2.2 2.2 Métodos de resolución de límites

2.2 Métodos de resolución de límites

El Teorema de Stolz-Cesàro

El criterio de Stolz-Cesàro es la herramienta más poderosa para resolver indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty} $ y $\frac{0}{0} $ en sucesiones discretas:

📐 Teorema: de Stolz-Cesàro

Dadas dos sucesiones de números reales $\{a_n\} $ y $\{b_n\} $, supongamos que se verifica una de las dos condiciones siguientes:

Condición 1 (Caso $\frac{\infty}{\infty} $):

$\{b_n\} $ es estrictamente monótona creciente ($b_{n+1} > b_n $) y divergentemente infinita: $\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty $

Condición 2 (Caso $\frac{0}{0} $):

$\{b_n\} $ es estrictamente monótona decreciente hacia cero ($\lim b_n = 0 $), con $b_n \ne 0 $, y además $\lim a_n = 0 $

Bajo cualquiera de estas hipótesis, si existe el límite del cociente de diferencias consecutivas (finito o infinito):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L \implies \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L $$

📝 Ejemplo: de Stolz:

Calcular $$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^2} $$

El denominador $b_n = n^2 $ es estrictamente creciente hacia $+\infty $

Aplicamos Stolz:

$$a_n - a_{n-1} = n $$

$$b_n - b_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1 $$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 - 1/n} = \frac{1}{2} \implies \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^2} = \frac{1}{2} $$

Criterios de la media aritmética, geométrica y de la raíz

Criterio de la Media Aritmética:

Si una sucesión satisface $\lim_{n \to \infty} x_n = L $, entonces la sucesión de sus medias aritméticas converge al mismo límite:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = L $$

Criterio de la Media Geométrica:

Si $x_n > 0 $ y $\lim_{n \to \infty} x_n = L $, entonces la media geométrica converge al mismo límite:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} = L $$

Criterio de la Raíz (Relación Raíz-Cociente):

Si $a_n > 0 $ y existe el límite del cociente de términos consecutivos $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L $, entonces la raíz n-ésima converge exactamente al mismo límite:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L $$

📝 Ejemplo: de raíz-cociente:

Calcular $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} $

Tomamos $a_n = n $. Calculamos el cociente: $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{n+1}{n} = 1 $$. Por el criterio, $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $

Indeterminación uno elevado a infinito

📐 Teorema: del Límite Tipo e

Si $\lim_{n \to \infty} a_n = 1 $ y $\lim_{n \to \infty} b_n = \pm \infty $, entonces la indeterminación $1^\infty $ se resuelve transformándola en la base exponencial:

$$\lim_{n \to \infty} a_n^{b_n} = e^{\lim_{n \to \infty} b_n(a_n - 1)} $$

📝 Ejemplo:

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 3}{n - 1}\right)^{2n} $$

Base $a_n = \frac{n + 3}{n - 1} \to 1 $, exponente $b_n = 2n \to \infty $

$$b_n(a_n - 1) = 2n \left(\frac{n + 3}{n - 1} - 1\right) = 2n \left(\frac{n + 3 - n + 1}{n - 1}\right) = 2n \left(\frac{4}{n - 1}\right) = \frac{8n}{n - 1} \to 8 $$

Por tanto, el límite es $e^8 $

Jerarquía de infinitos

Cuando $n \to \infty $, las sucesiones crecen hacia el infinito con órdenes de magnitud radicalmente dispares.

La escala canónica estricta de infinitos es:

$$\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n \quad (p > 0, \; a > 1) $$

Si una sucesión de mayor jerarquía divide a otra de menor jerarquía, el límite del cociente es 0:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^p} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n^p}{a^n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0 $$

📝 Ejemplo 1 Aplicación del criterio de Stolz a una suma de potencias k-ésimas

Cálculo del límite fundamental de Faulhaber mediante diferencias consecutivas

Sea $k \in N $. Calcular el límite de la suma de potencias k-ésimas escalada por la potencia k más uno:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k}{n^{k+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^n i^k}{n^{k+1}} $$

👉 PASO 1

Verificación de las hipótesis del Criterio de Stolz.

Identificamos el numerador y el denominador:

$$a_n = \sum_{i=1}^n i^k = 1^k + 2^k + \dots + n^k $$

$$b_n = n^{k+1} $$

El denominador $b_n = n^{k+1} $ es estrictamente creciente ($n^{k+1} < (n+1)^{k+1} $) y tiende a $+\infty $

Por el Teorema de Stolz-Cesàro, si existe el límite del cociente de incrementos, ambos límites coinciden.

👉 PASO 2

Cálculo de los incrementos de numerador y denominador.

Incremento del numerador:

$$a_n - a_{n-1} = \left(\sum_{i=1}^n i^k\right) - \left(\sum_{i=1}^{n-1} i^k\right) = n^k $$

Incremento del denominador mediante desarrollo binomial:

$$b_n - b_{n-1} = n^{k+1} - (n - 1)^{k+1} $$

Aplicamos el binomio de Newton a $(n - 1)^{k+1} $:

$$(n - 1)^{k+1} = n^{k+1} - \binom{k+1}{1} n^k + \binom{k+1}{2} n^{k-1} - \dots = n^{k+1} - (k + 1)n^k + O(n^{k-1}) $$

Por tanto, restando:

$$b_n - b_{n-1} = n^{k+1} - [n^{k+1} - (k + 1)n^k + O(n^{k-1})] = (k + 1)n^k + O(n^{k-1}) $$

👉 PASO 3

Cálculo del límite del cociente de incrementos.

Planteamos el cociente de Stolz:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{(k + 1)n^k + O(n^{k-1})} $$

Dividimos numerador y denominador entre la máxima potencia $n^k $:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(k + 1) + O(1/n)} = \frac{1}{k + 1} $$

✅ Conclusión

Por el criterio de Stolz, el límite es exactamente $L = \frac{1}{k + 1} $. (Por ejemplo, para $k = 1 $ da $1/2 $, para $k = 2 $ da $1/3 $).

📝 Ejemplo 2 Criterio de la raíz y fórmula de Stirling para factoriales

Cálculo analítico del límite de la raíz n-ésima del factorial entre n

Calcular el límite de la sucesión que relaciona el crecimiento factorial con el lineal:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} $$

👉 PASO 1

Introducción de la variable n dentro del radical n-ésimo.

Introducimos el denominador $n $ dentro de la raíz n-ésima elevándolo a la potencia $n $:

$$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} $$

Definimos el término radicando como la sucesión positiva:

$$a_n = \frac{n!}{n^n} > 0, \quad \forall n \in N $$

Queremos calcular $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $

👉 PASO 2

Aplicación del Criterio de la Raíz-Cociente.

Por el Criterio de la Raíz, si existe el límite del cociente de términos consecutivos $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $, entonces $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$

Calculamos el cociente consecutivo:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n + 1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n + 1)^{n+1}} $$

👉 PASO 3

Simplificación de factoriales y potencias.

Como $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! $ y $(n + 1)^{n+1} = (n + 1) \cdot (n + 1)^n $:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1) \cdot n!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n + 1) \cdot (n + 1)^n} = \frac{n + 1}{n + 1} \cdot \left(\frac{n}{n + 1}\right)^n = 1 \cdot \left(\frac{1}{\frac{n + 1}{n}}\right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} $$

Tomamos el límite cuando $n \to \infty $:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{e} = e^{-1} $$

✅ Conclusión

Por el Criterio de la Raíz, el límite pedido es exactamente $L = \frac{1}{e} = e^{-1} \approx 0{,}367879 $

📝 Ejemplo 3 Indeterminación uno elevado a infinito con polinomios de igual grado

Resolución analítica paso a paso mediante transformación a la base exponencial de Euler

Calcular el límite de la potencia funcional:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 4} \right)^{\frac{3n^2 + 2}{n + 1}} $$

👉 PASO 1

Identificación del tipo de indeterminación.

Analizamos el límite de la base:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{2n^2} = 1 $$

Analizamos el límite del exponente:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{n} = \lim_{n \to \infty} 3n = +\infty $$

Se trata de una indeterminación del tipo canónico $1^\infty $

👉 PASO 2

Aplicación de la fórmula exponencial e elevado a b por a menos uno.

Aplicamos la fórmula del Teorema 2.8:

$$L = e^{\lim_{n \to \infty} b_n(a_n - 1)} $$

Calculamos la diferencia $a_n - 1 $:

$$a_n - 1 = \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 4} - 1 = \frac{(2n^2 + 5n - 1) - (2n^2 - 3n + 4)}{2n^2 - 3n + 4} = \frac{8n - 5}{2n^2 - 3n + 4} $$

👉 PASO 3

Multiplicación por el exponente y cálculo del límite del exponente.

Multiplicamos por $b_n = \frac{3n^2 + 2}{n + 1} $:

$$b_n(a_n - 1) = \left(\frac{3n^2 + 2}{n + 1}\right) \cdot \left(\frac{8n - 5}{2n^2 - 3n + 4}\right) = \frac{(3n^2 + 2)(8n - 5)}{(n + 1)(2n^2 - 3n + 4)} $$

Multiplicamos los términos dominantes de mayor grado en numerador y denominador:

Numerador: $3n^2 \cdot 8n = 24n^3 + O(n^2) $

Denominador: $n \cdot 2n^2 = 2n^3 + O(n^2) $

Tomamos el límite del cociente polinómico de igual grado (grado 3 en ambos):

$$\lim_{n \to \infty} b_n(a_n - 1) = \lim_{n \to \infty} \frac{24n^3 + O(n^2)}{2n^3 + O(n^2)} = \frac{24}{2} = 12 $$

✅ Conclusión

El límite pedido es exactamente $L = e^{12} $

📝 Ejemplo 4 Resolución de indeterminación infinito menos infinito con raíces de distinto orden

Multiplicación por factores conjugados generalizados para eliminar indeterminaciones radicales

Calcular el límite de la diferencia de raíces cuando n tiende a infinito:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n + 2} - \sqrt{n^2 - 2n + 5} \right) $$

👉 PASO 1

Diagnóstico de la indeterminación.

Cuando $n \to \infty $:

$$\sqrt{n^2 + 6n + 2} \to +\infty \quad \text{y} \quad \sqrt{n^2 - 2n + 5} \to +\infty $$

Se presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty $

👉 PASO 2

Multiplicación y división por la expresión conjugada.

Multiplicamos y dividimos por la suma de los radicales correspondientes:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 6n + 2} - \sqrt{n^2 - 2n + 5})(\sqrt{n^2 + 6n + 2} + \sqrt{n^2 - 2n + 5})}{\sqrt{n^2 + 6n + 2} + \sqrt{n^2 - 2n + 5}} $$

Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador:

$$(n^2 + 6n + 2) - (n^2 - 2n + 5) = n^2 + 6n + 2 - n^2 + 2n - 5 = 8n - 3 $$

Por tanto:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{8n - 3}{\sqrt{n^2 + 6n + 2} + \sqrt{n^2 - 2n + 5}} $$

👉 PASO 3

Extracción de la potencia dominante n.

Dividimos numerador y denominador entre $n = \sqrt{n^2} $:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{8n - 3}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 + 6n + 2}}{\sqrt{n^2}} + \frac{\sqrt{n^2 - 2n + 5}}{\sqrt{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{8 - \frac{3}{n}}{\sqrt{1 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}} $$

Evaluando los infinitésimos cuando $n \to \infty $:

$$L = \frac{8 - 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{8}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{8}{1 + 1} = \frac{8}{2} = 4 $$

✅ Conclusión

El límite de la diferencia de raíces es exactamente $L = 4 $

📝 Ejemplo 5 Criterio de Stolz aplicado a sumas de logaritmos y la constante de Euler-Mascheroni

Cálculo analítico del límite del cociente entre logaritmo del factorial y n logaritmo de n

Demostrar mediante el criterio de Stolz-Cesàro que el logaritmo del factorial es asintóticamente equivalente a n logaritmo de n, calculando:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n!)}{n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n \ln k}{n \ln n} $$

👉 PASO 1

Transformación logarítmica y comprobación de hipótesis de Stolz.

Por las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:

$$\ln(n!) = \ln(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = \sum_{k=1}^n \ln k $$

Identificamos las sucesiones:

$$a_n = \ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k $$

$$b_n = n \ln n $$

Como $b_n = n \ln n $ es estrictamente creciente para $n \ge 1 $ y tiende a $+\infty $, se cumplen las condiciones del Criterio de Stolz.

👉 PASO 2

Cálculo de los incrementos consecutivos.

Incremento del numerador:

$$a_n - a_{n-1} = \ln(n!) - \ln((n-1)!) = \ln\left(\frac{n!}{(n-1)!}\right) = \ln n $$

Incremento del denominador:

$$b_n - b_{n-1} = n \ln n - (n - 1) \ln(n - 1) $$

Reescribimos sumando y restando $(n - 1) \ln n $:

$$= n \ln n - (n - 1) \ln n + (n - 1) \ln n - (n - 1) \ln(n - 1) = \ln n + (n - 1) \left[\ln n - \ln(n - 1)\right] = \ln n + (n - 1) \ln\left(\frac{n}{n - 1}\right) $$

👉 PASO 3

Cálculo del límite del cociente de diferencias.

Planteamos el cociente de Stolz dividiendo entre $\ln n $:

$$\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \frac{\ln n}{\ln n + (n - 1) \ln\left(\frac{n}{n - 1}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{n - 1}{\ln n} \ln\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)} $$

Analizamos el término $\ln\left(1 + \frac{1}{n-1}\right) $ mediante equivalencia asintótica:

Como $\frac{1}{n-1} \to 0 $, sabemos que $\ln(1 + u) \sim u $. Por tanto:

$$(n - 1) \ln\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) \sim (n - 1) \cdot \frac{1}{n - 1} = 1 $$

Sustituyendo este resultado:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n - 1}{\ln n} \ln\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = \frac{1}{\infty} = 0 $$

Por tanto:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \frac{1}{1 + 0} = 1 $$

✅ Conclusión

Por el Criterio de Stolz, el límite es exactamente $L = 1 $, demostrando la equivalencia asintótica $\ln(n!) \sim n \ln n $