1.4 1.4.4 Teorema fundamental del álgebra

1.4.4 Teorema fundamental del álgebra

Enunciado formal y clausura algebraica de los números complejos

Históricamente, los sistemas numéricos fueron ampliándose sucesivamente para permitir la resolución de ecuaciones algebraicas: los enteros resolvían $x + a = b $, los racionales resolvían $ax = b $, y los reales permitían resolver $x^2 = 2 $. Sin embargo, en los números reales todavía existían polinomios sin ninguna raíz, como $x^2 + 1 = 0 $

La creación del cuerpo de los números complejos $C $ culminó de forma definitiva esta búsqueda gracias al Teorema Fundamental del Álgebra:

📐 Teorema: Fundamental del Álgebra (Carl Friedrich Gauss, 1799)

Todo polinomio no constante con coeficientes complejos de grado $n \ge 1 $:

$$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0, \quad (a_n \ne 0, \; a_i \in C) $$

tiene al menos una raíz en el cuerpo de los números complejos $C $

Esto significa que el cuerpo $C $ es algebraicamente cerrado: no existe ninguna ecuación polinómica con coeficientes complejos cuyas soluciones requieran salir de $C $

📝 Ejemplo conceptual:

El polinomio $P(z) = z^4 + 16 $ no tiene raíces reales ($x^4 + 16 \ge 16 > 0 $).

Sin embargo, en el cuerpo complejo tiene exactamente cuatro raíces: $z = \sqrt{2}(\pm 1 \pm i) \in C $

Teorema de factorización completa

Una consecuencia inmediata del Teorema Fundamental del Álgebra, combinada con la regla de Ruffini y el teorema del factor, es la descomposición factorial única:

📐 Teorema: de Descomposición Lineal Completa

Todo polinomio $P(z) $ de grado $n \ge 1 $ con coeficientes complejos se descompone de forma única (salvo el orden de los factores) en el producto de $n $ factores lineales de primer grado:

$$P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n) $$

donde $z_1, z_2, \dots, z_n \in C $ son las $n $ raíces del polinomio, contadas cada una tantas veces como indique su orden de multiplicidad.

📝 Ejemplo:

El polinomio $P(z) = 2z^3 - 6z^2 + 6z - 2 = 2(z - 1)^3 $ tiene grado 3 y posee una única raíz $z = 1 $ con orden de multiplicidad 3.

Teorema de las raíces complejas conjugadas para polinomios reales

Cuando los coeficientes del polinomio son todos números reales ($a_i \in R $), las raíces complejas presentan una propiedad de simetría determinante:

📐 Teorema: de las Raíces Conjugadas

Sea $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0 $ un polinomio con coeficientes estrictamente reales ($a_i \in R $).

Si el número complejo no real $z = a + bi \in C \setminus R $ ($b \ne 0 $) es una raíz de $P(x) $, entonces su conjugado $\bar{z} = a - bi $ es también una raíz de $P(x) $ con exactamente el mismo orden de multiplicidad.

Demostración analítica:

Si $P(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k = 0 $, tomamos el conjugado de toda la ecuación:

$$\overline{P(z)} = \overline{\sum_{k=0}^n a_k z^k} = \sum_{k=0}^n \overline{a_k} \, (\bar{z})^k $$

Como los coeficientes son reales, $\overline{a_k} = a_k $. Por tanto:

$$\sum_{k=0}^n a_k (\bar{z})^k = P(\bar{z}) = \bar{0} = 0 \implies P(\bar{z}) = 0 $$

Consecuencia Fundamental para Polinomios Reales:

Al agrupar cada par de raíces conjugadas $$(z - (a + bi))(z - (a - bi)) = (z - a)^2 - (bi)^2 = (z - a)^2 + b^2 = z^2 - 2az + (a^2 + b^2) $$, obtenemos un polinomio cuadrático con coeficientes reales irreducibles sobre $R $ (cuyo discriminante es $\Delta = (-2a)^2 - 4(a^2 + b^2) = -4b^2 < 0 $).

Por tanto: Todo polinomio con coeficientes reales se factoriza sobre $R $ en producto de factores lineales de la forma $(x - c) $ y factores cuadráticos irreducibles de la forma $(x^2 + px + q) $ con $p^2 - 4q < 0 $

Además, todo polinomio real de grado impar tiene obligatoriamente al menos una raíz real.

En el cuerpo complejo $$C $$ se descompone en cuatro factores lineales

$$P(z) = (z - i)(z + i)(z - (1 + i))(z - (1 - i)) $$

En el cuerpo real $$R $$ se descompone en dos factores cuadráticos irreducibles

$$P(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 2x + 2) $$

📝 Ejemplo 1:

Factorización completa en C y en R de un polinomio real de cuarto grado

Construcción de factores lineales complejos y agrupación en cuadráticos reales irreducibles

Factorizar completamente en el cuerpo de los números complejos $C $ y en el cuerpo de los números reales $R $ el polinomio $P(z) = z^4 - 2z^3 + 3z^2 - 2z + 2 $, sabiendo que $z = i $ es una de sus raíces.

👉 PASO 1

Deducción de la raíz conjugada por coeficientes reales.

Los coeficientes del polinomio $1, -2, 3, -2, 2 $ son todos números reales.

Por el Teorema de las Raíces Conjugadas, al ser $z_1 = i $ una raíz, su conjugado $z_2 = -i $ es obligatoriamente otra raíz de $P(z) $

👉 PASO 2

Construcción del factor cuadrático real y división de polinomios.

El producto de los dos factores lineales complejos correspondientes es:

$$(z - i)(z + i) = z^2 - i^2 = z^2 + 1 $$

Dividimos $P(z) $ entre $z^2 + 1 $:

$$(z^4 - 2z^3 + 3z^2 - 2z + 2) \div (z^2 + 1) = z^2 - 2z + 2 $$

El resto de la división es exactamente cero, por lo que:

$$P(z) = (z^2 + 1)(z^2 - 2z + 2) $$

👉 PASO 3

Cálculo de las dos raíces complejas restantes y factorizaciones finales.

Hallamos las raíces del cociente cuadrático $z^2 - 2z + 2 = 0 $:

$$z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i $$

Obtenemos las raíces $z_3 = 1 + i $ y $z_4 = 1 - i $

✅ Conclusión

📝 Ejemplo 2:

Construcción del polinomio mónico de menor grado dadas raíces complejas y reales

Determinación de la expresión polinómica real a partir de condiciones algebraicas y multiplicidades

Hallar el polinomio mónico de menor grado con coeficientes estrictamente reales $P(x) \in R[x] $ que tenga a $x = 3 $ como raíz simple y a $x = 2 - i\sqrt{5} $ como raíz doble.

👉 PASO 1

Identificación de todas las raíces requeridas por el teorema de conjugación.

1. La raíz real es $x_1 = 3 $, con multiplicidad 1: factor $(x - 3) $

2. La raíz compleja $x_2 = 2 - i\sqrt{5} $ tiene multiplicidad

Por el Teorema de las Raíces Complejas Conjugadas, al ser los coeficientes de $P(x) $ reales, su conjugado $x_3 = 2 + i\sqrt{5} $ debe ser necesariamente raíz del polinomio con la misma multiplicidad

El grado mínimo del polinomio es $1 + 2 + 2 = 5 $

👉 PASO 2

Construcción del factor cuadrático irreducible al cuadrado.

Multiplicamos el par conjugado:

$$(x - (2 - i\sqrt{5}))(x - (2 + i\sqrt{5})) = ((x - 2) + i\sqrt{5})((x - 2) - i\sqrt{5}) = (x - 2)^2 - (i\sqrt{5})^2 $$

$$= (x^2 - 4x + 4) - (-5) = x^2 - 4x + 9 $$

Como la multiplicidad es doble, elevamos al cuadrado este factor:

$$(x^2 - 4x + 9)^2 = (x^2)^2 + (-4x)^2 + 9^2 + 2(x^2)(-4x) + 2(x^2)(9) + 2(-4x)(9) $$

$$= x^4 + 16x^2 + 81 - 8x^3 + 18x^2 - 72x = x^4 - 8x^3 + 34x^2 - 72x + 81 $$

👉 PASO 3

Multiplicación final por el factor lineal (x - 3).

Efectuamos el producto distributivo:

$$P(x) = (x - 3)(x^4 - 8x^3 + 34x^2 - 72x + 81) $$

$$= x(x^4 - 8x^3 + 34x^2 - 72x + 81) - 3(x^4 - 8x^3 + 34x^2 - 72x + 81) $$

$$= (x^5 - 8x^4 + 34x^3 - 72x^2 + 81x) - (3x^4 - 24x^3 + 102x^2 - 216x + 243) $$

$$= x^5 - 11x^4 + 58x^3 - 174x^2 + 297x - 243 $$

✅ Conclusión

El polinomio mónico real de menor grado buscado es $$P(x) = x^5 - 11x^4 + 58x^3 - 174x^2 + 297x - 243 $$

📝 Ejemplo 3:

Localización de raíces múltiples y uso del máximo común divisor con la derivada

Detección de raíces dobles mediante el algoritmo euclídeo sobre la derivada formal

Determinar las raíces múltiples del polinomio $P(z) = z^4 - 5z^3 + 9z^2 - 7z + 2 $ calculando el máximo común divisor con su polinomio derivado $P'(z) $

👉 PASO 1

Teorema de las raíces múltiples y cálculo de la derivada.

Una raíz $z_0 $ es múltiple de un polinomio $P(z) $ si y sólo si es también raíz de su derivada $P'(z) $

Calculamos la derivada formal:

$$P'(z) = 4z^3 - 15z^2 + 18z - 7 $$

👉 PASO 2

Algoritmo de Euclides para hallar el mcd entre P(z) y P'(z).

Multiplicamos $P(z) $ por 4 para facilitar la división de enteros:

$$4P(z) = 4z^4 - 20z^3 + 36z^2 - 28z + 8 $$

Dividimos entre $P'(z) = 4z^3 - 15z^2 + 18z - 7 $:

$$4P(z) = z \cdot P'(z) + (-5z^3 + 18z^2 - 21z + 8) $$

Multiplicamos el resto por 4:

$$4(-5z^3 + 18z^2 - 21z + 8) = -20z^3 + 72z^2 - 84z + 32 $$

Dividimos entre $P'(z) $:

$$-20z^3 + 72z^2 - 84z + 32 = -5 \cdot P'(z) + (-3z^2 + 6z - 3) $$

El resto es $-3(z^2 - 2z + 1) = -3(z - 1)^2 $

Dividiendo ahora $P'(z) $ entre $z^2 - 2z + 1 = (z - 1)^2 $:

$$(4z^3 - 15z^2 + 18z - 7) \div (z^2 - 2z + 1) = 4z - 7 \quad (\text{resto } 0) $$

El máximo común divisor es $\text{mcd}(P(z), P'(z)) = (z - 1)^2 $

👉 PASO 3

Determinación de la multiplicidad de la raíz.

Como el factor $(z - 1) $ aparece con grado 2 en el máximo común divisor con la primera derivada, la raíz $z = 1 $ tiene multiplicidad $2 + 1 = 3 $ (raíz triple) en el polinomio original $P(z) $

Dividimos $P(z) $ entre $(z - 1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1 $:

$$(z^4 - 5z^3 + 9z^2 - 7z + 2) \div (z - 1)^3 = z - 2 $$

La cuarta raíz simple es $z = 2 $

✅ Conclusión

El polinomio se factoriza como $P(z) = (z - 1)^3(z - 2) $, teniendo una raíz triple en $z = 1 $ y una raíz simple en $z = 2 $

📝 Ejemplo 4:

Resolución de una ecuación recíproca o simétrica de cuarto grado

Resolución de un polinomio simétrico mediante cambio de variable en el cuerpo complejo

Hallar todas las raíces en el cuerpo complejo $C $ de la ecuación recíproca simétrica de cuarto grado:

$$z^4 - 4z^3 + 5z^2 - 4z + 1 = 0 $$

👉 PASO 1

División entre z al cuadrado y agrupación simétrica.

Como $z = 0 $ no satisface la ecuación ($0 + 1 = 1 \ne 0 $), dividimos toda la ecuación entre $z^2 $:

$$\frac{z^4 - 4z^3 + 5z^2 - 4z + 1}{z^2} = 0 \implies z^2 - 4z + 5 - \frac{4}{z} + \frac{1}{z^2} = 0 $$

Reagrupamos los términos simétricos por parejas:

$$\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) - 4\left(z + \frac{1}{z}\right) + 5 = 0 $$

👉 PASO 2

Cambio de variable auxiliar.

Introducimos la variable auxiliar $u = z + \frac{1}{z} $

Elevando al cuadrado ambos miembros:

$$u^2 = \left(z + \frac{1}{z}\right)^2 = z^2 + 2 \cdot z \cdot \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} = z^2 + 2 + \frac{1}{z^2} \implies z^2 + \frac{1}{z^2} = u^2 - 2 $$

Sustituyendo en la ecuación simétrica:

$$(u^2 - 2) - 4u + 5 = 0 \implies u^2 - 4u + 3 = 0 $$

Factorizamos la ecuación cuadrática en $u $:

$$(u - 1)(u - 3) = 0 \implies u_1 = 1 \quad \text{y} \quad u_2 = 3 $$

👉 PASO 3

Deshaciendo el cambio de variable para hallar las cuatro raíces en z.

Caso 1 ($u = 3 $):

$$z + \frac{1}{z} = 3 \implies z^2 - 3z + 1 = 0 $$

$$z = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Obtenemos dos raíces reales: $z_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $ y $z_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $

Caso 2 ($u = 1 $):

$$z + \frac{1}{z} = 1 \implies z^2 - z + 1 = 0 $$

$$z = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} $$

Obtenemos dos raíces complejas conjugadas: $z_3 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $ y $z_4 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $

✅ Conclusión

Las cuatro raíces de la ecuación son $z_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $ y $z_{3, 4} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} $

📝 Ejemplo 5:

Descomposición en factores irreducibles de polinomios ciclotómicos

Factorización analítica de binomios potencia sobre los cuerpos real y complejo

Factorizar completamente sobre $C $ y sobre $R $ el polinomio binomio $P(x) = x^6 - 1 $

👉 PASO 1

Factorización algebraica inicial en polinomios notables.

Factorizamos como diferencia de cuadrados:

$$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) $$

Aplicamos las fórmulas de diferencia de cubos y suma de cubos:

$$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) $$

Por tanto, la factorización en el cuerpo de los números reales $R $ es:

$$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) $$

Los dos factores lineales provienen de las raíces reales $x = 1 $ y $x = -1 $

Los factores cuadráticos son irreducibles sobre $R $ porque sus discriminantes son negativos:

$$\Delta_1 = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 \quad \text{y} \quad \Delta_2 = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 $$

👉 PASO 2

Cálculo de las cuatro raíces complejas no reales.

Para $x^2 + x + 1 = 0 $:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i 2\pi/3} $$

Para $x^2 - x + 1 = 0 $:

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i \pi/3} $$

👉 PASO 3

Expresión en factores lineales sobre el cuerpo complejo C.

Descomponemos los factores cuadráticos en sus factores lineales complejos:

$$x^2 + x + 1 = \left(x - \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(x - \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) $$

$$x^2 - x + 1 = \left(x - \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(x - \left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) $$

✅ Conclusión

Sobre $R $, la factorización irreducible es:

$$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) $$

Sobre $C $, se descompone en seis factores lineales con los seis vértices del hexágono regular unitario:

$$P(x) = (x - 1)(x + 1)\left(x + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$