurin de orden 4 evaluado en \(x = 1\): \(P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2{,}70833\) El resto de Lagrange es \(R_4(1) = \frac{e^c}{5!} (1 - 0)^5 = \frac{e^c}{120}\) con \(c \in (0, 1)\). Como \(e^c < e^1 < 3\), el error absoluto máximo cometido es menor que \(\frac{3}{120} = \frac{1}{40} = 0{,}025\) \(\text{Ejemplo 1}\) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en \(x_0 = 1\) de la función irracional \(f(x) = \sqrt{x}\), y utilizarlo para aproximar el valor de \(\sqrt{1.2}\)