2.6 Integral definida y teorema fundamental del cálculo
La integral definida: construcción
Sea \(f \) una función continua en un intervalo cerrado \([a,b] \) con \(a < b \)
Una partición \(P \) de \([a,b] \) es una colección finita de puntos \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \)
Como \(f \) es continua en cada subintervalo \([x_{i-1}, x_i] \), alcanza en él un mínimo \(m_i \) e un máximo \(M_i \)
Se llama suma inferior de \(f \) respecto de \(P \) a \(s(f,P) = \sum_{i=1}^{n} m_i\,(x_i-x_{i-1}) \), e suma superior a \(S(f,P) = \sum_{i=1}^{n} M_i\,(x_i-x_{i-1}) \)
Al refinar la partición, las sumas inferiores crecen y las superiores decrecen, e ambas tienden al mismo límite cuando la anchura máxima de los subintervalos tiende a cero.
Se llama integral definida de \(f \) en \([a,b] \) al valor común de ese límite y se representa por \(\int_a^b f(x)\,dx \)
Los números \(a \) y \(b \) se llaman límites de integración, inferior y superior respectivamente.
Geométricamente, si \(f \) es positiva, \(\int_a^b f(x)\,dx \) es el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f \), el eje de abscisas e las rectas \(x = a \) y \(x = b \)
Para \(f(x) = 2 \) constante en \([0,3] \), cualquier suma de Riemann vale \(2\cdot 3 = 6 \), luego \(\int_0^3 2\,dx = 6 \), que es el área del rectángulo de base \(3 \) e altura \(2 \)
Propiedades de la integral definida
Sea \(f \) y \(g \) continuas en \([a,b] \)
Linealidad: $$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx $$ y \(int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx \) para toda constante \(k \)
Aditividad respecto del intervalo:
si \(a < c < b \), entonces $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx $$
Comparación:
si \(f(x) \le g(x) \) para todo \(x \) de \([a,b] \), entonces \(\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx \)
En particular, si \(m \le f(x) \le M \) en \([a,b] \), entonces \(m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a) \)
Valor absoluto: $$\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx $$
Por convenio, \(\int_a^a f(x)\,dx = 0 \) y \(int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx \)
El teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental establece el vínculo entre la derivación e la integración: son operaciones inversas.
Sea \(f \) continua en \([a,b] \)
La función \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \), definida para \(x \) en \([a,b] \), es derivable en \((a,b) \) e cumple \(F'(x) = f(x) \)
Es decir, la función integral de \(f \) es una primitiva de \(f \)
La idea de la demostración es que el cociente incremental $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt $$ es el valor medio de \(f \) en \([x, x+h] \), que tiende a \(f(x) \) cuando \(h \) tiende a cero por continuidad.
Una consecuencia práctica fundamental es la derivación de integrales con límites variables.
Si $$G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt ,\ \text{con}\ a $$, \(b \) derivables e \(f \) continua, entonces por la regla de la cadena \(G'(x) = f(b(x))\,b'(x) - f(a(x))\,a'(x) \)
Si \(F(x) = \int_0^x \operatorname{sen}(t^2)\,dt \), por el teorema fundamental \(F'(x) = \operatorname{sen}(x^2) \), aunque \(\operatorname{sen}(t^2) \) no tenga primitiva elemental.
La regla de Barrow
Sea \(f \) continua en \([a,b] \) y \(G \) una primitiva cualquiera de \(f \) en \([a,b] \)
Entonces \(\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) \)
La diferencia \(G(b)-G(a) \) se representa por \(\left[G(x)\right]_a^b \)
La regla de Barrow reduce el cálculo de integrales definidas al cálculo de primitivas: basta evaluar cualquier primitiva en los extremos e restar.
No importa qué primitiva se elija, porque la constante de integración se cancela en la resta.
Los métodos de las secciones 2.2 e 2.3 se adaptan a la integral definida.
Integración por partes definida: $$\int_a^b u\,dv = \left[u\,v\right]_a^b - \int_a^b v\,du $$
Cambio de variable definido:
si \(x = g(t) \), los límites se transforman con el propio cambio: $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{t_1}^{t_2} f(g(t))\,g'(t)\,dt $$, donde \(a = g(t_1) \) y \(b = g(t_2) \)
Con límites transformados no es necesario deshacer el cambio.
Para calcular \(\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx \) se usa \(t = x^2 \), con \(t = 0 \) cuando \(x = 0 \) e \(t = 1 \) cuando \(x = 1 \)
Queda $$\int_0^1 \frac{1}{2}e^t\,dt = \left[\frac{1}{2}e^t\right]_0^1 = \frac{e-1}{2} $$
Aplicaremos la regla de Barrow: hallaremos una primitiva del integrando, la evaluaremos en los límites de integración y restaremos los valores obtenidos.
Cálculo de una primitiva.
Una primitiva de \(x^2 \) es \(G(x) = \frac{x^3}{3} \), pues \(G'(x) = x^2 \)
Evaluación en los límites y resta.
Por la regla de Barrow:
$$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} $$
Se trata de la derivada de una integral con los dos límites variables.
Aplicaremos la consecuencia del teorema fundamental: se evalúa el integrando en cada límite, se multiplica por la derivada del límite correspondiente y se restan los resultados.
Identificación de los límites y sus derivadas.
El límite superior es \(b(x) = x^2 ,\ \text{con}\ b'(x) = 2x \)
El límite inferior es \(a(x) = 2x ,\ \text{con}\ a'(x) = 2 \)
El integrando es \(f(t) = \cos(t^3) \), continua en todo \(\mathbb{R} \)
Aplicación de la fórmula.
Sustituyendo:
$$G'(x) = 2x\,\cos(x^6) - 2\,\cos(8x^3) $$
Efectuaremos el cambio de variable \(t = \ln x \), transformando también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio.
La integral resultante será una potencia inmediata.
Cambio de variable y nuevos límites.
Con \(t = \ln x \) se tiene \(dt = \frac{dx}{x} \)
Cuando \(x = 1 \), \(t = \ln 1 = 0 \)
Cuando \(x = e \), \(t = \ln e = 1 \)
La integral queda:
Aplicación de la regla de Barrow.
$$\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{2} $$