1.4 1.4.2 Representación gráfica de un complejo
1.4.2 Representación gráfica de un complejo
El plano complejo de Argand-Gauss
Existe una biyección canónica entre el conjunto de los números complejos \(C \) y el plano euclídeo bidimensional \(R^2 \). Cada número complejo en forma binómica \(z = a + bi \) se identifica unívocamente con el par ordenado de coordenadas cartesianas:
En esta representación geométrica, denominada Plano Complejo o Diagrama de Argand-Gauss:
El eje horizontal de abscisas representa la componente real y se denomina Eje Real ($$\text{Re} $$)
El eje vertical de ordenadas representa la componente imaginaria y se denomina Eje Imaginario ($$\text{Im} $$)
El número complejo \(z \) puede verse tanto como un punto o afijo \((a, b) \) en el plano, como un vector posicional con origen en \((0, 0) \) y extremo en \((a, b) \)
El número complejo \(z_1 = 3 + 2i \) se sitúa en el primer cuadrante con coordenadas \((3, 2) \). El número \(z_2 = -4 - i \) se sitúa en el tercer cuadrante con coordenadas \((-4, -1) \)
Definición y propiedades métricas del módulo
El módulo o longitud de un número complejo \(z = a + bi \), denotado por \(|z| \) o por la letra \(R \), se define como la distancia euclídea euclidiana desde el origen \((0, 0) \) hasta el afijo \((a, b) \):
Positividad: $$|z| \ge 0 $$, y $$|z| = 0 \iff z = 0 $$
Simetría con opuesto y conjugado: $$|z| = |\bar{z}| = |-z| = |-\bar{z}| $$
Multiplicatividad: $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$
De forma general para \(n \) factores: $$|z_1 \cdot z_2 \cdots z_n| = |z_1| \cdot |z_2| \cdots |z_n| $$
Módulo del cociente
Identidad del conjugado: $$z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$
Desigualdad Triangular Directa: $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| $$
7. Desigualdad Triangular Inversa: $$|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2 el módulo de la diferencia es mayor o igual que el valor absoluto de la diferencia de módulos zeta igual a tres menos cuatro i $$:
Lugares geométricos en el plano complejo
La distancia euclídea entre dos números complejos \(z_1, z_2 \in C \) es exactamente \(d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| \). Esto permite describir conjuntos geométricos con gran elegancia:
Circunferencia de centro $$z_0 $$ y radio $$r > 0 $$
Círculo o Disco cerrado (resp. abierto)
Mediatriz del segmento que une $$z_1 $$ y $$z_2 $$
Semiplanos delimitados por mediatrices
Cálculo del centro y del radio de una circunferencia descrita en lenguaje complejo
Determinar e identificar la figura geométrica que describe el conjunto de números complejos \(z \in C \) que satisfacen la ecuación:
y hallar su ecuación cartesiana en coordenadas reales \((x, y) \)
Identificación analítica de la forma canónica de distancia.
La ecuación es de la forma canónica \(|z - z_0| = r \)
Identificamos el centro complejo y el radio:
Geométricamente, representa el lugar de los puntos del plano cuya distancia al centro \((3, -2) \) es exactamente 4 unidades.
Sustitución en coordenadas cartesianas.
Sea \(z = x + yi \) con \(x, y \in R \). Sustituimos en la ecuación:
Desarrollo del módulo y ecuación de la circunferencia.
Por definición de módulo:
Elevando ambos miembros al cuadrado:
Desarrollando los binomios:
El conjunto de puntos es una circunferencia en el plano complejo de centro \(z_0 = 3 - 2i \) y radio \(r = 4 \), con ecuación cartesiana \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \)
Cálculo analítico del lugar geométrico de puntos equidistantes en el plano complejo
Determinar el lugar geométrico del conjunto de números complejos \(z \in C \) que satisfacen la condición de equidistancia:
Interpretación geométrica de equidistancia.
Reescribimos la ecuación en términos de distancias entre afijos:
Los puntos de referencia son \(P_1 = (1, 0) \) y \(P_2 = (0, -2) \)
El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos puntos fijos es exactamente la recta mediatriz del segmento que los une.
Sustitución en coordenadas cartesianas.
Sea \(z = x + yi \). Sustituyendo:
Calculamos los módulos:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
Expansión algebraica y simplificación lineal.
Desarrollamos los cuadrados de binomio:
Cancelamos los términos cuadráticos \(x^2 + y^2 \) en ambos lados:
Reagrupamos en la ecuación general de una recta:
El lugar geométrico es la recta mediatriz del segmento que une \((1, 0) \) y \((0, -2) \), con ecuación continua \(2x + 4y + 3 = 0 \)
Aplicación de las propiedades multiplicativas del módulo para simplificar expresiones complejas
Calcular el módulo exacto del número complejo:
Aplicación de las propiedades de multiplicatividad y cociente.
Por las propiedades 3 y 4 del módulo, no es necesario desarrollar las potencias binómicas:
Cálculo individual de los módulos de cada factor base.
Calculamos los módulos de los cuatro términos base:
- $$|1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$
- $$|3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $$
- $$|2 - 2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$
- $$|\sqrt{5} + 2i| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$
Sustitución y cálculo algebraico de las potencias.
Sustituimos los módulos en la expresión general:
Numerador: \(25 \cdot 10 = 250 \)
Denominador: \(16\sqrt{2} \cdot 3 = 48\sqrt{2} \)
Calculamos el cociente racionalizando:
El módulo exacto del número complejo es \(|z| = \frac{125\sqrt{2}}{48} \approx 3{,}683 \)
Determinación de dominios del plano complejo descritos por doble cota modular
Describir geométricamente y representar algebraicamente en coordenadas cartesianas el conjunto de números complejos:
Identificación del centro y de los radios extremos.
Reescribimos la doble desigualdad en la forma canónica de distancia al centro:
El centro de referencia es el punto complejo \(z_0 = 2 - i \longleftrightarrow (2, -1) \)
Radio interior: \(r_1 = 1 \)
Radio exterior: \(r_2 = 3 \)
Interpretación geométrica de las cotas simultáneas.
1. La condición \(|z - (2 - i)| \ge 1 \) representa el exterior y el borde de la circunferencia de centro \((2, -1) \) y radio 1.
2. La condición \(|z - (2 - i)| < 3 \) representa el interior estricto (sin borde) de la circunferencia de centro \((2, -1) \) y radio
3.
La intersección de ambas condiciones define una corona circular o anillo plano.
Expresión en coordenadas cartesianas.
Sea \(z = x + yi \). La distancia al cuadrado satisface:
El conjunto representa una corona circular cerrada en su frontera interior de radio 1 y abierta en su frontera exterior de radio 3, centrada en el punto \((2, -1) \)
Determinación del valor máximo y mínimo del módulo de z más una constante sobre un conjunto acotado
Sabiendo que un número complejo \(z \in C \) satisface la condición de acotación \(|z| \le 2 \), hallar las cotas máxima y mínima posibles para el módulo de la expresión \(|z - (5 + 12i)| \)
Definición del punto de referencia y cálculo de su módulo.
Sea el complejo constante \(w = 5 + 12i \)
Calculamos su módulo:
Queremos acotar la distancia \(|z - w| \)
Aplicación de la desigualdad triangular para la cota superior.
Por la desigualdad triangular directa:
Como \(|z| \le 2 \) y \(|w| = 13 \):
Esta cota máxima 15 se alcanza cuando \(z \) está alineado con \(w \) en sentido diametralmente opuesto:
Aplicación de la desigualdad triangular inversa para la cota inferior.
Por la desigualdad triangular inversa:
Como \(|w| = 13 \) y \(|z| \le 2 \):
Esta cota mínima 11 se alcanza cuando \(z \) está alineado con \(w \) en el mismo sentido:
Para todo complejo con \(|z| \le 2 \), el valor mínimo posible de \(|z - (5 + 12i)| \) es 11 y el valor máximo posible es 15, cumpliéndose \(11 \le |z - (5 + 12i)| \le 15 \)