2.3 2.3 Sucesiones recurrentes

2.3 Sucesiones recurrentes

Definición funcional de sucesión recurrente y puntos fijos

Una sucesión de números reales se define por recurrencia de primer orden cuando su primer término $a_1 \in R $ viene dado como dato inicial, y cada término sucesivo se genera aplicando una función real $f : D \subset R \to R $ al término inmediatamente anterior:

$$a_{n+1} = f(a_n), \quad \forall n \ge 1 $$

Puntos Fijos y Candidatos a Límite:

Si la función $f(x) $ es continua y sabemos que la sucesión converge a un límite finito $L = \lim_{n \to \infty} a_n \in R $, entonces al tomar límites en ambos miembros de la relación de recurrencia obtenemos:

$$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \implies L = f(L) $$

Todo límite finito de una sucesión recurrente debe ser obligatoriamente un Punto Fijo de la función generadora $f $

📝 Ejemplo conceptual:

Dada $a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{3} $, la ecuación de punto fijo es $$L = \frac{L + 4}{3} \implies 3L = L + 4 \implies 2L = 4 \implies L = 2 $$. Si la sucesión converge, su único límite posible es 2.

Técnica analítica general para sucesiones recurrentes

Para determinar con rigor matemático si una sucesión recurrente converge y hallar su límite, se aplica el siguiente algoritmo estructurado:

Técnica en 6 Pasos:

Identificar la función generadora $$f(x) $$ tal que $$a_{n+1} = f(a_n) $$

Resolver la ecuación de punto fijo $$f(L) = L $$ para obtener los candidatos a límite

Analizar la monotonía de la función generadora mediante su derivada $$f'(x) $$

- Si $f'(x) \ge 0 $ (función creciente), la sucesión $a_n $ es monótona (creciente o decreciente según el valor inicial $a_1 $).

- Si $f'(x) \le 0 $ (función decreciente), la sucesión oscila alrededor del punto fijo, y se descompone en dos subsucesiones monótonas: los términos pares $a_{2k} $ e impares $a_{2k+1} $ mediante la función compuesta $g = f \circ f $

4. Demostrar la Acotación por inducción matemática: probar que todos los términos permanecen dentro de un intervalo acotado $I = [m, M] $

5. Demostrar la Monotonía por inducción matemática: probar si $a_{n+1} \ge a_n $ (creciente) o $a_{n+1} \le a_n $ (decreciente).

6. Conclusión de convergencia: por el Teorema de la Convergencia Monótona, la sucesión converge al único punto fijo compatible con el intervalo de acotación.

📝 Ejemplo 1 Sucesión recurrente de radicales anidados (raíz de dos más a sub n)

Resolución analítica completa demostrando acotación y crecimiento por inducción

Dada la sucesión recurrente definida por $a_1 = 1 $ y $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} $ para todo $n \ge 1 $, demostrar que converge y calcular su límite exacto.

👉 PASO 1

Identificación de la función iteradora y cálculo de puntos fijos.

La función generadora es $f(x) = \sqrt{2 + x} $, definida y continua para $x \ge -2 $

Planteamos la ecuación de punto fijo $f(L) = L $:

$$\sqrt{2 + L} = L \implies 2 + L = L^2 \implies L^2 - L - 2 = 0 \quad (L \ge 0) $$

Factorizamos la ecuación cuadrática:

$$(L - 2)(L + 1) = 0 \implies L_1 = 2 \quad \text{y} \quad L_2 = -1 $$

Como la raíz cuadrada principal es no negativa ($L \ge 0 $), descartamos la solución negativa $L_2 = -1 $

El único candidato admisible a límite es $L = 2 $

👉 PASO 2

Demostración de la acotación por inducción (cota superior 2).

Queremos demostrar que $0 \le a_n < 2 $ para todo $n \in N $

Base ($n = 1 $): $a_1 = 1 $, y se cumple $0 \le 1 < 2 $

Paso inductivo: Supongamos que $0 \le a_k < 2 $

Sumamos 2 en toda la desigualdad:

$$2 \le 2 + a_k < 2 + 2 = 4 $$

Aplicamos la raíz cuadrada (que es una función estrictamente creciente):

$$\sqrt{2} \le \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4} = 2 \implies \sqrt{2} \le a_{k+1} < 2 $$

Como $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 0 $, se cumple que $0 \le a_{k+1} < 2 $

Por inducción, la sucesión está acotada superiormente por 2 para todo $n \in N $

👉 PASO 3

Demostración de la monotonía estrictamente creciente por inducción.

Queremos demostrar que $a_n < a_{n+1} $ para todo $n \in N $

Base ($n = 1 $): $a_1 = 1 $, y $$a_2 = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732 $$. Como $1 < \sqrt{3} \implies a_1 < a_2 $, se cumple.

Paso inductivo: Supongamos que $a_k < a_{k+1} $

Sumamos 2: $2 + a_k < 2 + a_{k+1} $

Tomamos raíz cuadrada:

$$\sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + a_{k+1}} \implies a_{k+1} < a_{k+2} $$

Por inducción, la sucesión es monótona estrictamente creciente.

👉 Paso 4

Conclusión de convergencia por el Teorema de la Convergencia Monótona.

Al ser una sucesión monótona creciente y acotada superiormente por 2, el Teorema de la Convergencia Monótona garantiza la existencia del límite finito $L = \lim_{n \to \infty} a_n \in R $

Como el único punto fijo positivo es 2:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 2 $$

✅ Conclusión

La sucesión recurrente converge y su límite es exactamente $L = 2 $

📝 Ejemplo 2 Método babilónico de aproximación de la raíz cuadrada (Algoritmo de Herón)

Resolución recurrente demostrando convergencia cuadrática hacia la raíz de cinco

Se define la sucesión recurrente por $a_1 = 3 $ y $$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{5}{a_n}\right) $$. Demostrar que converge y calcular su límite.

👉 PASO 1

Identificación de la función iteradora y puntos fijos.

La función generadora es $$f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{5}{x}\right) $$, continua para $x > 0 $

Planteamos la ecuación de punto fijo $f(L) = L $:

$$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{5}{L}\right) \implies 2L = L + \frac{5}{L} \implies L = \frac{5}{L} \implies L^2 = 5 $$

Como $a_1 = 3 > 0 $, todos los términos serán positivos, por lo que descartamos $L = -\sqrt{5} $

El único candidato admisible es $L = \sqrt{5} \approx 2{,}236 $

👉 PASO 2

Demostración de la acotación inferior por la raíz de cinco mediante la media aritmética-geométrica.

Por la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica (demostrada en el Tema 1):

$$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}, \quad \forall x, y > 0 $$

Aplicando a $x = a_n $ e $y = \frac{5}{a_n} $:

$$a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{5}{a_n}}{2} \ge \sqrt{a_n \cdot \frac{5}{a_n}} = \sqrt{5}, \quad \forall n \ge 1 $$

Por tanto, para todo $n \ge 2 $, la sucesión está acotada inferiormente por $\sqrt{5} $:

$$a_n \ge \sqrt{5}, \quad \forall n \ge 2 $$

👉 PASO 3

Demostración de la monotonía decreciente para n mayor o igual que dos.

Calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos:

$$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{5}{a_n}\right) - a_n = \frac{5}{2a_n} - \frac{a_n}{2} = \frac{5 - a_n^2}{2a_n} $$

Como hemos demostrado en el Paso 2 que $a_n \ge \sqrt{5} $ para todo $n \ge 2 $, elevando al cuadrado:

$$a_n^2 \ge 5 \implies 5 - a_n^2 \le 0 $$

Como el denominador $2a_n > 0 $, el cociente es no positivo:

$$a_{n+1} - a_n \le 0 \implies a_{n+1} \le a_n, \quad \forall n \ge 2 $$

La sucesión es monótona decreciente a partir de $n = 2 $

👉 Paso 4

Conclusión de convergencia.

Al ser decreciente y acotada inferiormente por $\sqrt{5} $, por el Teorema de la Convergencia Monótona la sucesión converge:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{5} $$

✅ Conclusión

La sucesión converge cuadráticamente hacia el número irracional $L = \sqrt{5} $

📝 Ejemplo 3 Sucesión recurrente con función generadora decreciente

Análisis de dos subsucesiones alternadas monótonas mediante composición de funciones

Dada la sucesión recurrente definida por $a_1 = 1 $ y $a_{n+1} = \frac{1}{1 + a_n} $, estudiar su convergencia y calcular su límite.

👉 PASO 1

Identificación de la función iteradora y cálculo del punto fijo.

La función generadora es $f(x) = \frac{1}{1 + x} $, continua para $x \ge 0 $

Planteamos el punto fijo $f(L) = L $:

$$L = \frac{1}{1 + L} \implies L(1 + L) = 1 \implies L^2 + L - 1 = 0 $$

Las soluciones de la ecuación cuadrática son:

$$L = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Como $a_1 = 1 > 0 $, todos los términos son estrictamente positivos.

Descartamos la solución negativa.

El único candidato positivo es el inverso del número áureo:

$$L = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}618034 $$

👉 PASO 2

Derivada de la función generadora y alternancia.

Calculamos la derivada de $f(x) $:

$$f'(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} < 0, \quad \forall x \ge 0 $$

Al ser $f(x) $ estrictamente decreciente, la sucesión no es monótona globalmente, sino que oscila alternadamente alrededor del

punto fijo:

$$a_1 = 1 > L $$

$$a_2 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5 < L $$

$$a_3 = \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 > L $$

$$a_4 = \frac{1}{1 + 2/3} = \frac{3}{5} = 0{,}6 < L $$

👉 PASO 3

Estudio de las subsucesiones par e impar con la función compuesta.

Definimos la función compuesta $g(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x)) $:

$$g(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + x}} = \frac{1}{\frac{1 + x + 1}{1 + x}} = \frac{x + 1}{x + 2} $$

Calculamos la derivada de $g(x) $:

$$g'(x) = \frac{1(x + 2) - (x + 1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{1}{(x + 2)^2} > 0, \quad \forall x \ge 0 $$

Al ser $g(x) $ estrictamente creciente:

1. La subsucesión de términos impares $a_{2k-1} $ es monótona decreciente y acotada inferiormente por $L $

2. La subsucesión de términos pares $a_{2k} $ es monótona creciente y acotada superiormente por $L $

Ambas subsucesiones convergen a los puntos fijos de $g(x) $:

$$g(L) = L \implies \frac{L + 1}{L + 2} = L \implies L + 1 = L^2 + 2L \implies L^2 + L - 1 = 0 $$

Ambas subsucesiones convergen al mismo y único valor positivo $L = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $

✅ Conclusión

La sucesión completa converge y su límite es $L = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $

📝 Ejemplo 4 Divergencia de una sucesión recurrente cuadrática por falta de acotación

Demostración de crecimiento no acotado hacia infinito cuando el valor inicial supera la cota

Dada la relación de recurrencia $a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 $, estudiar el comportamiento y límite de la sucesión si el valor inicial es $a_1 = 3 $

👉 PASO 1

Identificación de la función iteradora y cálculo de puntos fijos.

La función generadora es $f(x) = x^2 - 2x + 2 $

Ecuación de punto fijo $f(L) = L $:

$$L^2 - 2L + 2 = L \implies L^2 - 3L + 2 = 0 \implies (L - 1)(L - 2) = 0 $$

Los únicos puntos fijos posibles son $L_1 = 1 $ y $L_2 = 2 $

👉 PASO 2

Análisis del valor inicial a1 = 3 y comparación con los puntos fijos.

Observamos que el valor inicial es $a_1 = 3 $, el cual es estrictamente mayor que el mayor de los puntos fijos ($a_1 = 3 > 2 $).

Calculamos la diferencia entre términos consecutivos:

$$a_{n+1} - a_n = (a_n^2 - 2a_n + 2) - a_n = a_n^2 - 3a_n + 2 = (a_n - 1)(a_n - 2) $$

👉 PASO 3

Demostración inductiva de divergencia estricta.

Demostramos por inducción que $a_n \ge n + 2 $ para todo $n \in N $

Base ($n = 1 $): $a_1 = 3 \ge 1 + 2 = 3 $

Paso inductivo:

Si $a_k \ge 3 > 2 $, entonces los factores $(a_k - 1) \ge 2 $ y $(a_k - 2) \ge 1 $

Por tanto:

$$a_{k+1} - a_k = (a_k - 1)(a_k - 2) \ge 2 \cdot 1 = 2 \implies a_{k+1} \ge a_k + 2 $$

Esto demuestra que la sucesión no está acotada superiormente en $R $

Como la sucesión es monótona estrictamente creciente y no está acotada superiormente, diverge hacia más infinito:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty $$

✅ Conclusión

La sucesión recurrente diverge hacia más infinito para el dato inicial $a_1 = 3 $

📝 Ejemplo 5 Convergencia de una sucesión recurrente lineal fraccionaria no homogénea

Estudio completo de estabilidad y cálculo de la solución analítica explícita

Dada la sucesión recurrente definida por $a_1 = 0 $ y $a_{n+1} = \frac{2a_n + 3}{a_n + 4} $, demostrar que converge y calcular su límite exacto.

👉 PASO 1

Identificación de la función iteradora y cálculo de puntos fijos.

La función generadora es $f(x) = \frac{2x + 3}{x + 4} $, continua para todo $x \ge 0 $

Calculamos los puntos fijos resolviendo $f(L) = L $:

$$L = \frac{2L + 3}{L + 4} \implies L(L + 4) = 2L + 3 \implies L^2 + 4L = 2L + 3 \implies L^2 + 2L - 3 = 0 $$

Factorizamos la ecuación:

$$(L + 3)(L - 1) = 0 \implies L_1 = 1 \quad \text{y} \quad L_2 = -3 $$

Como $a_1 = 0 $ y para todo $x \ge 0 $ se cumple que $f(x) = \frac{2x + 3}{x + 4} > 0 $, todos los términos subsiguientes son no negativos.

Descartamos la raíz negativa $L_2 = -3 $

El único candidato a límite es $L = 1 $

👉 PASO 2

Demostración de acotación en el intervalo cero a uno por inducción.

Demostramos por inducción que $0 \le a_n < 1 $ para todo natural.

Base ($n = 1 $): $a_1 = 0 $, y se cumple $0 \le 0 < 1 $

Paso inductivo: Supongamos que $0 \le a_k < 1 $

Calculamos la derivada de $f(x) $:

$$f'(x) = \frac{2(x + 4) - (2x + 3)(1)}{(x + 4)^2} = \frac{2x + 8 - 2x - 3}{(x + 4)^2} = \frac{5}{(x + 4)^2} > 0, \quad \forall x \ge 0 $$

Al ser $f(x) $ estrictamente creciente:

$$0 \le a_k < 1 \implies f(0) \le f(a_k) < f(1) $$

Calculamos los extremos:

$$f(0) = \frac{2(0) + 3}{0 + 4} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \ge 0 $$

$$f(1) = \frac{2(1) + 3}{1 + 4} = \frac{5}{5} = 1 $$

Por tanto:

$$0 \le \frac{3}{4} \le a_{k+1} < 1 \implies 0 \le a_{k+1} < 1 $$

Por inducción, todos los términos pertenecen al intervalo $[0, 1) $

👉 PASO 3

Demostración de monotonía creciente.

Calculamos la diferencia entre términos consecutivos:

$$a_{n+1} - a_n = \frac{2a_n + 3}{a_n + 4} - a_n = \frac{2a_n + 3 - a_n(a_n + 4)}{a_n + 4} = \frac{2a_n + 3 - a_n^2 - 4a_n}{a_n + 4} = \frac{-a_n^2 - 2a_n + 3}{a_n + 4} = \frac{-(a_n^2 + 2a_n - 3)}{a_n + 4} $$

Factorizamos el numerador:

$$a_{n+1} - a_n = \frac{-(a_n - 1)(a_n + 3)}{a_n + 4} = \frac{(1 - a_n)(a_n + 3)}{a_n + 4} $$

Como hemos demostrado que $0 \le a_n < 1 $:

El factor $1 - a_n > 0 $, el factor $a_n + 3 > 0 $, y el denominador $a_n + 4 > 0 $

Por tanto:

$$a_{n+1} - a_n > 0 \implies a_n < a_{n+1}, \quad \forall n \in N $$

👉 Paso 4

Conclusión de convergencia por convergencia monótona.

Al ser monótona estrictamente creciente y acotada superiormente por 1, por el Teorema de la Convergencia Monótona converge exactamente al único punto fijo en dicho rango:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 1 $$

✅ Conclusión

La sucesión recurrente converge de forma monótona creciente hacia el límite $L = 1 $