3.1 3.1 Introducción a las series numéricas

3.1 Introducción a las series numéricas

La paradoja de Zenón de Elea y el infinito en acto

En el siglo V a.

C., el filósofo griego Zenón de Elea formuló célebres aporías sobre el movimiento y el espacio continuo, diseñadas para sostener que el cambio y el desplazamiento eran ilusiones lógicas:

La Paradoja de la Dicotomía

Para que un corredor recorra la distancia de 1 metro hasta una pared, debe alcanzar primero la mitad del trayecto ($1/2 $ de metro).

Antes de alcanzar esa mitad, debe recorrer la cuarta parte ($1/4 $ de metro), y previamente la octava ($1/8 $ de metro).

Como esta subdivisión por mitades se repite indefinidamente, el corredor debe completar una infinidad de etapas consecutivas.

Zenón argumentaba erróneamente que una suma de infinitas etapas temporales jamás podría culminarse en un tiempo finito.

La Carrera entre Aquiles y la Tortuga

Aquiles, el héroe más veloz de la antigüedad, corre diez veces más rápido que una tortuga, dándole una ventaja inicial de 100 metros.

Cuando Aquiles alcanza los 100 metros, la tortuga ha avanzado 10 metros; cuando Aquiles recorre esos 10 metros, la tortuga ha avanzado 1 metro más; cuando recorre ese metro, la tortuga avanza 1 decímetro.

Conclusión aparente de Zenón: Aquiles se aproxima constantemente a la tortuga, pero nunca llega a superarla.

📝 Ejemplo conceptual:

La distancia total recorrida por Aquiles en las etapas sucesivas es la suma infinita:

$$d = 100 + 10 + 1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \dots = 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots $$

El cálculo infinitesimal demuestra que esta suma no es infinita, sino exactamente el número racional finito $d = \frac{1000}{9} = 111{,}111\dots $

La resolución matemática: sumas infinitas de magnitud finita

El error fundamental de la filosofía griega radicaba en confundir una infinidad de subdivisiones con una longitud o duración infinita.

El concepto moderno de serie numérica resuelve la aporía demostrando que si los sumandos decrecen con suficiente rapidez geométrica, la acumulación total de infinitos términos es estrictamente un número real finito.

La Suma Geométrica de Zenón:

Consideremos la suma de las infinitas fracciones del recorrido de la dicotomía:

$$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} $$

Si tomamos un cuadrado de área unidad y lo cortamos por la mitad, cortamos la mitad restante por la mitad, y así sucesivamente, la suma de todas las partes infinitas reconstituye exactamente el cuadrado completo:

$$S = 1 $$

📝 Ejemplo:

Si sumamos los primeros términos de la serie:

$$S_1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$

$$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$

$$S_3 = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875 $$

$$S_n = 1 - \frac{1}{2^n} \longrightarrow 1 \quad \text{cuando } n \to \infty $$

📝 Ejemplo 1 Modelización del problema de Aquiles y la tortuga como serie geométrica

Cálculo exacto del tiempo y la distancia finita en que el corredor más veloz alcanza a la tortuga

Aquiles corre a una velocidad constante de $v_A = 10 \text{ m/s} $ y la tortuga avanza a $v_T = 1 \text{ m/s} $, partiendo la tortuga con una ventaja inicial de $d_0 = 90 \text{ metros} $. Calcular mediante una serie infinita el tiempo exacto que tarda Aquiles en alcanzarla.

👉 PASO 1

Formulación del tiempo requerido en cada intervalo sucesivo.

Etapa 1: Aquiles tarda en recorrer la ventaja inicial de 90 metros:

$$t_1 = \frac{d_0}{v_A} = \frac{90}{10} = 9 \text{ segundos} $$

En este tiempo, la tortuga avanza una nueva distancia $$d_1 = v_T \cdot t_1 = 1 \cdot 9 = 9 \text{ metros} $$

Etapa 2: Aquiles tarda en cubrir esos 9 metros:

$$t_2 = \frac{d_1}{v_A} = \frac{9}{10} = 0{,}9 \text{ segundos} $$

En este tiempo, la tortuga avanza $d_2 = 1 \cdot 0{,}9 = 0{,}9 \text{ metros} $

Etapa general k: El tiempo de la etapa $k $ satisface:

$$t_k = 9 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{k-1} $$

👉 PASO 2

Suma de los infinitos intervalos temporales.

El tiempo total para alcanzar a la tortuga es la serie infinita:

$$T = \sum_{k=1}^\infty t_k = 9 + 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \dots = 9 \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^k $$

Se trata de una serie geométrica de primer término $a = 9 $ y razón $r = \frac{1}{10} = 0{,}1 < 1 $

👉 PASO 3

Cálculo exacto de la suma finita.

Aplicamos la fórmula de la suma infinita $S = \frac{a}{1 - r} $:

$$T = \frac{9}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{9}{\frac{9}{10}} = 9 \cdot \frac{10}{9} = 10 \text{ segundos} $$

En 10 segundos, Aquiles recorre $$10 \text{ m/s} \cdot 10 \text{ s} = 100 \text{ metros} $$, y la tortuga recorre $90 + 1 \cdot 10 = 100 \text{ metros} $, encontrándose en el mismo punto exacto.

✅ Conclusión

Aquiles alcanza a la tortuga en un tiempo finito de exactamente 10 segundos tras recorrer 100 metros.

📝 Ejemplo 2 Distancia total recorrida por una pelota en rebote elástico continuo

Cálculo de la trayectoria infinita de rebotes decrecientes mediante sumas geométricas

Una pelota se deja caer desde una altura inicial de $h_0 = 10 \text{ metros} $. Tras cada impacto contra el suelo, rebota alcanzando exactamente los tres cuartos ($3/4 $) de la altura desde la que cayó.

Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta que queda teóricamente en reposo.

👉 PASO 1

Desglose de las trayectorias de caída y ascenso en cada rebote.

Etapa inicial: La pelota recorre una sola caída de $h_0 = 10 \text{ m} $

Primer rebote: Sube hasta $h_1 = \frac{3}{4}(10) $ y vuelve a bajar esa misma distancia.

La distancia recorrida en el primer rebote es $2h_1 = 2 \cdot \frac{3}{4}(10) $

Rebote k-ésimo: La pelota sube y baja la altura $h_k = 10 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k $. La distancia en ese rebote es $2h_k = 20 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k $

👉 PASO 2

Planteamiento de la serie de la distancia total.

La distancia total recorrida es la suma de la primera caída más el doble de todos los rebotes infinitos:

$$D = h_0 + \sum_{k=1}^\infty 2h_k = 10 + 20 \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^k $$

👉 PASO 3

Cálculo de la suma de la serie geométrica.

Evaluamos la serie geométrica con primer término $a = \frac{3}{4} $ y razón $r = \frac{3}{4} $:

$$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 $$

Sustituyendo en la fórmula de la distancia:

$$D = 10 + 20 \cdot 3 = 10 + 60 = 70 \text{ metros} $$

✅ Conclusión

A pesar de dar teóricamente infinitos rebotes, la distancia total recorrida por la pelota es finita y vale exactamente 70 metros.

📝 Ejemplo 3 Área total de la figura fractal del copo de nieve de Koch

Cálculo analítico del área finita de un fractal de perímetro infinito mediante series

El copo de nieve de Koch se construye partiendo de un triángulo equilátero de lado 1 y área $A_0 $. En cada iteración se sustituye el tercio central de cada lado por un nuevo triángulo equilátero hacia afuera.

Calcular el área total del fractal límite como una serie geométrica.

👉 PASO 1

Área del triángulo equilátero inicial de lado unidad.

Para un triángulo equilátero de lado $L = 1 $, su altura es $h = \frac{\sqrt{3}}{2} $, y su área inicial es:

$$A_0 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

👉 PASO 2

Área y número de triángulos añadidos en cada etapa k.

En la etapa 1: Se añaden 3 triángulos nuevos, cada uno de lado $1/3 $. Su área es $\frac{A_0}{3^2} = \frac{A_0}{9} $

Área añadida: $$\Delta A_1 = 3 \cdot \frac{A_0}{9} = \frac{A_0}{3} $$

En la etapa $k \ge 1 $: Se añaden $N_k = 3 \cdot 4^{k-1} $ triángulos, cada uno con lado $\left(\frac{1}{3}\right)^k $ y área $\frac{A_0}{9^k} $

El área añadida en la etapa $k $ es:

$$\Delta A_k = 3 \cdot 4^{k-1} \cdot \frac{A_0}{9^k} = \frac{3}{4} A_0 \left(\frac{4}{9}\right)^k $$

👉 PASO 3

Suma de la serie infinita de áreas añadidas.

El área total es el área inicial más la suma de todos los incrementos:

$$A = A_0 + \sum_{k=1}^\infty \Delta A_k = A_0 + \frac{3}{4} A_0 \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^k $$

La serie geométrica tiene razón $r = \frac{4}{9} < 1 $:

$$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^k = \frac{\frac{4}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4}{5} $$

Sustituyendo:

$$A = A_0 + \frac{3}{4} A_0 \left(\frac{4}{5}\right) = A_0 + \frac{3}{5} A_0 = \frac{8}{5} A_0 = \frac{8}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{5} $$

✅ Conclusión

El copo de nieve de Koch encierra un área finita de exactamente $A = \frac{2\sqrt{3}}{5} \approx 0{,}6928 $, a pesar de que su perímetro es infinito.

📝 Ejemplo 4 Creación y disolución de un fármaco con dosis periódicas repetidas

Cálculo de la acumulación residual asintótica en el torrente sanguíneo mediante series

Un paciente recibe cada 8 horas una inyección de 500 mg de un fármaco.

Cada 8 horas, el organismo metaboliza y elimina el 60% de la cantidad presente en sangre, reteniendo el 40% restante.

Calcular la cantidad máxima residual asintótica presente en el torrente sanguíneo justo después de aplicar una dosis a largo plazo.

👉 PASO 1

Formulación de la cantidad presente tras sucesivas administraciones.

Sea $C_0 = 500 \text{ mg} $ la dosis fija administrada.

La fracción que permanece en sangre tras cada intervalo de 8 horas es $r = 1 - 0{,}60 = 0{,}40 = \frac{2}{5} $

Tras la 1ª inyección: $Q_1 = 500 $

Tras la 2ª inyección: Se inyectan 500 mg y queda el 40% de la anterior:

$$Q_2 = 500 + 500(0{,}4) $$

Tras la 3ª inyección:

$$Q_3 = 500 + 500(0{,}4) + 500(0{,}4)^2 $$

Tras la n-ésima inyección:

$$Q_n = 500 \sum_{k=0}^{n-1} (0{,}4)^k $$

👉 PASO 2

Paso al límite para n tendiendo a infinito.

A largo plazo, la cantidad de fármaco acumulado tras infinitas aplicaciones se modela mediante la serie geométrica:

$$Q_\infty = \lim_{n \to \infty} Q_n = 500 \sum_{k=0}^\infty (0{,}4)^k $$

👉 PASO 3

Cálculo exacto de la cota máxima estacionaria.

Como $|r| = 0{,}4 < 1 $, la serie converge a:

$$Q_\infty = 500 \cdot \frac{1}{1 - 0{,}4} = 500 \cdot \frac{1}{0{,}6} = 500 \cdot \frac{10}{6} = 500 \cdot \frac{5}{3} = \frac{2500}{3} \approx 833{,}33 \text{ mg} $$

✅ Conclusión

La concentración máxima en sangre se estabiliza de forma asintótica en exactamente $\frac{2500}{3} \approx 833{,}33 \text{ mg} $

📝 Ejemplo 5 Paradoja del tiempo de caída en rebotes elásticos acumulados

Demostración de que la pelota realiza infinitos rebotes en un tiempo total finito

Para la pelota del Ejemplo 2, dejada caer desde 10 metros con coeficiente de rebote 3/4, demostrar que el tiempo total empleado en realizar los infinitos rebotes es finito (aceleración de la gravedad $g = 9{,}8 \text{ m/s}^2 $).

👉 PASO 1

Tiempo de caída libre en función de la altura.

Por las ecuaciones de la cinemática, el tiempo de caída desde una altura $h $ partiendo del reposo es:

$$h = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

Para la primera caída desde $h_0 = 10 \text{ m} $:

$$t_0 = \sqrt{\frac{2(10)}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{20}{9{,}8}} \approx 1{,}4286 \text{ segundos} $$

👉 PASO 2

Tiempo empleado en cada rebote posterior.

En el rebote $k $, la altura máxima es $h_k = h_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k $

El tiempo total de ascenso y descenso en ese rebote es el doble del tiempo de caída:

$$\tau_k = 2 \sqrt{\frac{2h_k}{g}} = 2 \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \cdot \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^k} = 2 t_0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k $$

👉 PASO 3

Suma de la serie infinita de tiempos de rebote.

El tiempo total transcurrido hasta el reposo absoluto es la serie:

$$T = t_0 + \sum_{k=1}^\infty \tau_k = t_0 + 2t_0 \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k $$

La serie es geométrica de razón $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1{,}732}{2} = 0{,}866 < 1 $$

Calculamos la suma:

$$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + 3 \approx 6{,}464 $$

Sustituyendo:

$$T = t_0 [1 + 2(2\sqrt{3} + 3)] = t_0 (7 + 4\sqrt{3}) \approx 1{,}4286 \cdot (7 + 6{,}9282) = 1{,}4286 \cdot 13{,}9282 \approx 19{,}90 \text{ s} $$

✅ Conclusión

La pelota completa los infinitos rebotes en un tiempo total rigurosamente finito de aproximadamente 19,9 segundos.