1.2 1.2.4 Intervalos en ℝ

1.2.4 Intervalos en ℝ

Definición geométrica y tipología de intervalos

Un intervalo de la recta real $R $ es un conjunto de números reales que contiene a todos los números comprendidos entre dos extremos dados $a, b \in R $ con $a < b $, o bien aquellos delimitados por el infinito.

Representan geométricamente segmentos o semirrectas continuas sin ningún tipo de hueco o salto.

Intervalos Acotados (Finitos):

Intervalo Abierto: no incluye a ninguno de sus extremos

$$(a, b) = \{x \in R : a < x < b\} $$

Intervalo Cerrado: incluye a ambos extremos

$$[a, b] = \{x \in R : a \le x \le b\} $$

Intervalos Semiabiertos (o semicerrados)

$$[a, b) = \{x \in R : a \le x < b\} $$

$$(a, b] = \{x \in R : a < x \le b\} $$

📝 Ejemplo conceptual:

Si un componente electrónico opera a temperaturas entre 20 y 80 grados centígrados inclusive, su rango de funcionamiento es el intervalo cerrado $T \in [20, 80] $

Intervalos No Acotados (Semirrectas e infinitos):

Semirrecta abierta superior: $$(a, \infty) = \{x \in R : x > a\} $$

Semirrecta cerrada superior: $$[a, \infty) = \{x \in R : x \ge a\} $$

Semirrecta abierta inferior: $$(-\infty, b) = \{x \in R : x < b\} $$

Semirrecta cerrada inferior: $$(-\infty, b] = \{x \in R : x \le b\} $$

La recta real completa: $$(-\infty, \infty) = R $$

📝 Ejemplo:

Las soluciones de la desigualdad $x > -3 $ forman la semirrecta abierta $(-3, \infty) $

Operaciones con intervalos: unión e intersección

Intersección de Intervalos ($\cap $):

Representa el conjunto de puntos comunes que pertenecen simultáneamente a ambos intervalos:

$$A \cap B = \{x \in R : x \in A \quad \text{y} \quad x \in B\} $$

📝 Ejemplo:

Para $A = [-2, 5] $ y $B = (1, 8) $:

$$A \cap B = (1, 5] $$

Unión de Intervalos ($\cup $):

Representa el conjunto de puntos que pertenecen al menos a uno de los dos intervalos:

$$A \cup B = \{x \in R : x \in A \quad \text{ó} \quad x \in B\} $$

📝 Ejemplo:

Para los mismos conjuntos anteriores:

$$A \cup B = [-2, 8) $$

En el extremo $$x = 3 $$

$$\frac{3 - 3}{2(3) + 5} = \frac{0}{11} = 0 \le 0 $$

- En $I_3 $, probamos $x = 4 $:

$$\frac{4 - 3}{2(4) + 5} = \frac{1}{13} > 0 $$

✅ Conclusión

El conjunto solución es el intervalo semiabierto $S = \left(-\frac{5}{2}, 3\right] $

📝 Ejemplo 1:

Resolución analítica de una inecuación racional con cambio de signo

Determinación del intervalo solución de una fracción algebraica mediante tabla de signos

Resolver en el conjunto de los números reales la inecuación racional $\frac{x - 3}{2x + 5} \le 0 $

👉 PASO 1

Puntos críticos de anulación del numerador y del denominador.

Hallamos los valores donde el numerador y el denominador se anulan:

Para el numerador: $x - 3 = 0 \implies x = 3 $

Para el denominador: $$2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} = -2{,}5 $$

El denominador no puede anularse jamás, por lo que el valor $x = -\frac{5}{2} $ es una exclusión estricta ($x \ne -\frac{5}{2} $).

👉 PASO 2

División de la recta real en intervalos de prueba.

Los puntos críticos particionan la recta real en tres intervalos:

$$I_1 = \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right) $$

$$I_2 = \left(-\frac{5}{2}, 3\right] $$

$$I_3 = (3, \infty) $$

👉 PASO 3

Análisis de signos de la fracción.

Evaluamos puntos de prueba:

- En $I_1 $, probamos $x = -4 $:

$$\frac{-4 - 3}{2(-4) + 5} = \frac{-7}{-8 + 5} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} > 0 $$

- En $I_2 $, probamos $x = 0 $:

$$\frac{0 - 3}{2(0) + 5} = \frac{-3}{5} = -0{,}6 \le 0 $$

📝 Ejemplo 2:

Inecuación racional con término independiente no nulo

Resolución rigurosa reduciendo a cero sin multiplicar precipitadamente por variables

Resolver en el conjunto de los números reales la inecuación fraccionaria $\frac{2x + 1}{x - 2} \ge 1 $

👉 PASO 1

Traslación del término independiente para comparar con cero.

Restamos 1 en ambos miembros (prohibido multiplicar por $x - 2 $ porque su signo varía según el valor de equis):

$$\frac{2x + 1}{x - 2} - 1 \ge 0 $$

Reducimos a común denominador:

$$\frac{2x + 1 - (x - 2)}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{2x + 1 - x + 2}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{x + 3}{x - 2} \ge 0 $$

👉 PASO 2

Determinación de raíces y exclusiones.

Numerador: $x + 3 = 0 \implies x = -3 $

Denominador: $x - 2 = 0 \implies x = 2 $, con exclusión obligatoria $x \ne 2 $

👉 PASO 3

Estudio de los intervalos resultantes.

La recta se divide en:

- $(-\infty, -3] $: probamos $x = -4 $, $$\frac{-4 + 3}{-4 - 2} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 $$

- $[-3, 2) $: probamos $x = 0 $, $\frac{0 + 3}{0 - 2} = -\frac{3}{2} < 0 $

- $(2, \infty) $: probamos $x = 3 $, $\frac{3 + 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6 > 0 $

✅ Conclusión

El conjunto de soluciones en la recta real es la unión disjunta de intervalos $S = (-\infty, -3] \cup (2, \infty) $

📝 Ejemplo 3:

Sistema simultáneo de inecuaciones lineales continuas

Cálculo de la intersección de dos semirrectas con soluciones conjuntas

Resolver el sistema simultáneo de inecuaciones lineales en los números reales:

$$\begin{cases} 3x - 5 < 7 \\ 2x + 4 \ge -2 \end{cases} $$

👉 PASO 1

Resolución de la primera inecuación.

$$3x - 5 < 7 \implies 3x < 7 + 5 \implies 3x < 12 \implies x < \frac{12}{3} \implies x < 4 $$

El conjunto solución de la primera inecuación es el intervalo abierto:

$$S_1 = (-\infty, 4) $$

👉 PASO 2

Resolución de la segunda inecuación.

$$2x + 4 \ge -2 \implies 2x \ge -2 - 4 \implies 2x \ge -6 \implies x \ge -\frac{6}{2} \implies x \ge -3 $$

El conjunto solución de la segunda inecuación es la semirrecta cerrada:

$$S_2 = [-3, \infty) $$

👉 PASO 3

Intersección de ambos conjuntos solución.

Para que un número real satisfaga el sistema debe pertenecer simultáneamente a $S_1 $ y a $S_2 $:

$$S = S_1 \cap S_2 = (-\infty, 4) \cap [-3, \infty) = [-3, 4) $$

✅ Conclusión

La solución del sistema simultáneo de inecuaciones es el intervalo semiabierto $S = [-3, 4) $

📝 Ejemplo 4:

Determinación del dominio de definición de una función con raíz y logaritmo

Cálculo analítico del dominio continuo mediante intersección de intervalos admisibles

Determinar el dominio maximal de definición en los números reales de la función real de variable real:

$$f(x) = \sqrt{9 - x^2} + \ln(x - 1) $$

👉 PASO 1

Condición de existencia para la raíz cuadrada de índice par.

El radicando debe ser mayor o igual que cero:

$$9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3 $$

El dominio admisible para la raíz es el intervalo cerrado:

$$D_1 = [-3, 3] $$

👉 PASO 2

Condición de existencia para el logaritmo neperiano.

El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo:

$$x - 1 > 0 \implies x > 1 $$

El dominio admisible para el logaritmo es la semirrecta abierta:

$$D_2 = (1, \infty) $$

👉 PASO 3

Intersección de ambas restricciones.

La función $f(x) $ está definida si y sólo si se verifican ambas condiciones a la vez:

$$\text{Dom}(f) = D_1 \cap D_2 = [-3, 3] \cap (1, \infty) = (1, 3] $$

✅ Conclusión

El dominio de definición de la función es el intervalo semiabierto $\text{Dom}(f) = (1, 3] $

📝 Ejemplo 5:

Inecuación fraccionaria cuadrática con factor cuadrático irreducible

Análisis de signos eliminando factores estrictamente positivos del denominador

Resolver en el conjunto de los números reales la inecuación racional:

$$\frac{x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)(x - 5)} \ge 0 $$

👉 PASO 1

Factorización completa del numerador y análisis del denominador.

Factorizamos el trinomio cuadrático del numerador buscando sus raíces:

$$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 $$

Analizamos el factor $x^2 + 1 $ en el denominador:

Como para todo $x \in R $, $x^2 \ge 0 $, se cumple con certeza que $x^2 + 1 \ge 1 > 0 $

Al ser un factor estrictamente positivo para cualquier valor de $x $, nunca cambia de signo ni se anula, por lo que no altera el signo de la fracción y puede cancelarse de la inecuación:

$$\frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 5} \ge 0 \quad \text{con} \quad x \ne 5 $$

👉 PASO 2

Identificación de puntos críticos y partición de la recta real.

Los puntos críticos son $x = 1 $, $x = 3 $ (donde la fracción se anula) y $x = 5 $ (donde la fracción no existe).

Los intervalos de prueba son:

$$I_1 = (-\infty, 1] $$

$$I_2 = [1, 3] $$

$$I_3 = [3, 5) $$

$$I_4 = (5, \infty) $$

👉 PASO 3

Evaluación de signos por intervalos.

- En $I_1 $, con $x = 0 $: $\frac{(-1)(-3)}{-5} = -\frac{3}{5} < 0 $

- En $I_2 $, con $x = 2 $: $\frac{(1)(-1)}{-3} = \frac{1}{3} > 0 $

- En $I_3 $, con $x = 4 $: $\frac{(3)(1)}{-1} = -3 < 0 $

- En $I_4 $, con $x = 6 $: $\frac{(5)(3)}{1} = 15 > 0 $

✅ Conclusión

El conjunto de soluciones en la recta real es $S = [1, 3] \cup (5, \infty) $