1.2 1.2.3 Propiedades de orden de ℝ

1.2.3 Propiedades de orden de ℝ

Axiomática del orden en el conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales $R $ posee una relación de orden total denotada por $\le $, que satisface para todo $a, b, c \in R $ los tres axiomas fundamentales:

- Propiedad Reflexiva: $a \le a, \quad \forall a \in R $

- Propiedad Antisimétrica:

Si $a \le b $ y $b \le a $, entonces $a = b $

- Propiedad Transitiva:

Si $a \le b $ y $b \le c $, entonces $a \le c $

⚙️ Axioma: de Orden Total (Tricotomía)

Para cualquier par de números reales $a, b \in R $, se verifica siempre que $a < b $, $a = b $ o bien $a > b $. Esto garantiza que cualesquiera dos números reales son comparables y pueden situarse de forma ordenada en la recta continua.

📝 Ejemplo:

Para $a = \sqrt{2} \approx 1{,}414 $ y $b = \frac{3}{2} = 1{,}5 $, se cumple con certeza que $\sqrt{2} < \frac{3}{2} $

Compatibilidad del orden con la estructura algebraica

El orden en $R $ se vincula con la suma y el producto mediante tres leyes esenciales:

- Compatibilidad con la Adición: Sumar una cantidad constante en ambos miembros conserva intacto el sentido de la desigualdad:

$$a \le b \implies a + c \le b + c, \quad \forall c \in R $$

- Multiplicación por Factores Positivos: Multiplicar por un número estrictamente positivo conserva el sentido:

$$a \le b \quad \text{y} \quad c > 0 \implies a \cdot c \le b \cdot c $$

- Multiplicación por Factores Negativos (Regla Crítica): Multiplicar por un número estrictamente negativo invierte el sentido de la desigualdad:

$$a \le b \quad \text{y} \quad c < 0 \implies a \cdot c \ge b \cdot c $$

En particular, multiplicando por $c = -1 $: $a \le b \iff -a \ge -b $

📝 Ejemplo:

Si $x - 5 < 3 $, sumando 5 obtenemos $x < 8 $. Si partimos de $2 < 5 $ y multiplicamos por $3 > 0 $, obtenemos $6 < 15 $. En cambio, si multiplicamos por $-2 < 0 $, el sentido se invierte obligatoriamente: $$3 \cdot (-2) > 7 \cdot (-2) \implies -6 > -14 $$

Desigualdades fundamentales derivadas

A partir de las leyes de orden se deducen teoremas analíticos clave:

- Positividad de los cuadrados no nulos:

Para todo $x \in R $ con $x e 0 $, se verifica $x^2 > 0 $. En particular, como $1 = 1^2 > 0 $, se deduce que $1 > 0 $ y $-1 < 0 $

- Inversión de magnitudes del mismo signo:

Si $$0 < a \le b \implies \frac{1}{b} \le \frac{1}{a} $$

- Conservación por potencias monótonas:

Si $0 < a < b $ y $\alpha > 0 $, entonces $a^\alpha < b^\alpha $

📝 Ejemplo:

Como $2 < 5 $, invirtiendo ambos términos obtenemos $\frac{1}{5} < \frac{1}{2} $

📝 Ejemplo 1 Desigualdad de las medias aritmética y geométrica para dos variables

Demostración axiomática de que la media aritmética es siempre mayor o igual que la media geométrica

Demostrar formalmente que para cualesquiera números reales positivos $x, y > 0 $, se cumple la desigualdad:

$$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} $$

y determinar bajo qué condición exacta se alcanza la igualdad.

👉 PASO 1

Empleo del axioma de positividad del cuadrado de un número real.

Para cualquier par de números reales positivos $x, y > 0 $, sus raíces cuadradas $\sqrt{x}, \sqrt{y} \in R $ son números reales bien definidos.

Consideramos el cuadrado de su diferencia:

$$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 $$

Esta desigualdad es siempre verdadera porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo.

👉 PASO 2

Desarrollo algebraico y reordenación de términos.

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

$$(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 \ge 0 \implies x - 2\sqrt{xy} + y \ge 0 $$

Sumamos el término $2\sqrt{xy} $ en ambos miembros de la desigualdad:

$$x + y \ge 2\sqrt{xy} $$

👉 PASO 3

División entre la constante positiva dos y condición de igualdad.

Multiplicamos ambos miembros por $\frac{1}{2} > 0 $, lo que conserva el sentido de la desigualdad:

$$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} $$

La igualdad se alcanza si y sólo si el término elevado al cuadrado en el Paso 1 se anula:

$$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0 \iff \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0 \iff \sqrt{x} = \sqrt{y} \iff x = y $$

✅ Conclusión

La media aritmética es siempre mayor o igual que la media geométrica para reales positivos, dándose la igualdad estricta si y sólo si $x = y $

📝 Ejemplo 2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz en dimensión dos sobre los números reales

Demostración analítica y aplicación al producto escalar de vectores en el plano

Demostrar que para cualesquiera cuatro números reales $a_1, a_2, b_1, b_2 \in R $, se verifica la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) $$

👉 PASO 1

Construcción de una función cuadrática no negativa.

Definimos para todo parámetro real $t \in R $ la suma de cuadrados:

$$f(t) = (a_1 t - b_1)^2 + (a_2 t - b_2)^2 \ge 0 $$

Como es suma de cuadrados de números reales, $f(t) \ge 0 $ para todo $t \in R $

👉 PASO 2

Expansión polinómica en potencias de t.

Desarrollamos los cuadrados de binomio:

$$f(t) = (a_1^2 t^2 - 2a_1 b_1 t + b_1^2) + (a_2^2 t^2 - 2a_2 b_2 t + b_2^2) $$

Agrupamos términos según las potencias de $t $:

$$f(t) = (a_1^2 + a_2^2) t^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) t + (b_1^2 + b_2^2) \ge 0 $$

Esta expresión es un polinomio cuadrático en $t $ de la forma $A t^2 + B t + C \ge 0 $, donde:

$$A = a_1^2 + a_2^2, \quad B = -2(a_1 b_1 + a_2 b_2), \quad C = b_1^2 + b_2^2 $$

👉 PASO 3

Condición sobre el discriminante de un polinomio no negativo.

Para que un polinomio cuadrático con $A > 0 $ no tome nunca valores negativos, no puede tener dos raíces reales distintas.

Su discriminante debe ser obligatoriamente menor o igual que cero:

$$\Delta = B^2 - 4AC \le 0 $$

Sustituyendo los coeficientes:

$$[-2(a_1 b_1 + a_2 b_2)]^2 - 4(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \le 0 $$

$$4(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le 4(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) $$

Dividiendo entre el número positivo 4:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) $$

✅ Conclusión

Queda rigurosamente probada la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el plano real.

📝 Ejemplo 3 Desigualdad de Bernoulli para potencias enteras

Demostración de la cota lineal inferior del crecimiento exponencial para x mayor que menos uno

Demostrar mediante inducción y propiedades de orden que para todo número real $x > -1 $ y todo entero $n \in N $, se cumple la desigualdad de Bernoulli:

$$(1 + x)^n \ge 1 + nx $$

👉 PASO 1

Verificación del caso base n = 1.

Para $n = 1 $ evaluamos ambos miembros:

$$(1 + x)^1 = 1 + x \quad \text{y} \quad 1 + 1 \cdot x = 1 + x $$

Como $1 + x = 1 + x $, la desigualdad se cumple trivialmente con igualdad.

👉 PASO 2

Hipótesis de inducción y multiplicación por factor positivo.

Supongamos que la proposición es cierta para un natural arbitrario $k \ge 1 $:

$$(1 + x)^k \ge 1 + kx $$

Como por hipótesis $x > -1 $, sumando 1 tenemos que $1 + x > 0 $

Multiplicamos ambos miembros de la hipótesis de inducción por la cantidad positiva $1 + x $, lo que conserva el sentido de la desigualdad:

$$(1 + x)^k \cdot (1 + x) \ge (1 + kx)(1 + x) $$

$$(1 + x)^{k+1} \ge 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k + 1)x + kx^2 $$

👉 PASO 3

Acotación por positividad del término cuadrático.

Analizamos el sumando residual $kx^2 $:

Como $k \ge 1 > 0 $ y $x^2 \ge 0 $ para todo número real, se tiene que $kx^2 \ge 0 $

Por tanto:

$$1 + (k + 1)x + kx^2 \ge 1 + (k + 1)x $$

Por la propiedad transitiva de orden O3:

$$(1 + x)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)x $$

La propiedad es cierta para $k + 1 $

✅ Conclusión

La desigualdad de Bernoulli $(1 + x)^n \ge 1 + nx $ se cumple para todo $x > -1 $ y todo $n \in N $

📝 Ejemplo 4 Acotación recíproca: suma de una cantidad positiva y su inverso

Demostración de que la suma de cualquier número real positivo y su inverso es siempre mayor o igual que dos

Demostrar que para todo número real estrictamente positivo $x > 0 $, se verifica:

$$x + \frac{1}{x} \ge 2 $$

y que el valor mínimo absoluto 2 se alcanza únicamente en $x = 1 $

👉 PASO 1

Transformación algebraica a forma cuadrática.

Consideramos la diferencia entre la expresión dada y la cota 2:

$$D(x) = x + \frac{1}{x} - 2 $$

Reducimos a común denominador $x > 0 $:

$$D(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} $$

👉 PASO 2

Reconocimiento del cuadrado perfecto.

El numerador es exactamente el desarrollo del cuadrado del binomio $x - 1 $:

$$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $$

Por tanto:

$$D(x) = \frac{(x - 1)^2}{x} $$

👉 PASO 3

Análisis de signos y conclusión del orden.

Para cualquier número real, $(x - 1)^2 \ge 0 $

Como por hipótesis de partida $x > 0 $, el cociente de una cantidad no negativa entre una cantidad estrictamente positiva es necesariamente no negativo:

$$\frac{(x - 1)^2}{x} \ge 0 \implies x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0 \implies x + \frac{1}{x} \ge 2 $$

La igualdad estricta $x + \frac{1}{x} = 2 $ ocurre si y sólo si el numerador se anula:

$$(x - 1)^2 = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1 $$

✅ Conclusión

Para todo número real positivo, la suma del número y su recíproco es siempre mayor o igual que 2, alcanzándose el mínimo únicamente en $x = 1 $

📝 Ejemplo 5 Resolución analítica de una inecuación polinómica de tercer grado

Determinación del conjunto de orden que satisface una desigualdad cúbica factorizable

Determinar el conjunto de números reales $x \in R $ que satisfacen la inecuación de tercer grado $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 < 0 $

👉 PASO 1

Factorización del polinomio cúbico por agrupación de términos.

Agrupamos los términos del polinomio por parejas:

$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) $$

Extraemos el factor común $(x - 3) $:

$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 3)(x^2 - 4) $$

Factorizamos la diferencia de cuadrados $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $:

$$P(x) = (x - 3)(x - 2)(x + 2) < 0 $$

👉 PASO 2

Identificación de raíces y partición de la recta real.

Las raíces reales del polinomio son $x = -2 $, $x = 2 $ y $x = 3 $

Estas tres raíces dividen la recta real $R $ en cuatro intervalos abiertos:

$$I_1 = (-\infty, -2) $$

$$I_2 = (-2, 2) $$

$$I_3 = (2, 3) $$

$$I_4 = (3, \infty) $$

👉 PASO 3

Tabla de signos en cada intervalo.

Evaluamos un punto de prueba en cada región:

- En $I_1 $, probamos $x = -3 $:

$P(-3) = (-6)(-5)(-1) = -30 < 0 $ (Signo negativo, cumple la inecuación).

- En $I_2 $, probamos $x = 0 $:

$P(0) = (-3)(-2)(2) = 12 > 0 $ (Signo positivo, no cumple).

- En $I_3 $, probamos $x = 2{,}5 $:

$$P(2{,}5) = (-0{,}5)(0{,}5)(4{,}5) = -1{,}125 < 0 $$ (Signo negativo, cumple la inecuación).

- En $I_4 $, probamos $x = 4 $:

$P(4) = (1)(2)(6) = 12 > 0 $ (Signo positivo, no cumple).

✅ Conclusión

El conjunto de números reales que satisface la inecuación cúbica es la unión de intervalos abiertos $S = (-\infty, -2) \cup (2, 3) $