7.2 7.2 Métodos de resolución de primitivas

ci-7-2-1 7.2 Métodos de resolución de primitivas

Cuando una función integrando no se corresponde de forma directa con una derivada elemental inmediata, es preciso recurrir a métodos sistemáticos de transformación que reduzcan la complejidad del problema a integrales elementales ya tabuladas.

Método de Integración por Partes

El método de integración por partes se deduce directamente de la regla de derivación del producto de dos funciones derivables $ u(x) $ y $ v(x) $:

$$ \frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$

Integrando ambos miembros respecto a $ x $ y reordenando términos se obtiene la clásica fórmula de integración por partes:

$$ \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du $$

donde $ du = u'(x) \, dx $ y $ v = \int dv = \int v'(x) \, dx $

Para elegir adecuadamente qué factor asignar a $ u $ se sigue la regla jerárquica ALPES (o LIATE):

Arco-funciones / Logarítmicas / Polinómicas (algebraicas) / Exponenciales / Senoidales (trigonométricas).

El factor que aparezca antes en esta lista se elige preferentemente como $ u $, pues su derivada simplifica la expresión.

📝 Ejemplo: de integración por partes:

Para calcular $ \int x e^x \, dx $, según ALPES elegimos el polinomio como $ u $ y la exponencial como $ dv $:

- $ u = x \implies du = dx $

- $ dv = e^x dx \implies v = e^x $

Aplicando la fórmula:

$$ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C $$

Método de Cambio de Variable (Sustitución)

Este método se fundamenta en la inversión de la regla de la cadena para funciones compuestas.

Si realizamos la sustitución formal $ x = g(t) $ donde $ g $ es una función biyectiva y continuamente derivable con diferencial $ dx = g'(t) \, dt $, la integral se transforma en:

$$ \int f(x) \, dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt $$

De modo inverso, si detectamos en el integrando la presencia de una función interna $ u = \varphi(x) $ junto con su derivada $ du = \varphi'(x) \, dx $:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du $$

📝 Ejemplo: de cambio de variable:

Para calcular $ \int 2x \cos(x^2) \, dx $, tomamos $ u = x^2 \implies du = 2x \, dx $:

$$ \int \cos(x^2) \cdot (2x \, dx) = \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C $$

Integración de Funciones Racionales (Fracciones Simples)

Dada una función racional $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ irreducible.

Si $ \text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q) $, se divide euclídeamente primero $ \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} $

Para el cociente propio $ \frac{R(x)}{Q(x)} $, se factoriza el polinomio denominador $ Q(x) $ en el cuerpo real $ \mathbb{R} $ en factores lineales $ (x - a) $ y cuadráticos irreducibles $ (x^2 + px + q) $:

- Factores lineales simples $ (x - a) $: originan fracciones del tipo $ \frac{A}{x - a} $, cuya integral es un logaritmo $ A \ln|x - a| $

- Factores lineales múltiples $ (x - a)^k $: originan términos $$ \frac{A_1}{x - a} + \dots + \frac{A_k}{(x - a)^k} $$, que se integran como potencias elementales.

- Factores cuadráticos irreducibles $ (x^2 + px + q) $ con $ p^2 - 4q < 0 $: originan fracciones del tipo $ \frac{Mx + N}{x^2 + px + q} $, que se descomponen en la suma de un logaritmo neperiano (asociado a la derivada del denominador) y un arco tangente (completando cuadrados).

📝 Ejemplo: de fracciones simples con raíces reales:

Para $ \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx $, factorizamos el denominador $ (x - 2)(x + 2) $:

$$ \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \implies 1 = A(x + 2) + B(x - 2) $$

Para $$ x = 2 \implies 1 = 4A \implies A = \frac{1}{4} $$

Para $$ x = -2 \implies 1 = -4B \implies B = -\frac{1}{4} $$

Por tanto:

$$ \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x - 2} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x + 2} = \frac{1}{4}\ln|x - 2| - \frac{1}{4}\ln|x + 2| + C = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C $$

Integrales Trigonométricas

- Potencias de seno y coseno $ \int \sin^m x \cos^n x \, dx $:

- Si al menos un exponente es impar (por ejemplo $ m = 2k + 1 $), se separa un factor $ \sin x \, dx $, se expresa el resto en cosenos mediante $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $, y se hace la sustitución $ u = \cos x $

- Si ambos exponentes son pares, se reduce el grado empleando las identidades del ángulo doble:

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $$

- Cambio universal de la tangente del semiángulo ($ t = \tan(x/2) $): transforma cualquier función racional en seno y coseno en una función puramente algebraica:

$$ \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1 + t^2} \, dt $$

📝 Ejemplo: de potencia impar de seno:

Para $ \int \sin^3 x \, dx $:

$$ \int \sin^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx $$

Haciendo $ u = \cos x \implies du = -\sin x \, dx $:

$$ = \int (1 - u^2)(-du) = \int (u^2 - 1) \, du = \frac{u^3}{3} - u + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C $$

Sustituciones Trigonométricas para Radicales Cuadráticos

Para eliminar raíces de la forma $ \sqrt{a^2 - x^2} $, $ \sqrt{a^2 + x^2} $ y $ \sqrt{x^2 - a^2} $:

- Para $ \sqrt{a^2 - x^2} $: hacer $$ x = a \sin\theta \implies dx = a \cos\theta \, d\theta $$

- Para $ \sqrt{a^2 + x^2} $: hacer $$ x = a \tan\theta \implies dx = a \sec^2\theta \, d\theta $$

- Para $ \sqrt{x^2 - a^2} $: hacer $$ x = a \sec\theta \implies dx = a \sec\theta \tan\theta \, d\theta $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular por integración por partes la integral cíclica del producto exponencial-trigonométrico:

$$ I = \int e^{2x} \sin(3x) \, dx $$

👉 PASO 1

Aplicamos por primera vez la integración por partes.

Siguiendo la regla ALPES, elegimos la función trigonométrica como $ u $ y la exponencial como $ dv $:

- $ u = \sin(3x) \implies du = 3\cos(3x) \, dx $

- $$ dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x} $$

Sustituyendo en la fórmula de partes:

$$ I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3\cos(3x) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3x) \, dx $$

👉 PASO 2

Aplicamos por segunda vez la integración por partes a la nueva integral $ J = \int e^{2x}\cos(3x) \, dx $ manteniendo la misma coherencia de asignaciones:

- $ u = \cos(3x) \implies du = -3\sin(3x) \, dx $

- $$ dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x} $$

Calculamos $ J $:

$$ J = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(3x) - \int \frac{1}{2}e^{2x} (-3\sin(3x)) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(3x) + \frac{3}{2} \int e^{2x}\sin(3x) \, dx $$

Observamos que reaparece la integral original $ I $:

$$ J = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(3x) + \frac{3}{2} I $$

👉 PASO 3

Sustituimos la expresión de $ J $ en la ecuación del

👉 Paso 1

$$ I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{2}e^{2x}\cos(3x) + \frac{3}{2}I \right] $$

Distribuimos el factor $ -\frac{3}{2} $:

$$ I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) - \frac{9}{4}I $$

👉 PASO 4

Despejamos algebraicamente la incógnita $ I $ agrupando los términos semejantes en el primer miembro:

$$ I + \frac{9}{4}I = \frac{13}{4}I = e^{2x} \left( \frac{1}{2}\sin(3x) - \frac{3}{4}\cos(3x) \right) $$

Multiplicamos toda la igualdad por el factor inverso $ \frac{4}{13} $:

$$ I = \frac{4}{13} e^{2x} \left( \frac{2\sin(3x) - 3\cos(3x)}{4} \right) + C = \frac{e^{2x}}{13} \left( 2\sin(3x) - 3\cos(3x) \right) + C $$

✅ Conclusión

La integral indefinida cíclica es $$ \frac{e^{2x}}{13} (2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + C $$

📝 Ejemplo 2 Calcular la integral de la función racional con factor cuadrático irreducible:

$$ I = \int \frac{3x^2 + 5x + 4}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx $$

👉 PASO 1

El grado del numerador es 2 y el del denominador es 3 ($ 1 + 2 = 3 $), por lo que es una fracción propia irreducible.

Planteamos la descomposición formal en fracciones simples:

$$ \frac{3x^2 + 5x + 4}{(x - 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4} $$

👉 PASO 2

Reducimos a común denominador e igualamos los numeradores resultantes:

$$ 3x^2 + 5x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1) $$

Determinamos las constantes:

- Para $ x = 1 $:

$$ 3(1)^2 + 5(1) + 4 = A(1 + 4) + 0 \implies 12 = 5A \implies A = \frac{12}{5} $$

- Para $ x = 0 $:

$$ 4 = A(4) + C(-1) \implies 4 = 4\left(\frac{12}{5}\right) - C \implies C = \frac{48}{5} - 4 = \frac{28}{5} $$

- Igualando los coeficientes de $ x^2 $:

$$ 3 = A + B \implies B = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5} $$

👉 PASO 3

Sustituimos las constantes calculadas en la integral:

$$ I = \frac{12}{5} \int \frac{dx}{x - 1} + \frac{1}{5} \int \frac{3x + 28}{x^2 + 4} \, dx $$

La primera integral es un logaritmo directo: $ \frac{12}{5}\ln|x - 1| $

Separamos la segunda integral en parte logarítmica (ajustando la derivada del denominador $ 2x $) y parte arco tangente:

$$ \int \frac{3x + 28}{x^2 + 4} \, dx = 3 \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx + 28 \int \frac{dx}{x^2 + 4} $$

- Término logarítmico: $$ 3 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx = \frac{3}{2}\ln(x^2 + 4) $$

- Término arco tangente: $$ 28 \cdot \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) = 14\arctan\left(\frac{x}{2}\right) $$

👉 PASO 4

Unificamos todos los sumandos ponderados por sus respectivos factores:

$$ I = \frac{12}{5}\ln|x - 1| + \frac{1}{5}\left[ \frac{3}{2}\ln(x^2 + 4) + 14\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right] + C $$

$$ I = \frac{12}{5}\ln|x - 1| + \frac{3}{10}\ln(x^2 + 4) + \frac{14}{5}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C $$

✅ Conclusión

La primitiva completa es $$ \frac{12}{5}\ln|x - 1| + \frac{3}{10}\ln(x^2 + 4) + \frac{14}{5}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C $$

📝 Ejemplo 3 Calcular mediante sustitución trigonométrica la integral con radical:

$$ I = \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx $$

👉 PASO 1

Identificamos la estructura $ \sqrt{a^2 - x^2} $ con $ a = 3 $. Planteamos el cambio de variable trigonométrico:

$$ x = 3\sin\theta \implies dx = 3\cos\theta \, d\theta, \quad \theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$

El radical se simplifica notablemente:

$$ \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta $$

👉 PASO 2

Sustituimos en la integral:

$$ I = \int \frac{(3\sin\theta)^2}{3\cos\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta = \int 9\sin^2\theta \, d\theta = 9 \int \sin^2\theta \, d\theta $$

👉 PASO 3

Integramos el seno al cuadrado mediante la fórmula del ángulo doble $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $:

$$ I = 9 \int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{9}{2} \left[ \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2} \right] + C = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\sin(2\theta) + C $$

Usamos la identidad del seno del ángulo doble $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $:

$$ I = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}(2\sin\theta\cos\theta) + C = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta + C $$

👉 PASO 4

Deshacemos el cambio de variable para regresar a la variable original $ x $:

- Como $$ x = 3\sin\theta \implies \sin\theta = \frac{x}{3} \implies \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) $$

- Además, $$ \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{3} $$

Sustituyendo:

$$ I = \frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{9}{2}\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}\right) + C = \frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + C $$

✅ Conclusión

La primitiva es $$ \frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + C $$

📝 Ejemplo 4 Calcular por sustitución racionalizadora la integral de una función irracional compuesta:

$$ I = \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx $$

👉 PASO 1

Para eliminar el radical proponemos el cambio de variable algebraico simple:

$$ u = \sqrt{x} \implies u^2 = x \implies dx = 2u \, du $$

👉 PASO 2

Sustituimos en la integral:

$$ I = \int \frac{1}{1 + u} \cdot (2u \, du) = 2 \int \frac{u}{u + 1} \, du $$

👉 PASO 3

Sumamos y restamos 1 en el numerador para descomponer la fracción racional impropia:

$$ \frac{u}{u + 1} = \frac{(u + 1) - 1}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1} $$

Integramos inmediatamente respecto a $ u $:

$$ 2 \int \left( 1 - \frac{1}{u + 1} \right) du = 2 \left( u - \ln|u + 1| \right) + C = 2u - 2\ln|u + 1| + C $$

👉 PASO 4

Deshacemos el cambio de variable sustituyendo $ u = \sqrt{x} $:

$$ I = 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C $$

(Prescindimos del valor absoluto en el argumento del logaritmo porque $ 1 + \sqrt{x} > 0 $ en todo el dominio).

✅ Conclusión

La integral indefinida es $ 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C $

📝 Ejemplo 5 Calcular la integral de la potencia cúbica de la secante mediante partes y trigonometría:

$$ I = \int \sec^3 x \, dx $$

👉 PASO 1

Descomponemos el integrando en el producto de dos factores:

$$ \sec^3 x = \sec x \cdot \sec^2 x $$

Aplicamos integración por partes asignando:

- $ u = \sec x \implies du = \sec x \tan x \, dx $

- $ dv = \sec^2 x \, dx \implies v = \tan x $

👉 PASO 2

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$ I = \sec x \tan x - \int \tan x \cdot (\sec x \tan x) \, dx = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x \, dx $$

👉 PASO 3

Empleamos la identidad trigonométrica $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $:

$$ \int \sec x \tan^2 x \, dx = \int \sec x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx $$

Sustituimos de nuevo en la ecuación de $ I $:

$$ I = \sec x \tan x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) = \sec x \tan x - I + \int \sec x \, dx $$

👉 PASO 4

Sumamos $ I $ a ambos miembros y recordamos la primitiva elemental de la secante $ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| $:

$$ 2I = \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| $$

Dividimos entre 2 y añadimos la constante de integración arbitraria:

$$ I = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C $$

✅ Conclusión

La integral de la secante cúbica es $$ \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C $$