1.4 1.4.3 Forma trigonométrica y exponencial de un complejo

1.4.3 Forma trigonométrica y exponencial de un complejo

Coordenadas polares, módulo y argumento

Todo número complejo no nulo $z = a + bi \ne 0 $ queda unívocamente determinado por su distancia al origen $R = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} > 0 $ y por el ángulo que forma el vector con el semieje positivo real, denominado argumento de $z $, $\alpha = \arg(z) $

Relaciones de Conversión Trigonométrica:

$$a = R \cos \alpha \quad \text{y} \quad b = R \sin \alpha $$

$$z = a + bi = R \cos \alpha + i R \sin \alpha = R(\cos \alpha + i \sin \alpha) $$

El Argumento Principal:

El ángulo $\alpha $ admite infinitos valores que difieren en múltiplos enteros de $2\pi $, esto es, $\arg(z) = \alpha_0 + 2k\pi $ con $k \in Z $

Se define el Argumento Principal, denotado por $\text{Arg}(z) $, como el único valor del ángulo comprendido en el intervalo semiabierto:

$$\text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] \quad \text{o bien} \quad \text{Arg}(z) \in [0, 2\pi) $$

Para calcular $\alpha $ a partir de $a $ y $b $:

$$\tan \alpha = \frac{b}{a} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

debiendo corregir el cuadrante según los signos de $a $ y $b $

📝 Ejemplo:

Para $z = 1 + i $, $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $. Como $a = 1 > 0 $ y $b = 1 > 0 $, está en el primer cuadrante: $$\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ $$

Su forma trigonométrica es $$z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) $$

La fórmula de Euler y la forma exponencial

Leonhard Euler demostró la identidad más célebre del análisis matemático conectando la función exponencial con las funciones trigonométricas mediante la unidad imaginaria:

Fórmula de Euler:

$$e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha, \quad \forall \alpha \in R $$

En particular, para $\alpha = \pi $, obtenemos la Identidad de Euler:

$$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0 = -1 \implies e^{i\pi} + 1 = 0 $$

Forma Exponencial de un Complejo:

Todo número complejo se escribe de forma compacta como:

$$z = R e^{i\alpha} $$

Operaciones en Forma Exponencial:

Multiplicación (se multiplican los módulos y se suman los argumentos)

$$z_1 \cdot z_2 = (R_1 e^{i\alpha_1})(R_2 e^{i\alpha_2}) = (R_1 R_2) e^{i(\alpha_1 + \alpha_2)} $$

División (se dividen los módulos y se restan los argumentos)

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{R_1 e^{i\alpha_1}}{R_2 e^{i\alpha_2}} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) e^{i(\alpha_1 - \alpha_2)} $$

Potenciación: Fórmula de De Moivre

Para cualquier entero $n \in Z $:

$$z^n = (R e^{i\alpha})^n = R^n e^{in\alpha} = R^n [\cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)] $$

📝 Ejemplo:

Para multiplicar $z_1 = 2e^{i\pi/6} $ y $z_2 = 3e^{i\pi/3} $:

$$z_1 z_2 = (2 \cdot 3) e^{i(\pi/6 + \pi/3)} = 6 e^{i\pi/2} = 6i $$

Raíces n-ésimas de un número complejo

📐 Teorema: de las Raíces Complejas

Todo número complejo no nulo $z = R e^{i\alpha} \ne 0 $ posee exactamente $n $ raíces n-ésimas distintas en $C $, dadas por la fórmula:

$$w_k = \sqrt[n]{R} \; e^{i\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 $$

⚙️ Propiedades: Geométricas de las Raíces

Todas las $$n $$ raíces tienen exactamente el mismo módulo: $$|w_k| = \sqrt[n]{R} $$

Por tanto, se sitúan sobre una misma circunferencia de radio $\sqrt[n]{R} $ centrada en el origen.

Los argumentos de raíces consecutivas difieren en un ángulo constante

$$\Delta \beta = \frac{2\pi}{n} $$

3. Geométricamente, los afijos de las $n $ raíces n-ésimas forman los vértices de un polígono regular de $n $ lados inscrito en la circunferencia de radio $\sqrt[n]{R} $

Para el coseno

$$\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta $$

Sustituyendo $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta $:

$$\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta + 3\cos^3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $$

Para el seno

$$\sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta $$

Sustituyendo $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta $:

$$\sin(3\theta) = 3(1 - \sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 3\sin^3\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $$

✅ Conclusión

Quedan rigurosamente demostradas las identidades del ángulo triple a partir de la fórmula de De Moivre.

📝 Ejemplo 1:

Potenciación compleja de orden elevado mediante la fórmula de De Moivre

Cálculo analítico exacto de una potencia binómica convirtiendo a forma polar

Calcular el valor exacto en forma binómica del número complejo:

$$z = (1 - i\sqrt{3})^{10} $$

👉 PASO 1

Conversión de la base a forma polar y exponencial.

Sea la base $w = 1 - i\sqrt{3} $

Calculamos el módulo de la base:

$$R = |w| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$

Calculamos el argumento principal:

Como $a = 1 > 0 $ y $b = -\sqrt{3} < 0 $, el afijo se sitúa en el cuarto cuadrante:

$$\alpha = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} = -60^\circ = \frac{5\pi}{3} $$

En forma exponencial:

$$w = 2e^{-i\pi/3} $$

👉 PASO 2

Aplicación de la fórmula de De Moivre con exponente n = 1

Elevamos a la décima potencia aplicando las propiedades de los exponentes:

$$z = w^{10} = (2e^{-i\pi/3})^{10} = 2^{10} \cdot e^{-i 10\pi/3} $$

Calculamos la potencia numérica:

$$2^{10} = 1024 $$

Reducimos el ángulo $-10\pi/3 $ al intervalo principal sumando múltiplos de $2\pi = 6\pi/3 $:

$$-\frac{10\pi}{3} + 4\pi = -\frac{10\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ $$

Por tanto:

$$z = 1024 e^{i 2\pi/3} $$

👉 PASO 3

Conversión a forma binómica.

Aplicamos la fórmula trigonométrica evaluando coseno y seno:

$$z = 1024 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) $$

Como $\cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2} $ y $\sin(2\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$$z = 1024 \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1024 \left(-\frac{1}{2}\right) + 1024 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = -512 + 512\sqrt{3}i $$

✅ Conclusión

El valor exacto en forma binómica es $z = -512 + 512\sqrt{3}i $

📝 Ejemplo 2:

Cálculo de todas las raíces cúbicas de un número real negativo

Determinación de las tres raíces y representación de los vértices de un triángulo equilátero

Calcular todas las raíces cúbicas del número real negativo $z = -8 $ y expresar los resultados en forma binómica.

👉 PASO 1

Expresión del radicando en forma exponencial.

Escribimos $z = -8 $ en forma compleja:

Módulo: $R = |-8| = 8 $

Argumento: Como es un real negativo situado sobre el semieje negativo real, su argumento es $\alpha = \pi = 180^\circ $

$$z = 8e^{i\pi} $$

👉 PASO 2

Aplicación de la fórmula de las raíces n-ésimas para n = 3.

Buscamos las raíces $w_k = \sqrt[3]{z} $ para $k \in \{0, 1, 2\} $:

$$w_k = \sqrt[3]{8} \; e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right)} = 2 \; e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right)} $$

👉 PASO 3

Evaluación de cada una de las tres raíces.

Para $k = 0 $:

$$\beta_0 = \frac{\pi + 0}{3} = \frac{\pi}{3} \implies w_0 = 2e^{i\pi/3} = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3} $$

Para $k = 1 $:

$$\beta_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi \implies w_1 = 2e^{i\pi} = 2(\cos \pi + i \sin \pi) = 2(-1 + 0) = -2 $$

Para $k = 2 $:

$$\beta_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies w_2 = 2e^{i 5\pi/3} = 2\left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3} $$

✅ Conclusión

Las tres raíces cúbicas de $-8 $ son $w_0 = 1 + i\sqrt{3} $, $w_1 = -2 $ y $w_2 = 1 - i\sqrt{3} $, que forman los vértices de un triángulo equilátero en la circunferencia de radio 2.

📝 Ejemplo 3:

Cálculo de las cuatro raíces cuartas de la unidad imaginaria pura

Determinación de los vértices de un cuadrado en el plano complejo

Resolver completamente en el cuerpo complejo la ecuación cuártica $z^4 = i $ y escribir las cuatro raíces en forma binómica exacta.

👉 PASO 1

Expresión de i en forma polar.

Para la unidad imaginaria pura $z = i = 0 + 1i $:

Módulo: $R = |i| = 1 $

Argumento: Situado en el semieje positivo imaginario, $\alpha = \frac{\pi}{2} = 90^\circ $

$$z = 1 \cdot e^{i\pi/2} $$

👉 PASO 2

Fórmula general de las raíces cuartas.

Aplicamos la fórmula para $n = 4 $ y $k \in \{0, 1, 2, 3\} $:

$$w_k = \sqrt[4]{1} \; e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{4}\right)} = 1 \cdot e^{i\left(\frac{\pi + 4k\pi}{8}\right)} $$

👉 PASO 3

Cálculo explícito de los cuatro vértices del cuadrado.

Para $k = 0 $: $$\beta_0 = \frac{\pi}{8} \implies w_0 = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} $$

Aplicando las fórmulas del ángulo mitad ($\frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8} $):

$$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

$$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \implies w_0 = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

Para las siguientes raíces, sumamos sucesivamente $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ $ (multiplicar por $i $):

$$w_1 = i \cdot w_0 = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

$$w_2 = -w_0 = -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

$$w_3 = -i \cdot w_0 = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

✅ Conclusión

Las cuatro raíces cuartas son los vértices de un cuadrado centrado en el origen de radio 1 con las expresiones radicales calculadas.

📝 Ejemplo 4:

Deducción de identidades trigonométricas de ángulo triple mediante De Moivre

Aplicación del álgebra compleja a la trigonometría analítica pura

Demostrar mediante la fórmula de De Moivre las identidades trigonométricas para el coseno y el seno del ángulo triple: $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $ y $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $

👉 PASO 1

Planteamiento por la fórmula de De Moivre.

Consideramos el número complejo de módulo unidad $z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $

Por la fórmula de De Moivre para $n = 3 $:

$$z^3 = (e^{i\theta})^3 = e^{i 3\theta} = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) $$

👉 PASO 2

Expansión algebraica del binomio al cubo.

Desarrollamos el cubo del binomio aplicando el binomio de Newton:

$$z^3 = (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\cos^2\theta(i\sin\theta) + 3\cos\theta(i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3 $$

Teniendo en cuenta que $i^2 = -1 $ e $i^3 = -i $:

$$z^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta $$

Reagrupamos en parte real y parte imaginaria:

$$z^3 = (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta) $$

👉 PASO 3

Igualación de componentes y aplicación de la identidad pitagórica.

Igualamos parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria del

👉 Paso 1

📝 Ejemplo 5:

Resolución de una ecuación binomia no homogénea en forma exponencial

Resolución de ecuaciones de grado superior y simplificación en polígonos regulares

Resolver completamente en el cuerpo complejo la ecuación binomia $z^6 + 27 = 0 $ y verificar la simetría de sus raíces.

👉 PASO 1

Aislamiento de la potencia y conversión a forma polar.

Despejamos la potencia cuártica:

$$z^6 = -27 $$

Convertimos el número $-27 $ a forma polar:

Módulo: $R = |-27| = 27 = 3^3 $

Argumento: $\alpha = \pi $

$$z^6 = 27e^{i\pi} $$

👉 PASO 2

Planteamiento de las seis raíces sextas.

Las raíces son $$w_k = \sqrt[6]{27} \; e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{6}\right)} $$ para $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} $

Calculamos el módulo común de todas las raíces:

$$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3} $$

Por tanto, todas las raíces se encuentran sobre una circunferencia de radio $\sqrt{3} $

👉 PASO 3

Cálculo explícito de cada una de las seis raíces.

Para $k = 0 $: $$\beta_0 = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \implies w_0 = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$

Para $k = 1 $: $$\beta_1 = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ \implies w_1 = \sqrt{3}(0 + 1i) = i\sqrt{3} $$

Para $k = 2 $: $$\beta_2 = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ \implies w_2 = \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$

Para $k = 3 $: $$\beta_3 = \frac{7\pi}{6} = 210^\circ \implies w_3 = \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$

Para $k = 4 $: $$\beta_4 = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} = 270^\circ \implies w_4 = \sqrt{3}(0 - 1i) = -i\sqrt{3} $$

Para $k = 5 $: $$\beta_5 = \frac{11\pi}{6} = 330^\circ \implies w_5 = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$

✅ Conclusión

Las seis soluciones forman los vértices de un hexágono regular en la circunferencia de radio $\sqrt{3} $, siendo conjugadas dos a dos: $\pm i\sqrt{3} $ y $\pm \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i $