Integración de funciones trigonométricas

Question

1. Potencias de seno y coseno.
Para calcular $\int \operatorname{sen}^m x\,\cos^n x\,dx$ con $m$ y  enteros no negativos, se distingue según la paridad de los exponentes.
Si $m$ es impar, se reserva un factor $\operatorname{sen} x$ para la diferencial y se escribe el resto en función de $\cos x$ mediante $\operatorname{sen}^2 x = 1-\cos^2 x$
El cambio $t = \cos x$ convierte la integral en polinómica.
Si $n$ es impar, se reserva un factor $\cos x$ y se escribe el resto en función de $\operatorname{sen} x$ mediante $\cos^2 x = 1-\operatorname{sen}^2 x$
El cambio $t = \operatorname{sen} x$ convierte la integral en polinómica.
Si $m$ y  son pares, se utilizan las fórmulas del ángulo doble $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ y $cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ para rebajar el grado.
Ejemplo:
Para calcular $\int \operatorname{sen}^3 x\,dx$, como el exponente es impar, se escribe $\int \operatorname{sen}^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\,\operatorname{sen} x\,dx$
Con $t = \cos x$, $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$, queda $-\int (1-t^2)\,dt = -\left(t-\frac{t^3}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

2. Productos de senos y cosenos de ángulos distintos.
Las integrales $\int \operatorname{sen}(mx)\,\cos(nx)\,dx$, $\int \operatorname{sen}(mx)\,\operatorname{sen}(nx)\,dx$ y $int \cos(mx)\,\cos(nx)\,dx$ se linealizan con las fórmulas de suma a producto.
$\operatorname{sen}(mx)\,\cos(nx) = \frac{\operatorname{sen}((m+n)x) + \operatorname{sen}((m-n)x)}{2}$
$\operatorname{sen}(mx)\,\operatorname{sen}(nx) = \frac{\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)}{2}$
$\cos(mx)\,\cos(nx) = \frac{\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)}{2}$
Tras aplicar estas identidades, cada sumando es un seno o un coseno de un múltiplo de $x$, cuya primitiva es inmediata.
Ejemplo:
Para calcular $\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos(x)\,dx$ se usa la primera identidad con $m = 3$ e $n = 1$:
$\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos(x)\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(4x)+\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx = -\frac{\cos(4x)}{8} - \frac{\cos(2x)}{4} + C$

3. Funciones racionales en seno y coseno: el cambio universal.
Una función racional en $\operatorname{sen} x$ y $cos x$ es un cociente de polinomios en esas dos funciones, que denotamos $R(\operatorname{sen} x, \cos x)$

Teorema (cambio universal):

El cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ transforma cualquier integral $\int R(\operatorname{sen} x, \cos x)\,dx$ en la integral de una función racional en $t$, mediante las relaciones $\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$

La integral racional resultante se resuelve por el método de la sección 2.

4.
Existen cambios más económicos según la paridad de $R$
Si $R$ es impar en $\operatorname{sen} x$, es decir, $R(-\operatorname{sen} x, \cos x) = -R(\operatorname{sen} x, \cos x)$, se usa $t = \cos x$
Si $R$ es impar en $\cos x$, se usa $t = \operatorname{sen} x$
Si $R$ es par en ambas, es decir, $R(-\operatorname{sen} x, -\cos x) = R(\operatorname{sen} x, \cos x)$, se usa $t = \tan x$
Ejemplo:
Para calcular $\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x}$, que es impar en $\cos x$, se usa $t = \cos x$
Escribiendo $\int \frac{\operatorname{sen} x\,dx}{\operatorname{sen}^2 x} = \int \frac{\operatorname{sen} x\,dx}{1-\cos^2 x}$ y sustituyendo, queda $-\int \frac{dt}{1-t^2}$, que por fracciones simples vale $\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$
Ejemplo 1: Calcula $\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx$
Explicación: El exponente del seno es impar, así que reservaremos un factor $\operatorname{sen} x$ para formar la diferencial del cambio $t = \cos x$. El resto se expresará en función del coseno y la integral quedará polinómica.
PASO 1: Preparación del integrando.
Separamos un factor $\operatorname{sen} x$:
$\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx = \int \operatorname{sen}^2 x\,\cos^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx$
Sustituimos $\operatorname{sen}^2 x = 1-\cos^2 x$:
$\int (1-\cos^2 x)\,\cos^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx$
PASO 2: Cambio de variable y resolución.
Con $t = \cos x$ se tiene $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$
La integral queda:
$-\int (1-t^2)\,t^2\,dt = -\int (t^2-t^4)\,dt = -\frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + C$
PASO 3: Deshacer el cambio.
Sustituyendo $t = \cos x$:
$-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$
Conclusión: $\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$
Ejemplo 2: Calcula $\int \cos^2 x\,dx$
Explicación: Ambos exponentes son pares, luego aplicaremos la fórmula del ángulo doble para rebajar el grado del coseno. La integral resultante será inmediata término a término.
PASO 1: Aplicación del ángulo doble.
Sustituimos $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:
$\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx$
PASO 2: Integración término a término.
$\frac{1}{2}\int dx = \frac{x}{2}$
Para $\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx$ se usa que la derivada de $2x$ es $2$:
$\frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}$
Reuniendo con la constante:
$\frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C$
Conclusión: $\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C$
Ejemplo 3: Calcula $\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x}$
Explicación: Se trata de una función racional en el seno, sin paridades que permitan un cambio económico, así que aplicaremos el cambio universal $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. Obtendremos una integral racional con denominador cuadrático irreducible, que resolveremos completando cuadrados.
PASO 1: Aplicación del cambio universal.
Con $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ se tiene $\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1+t^2}$ y $dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$
Sustituyendo:
$\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x} = \int \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{2+\frac{2t}{1+t^2}} = \int \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+2t} = \int \frac{dt}{t^2+t+1}$
PASO 2: Resolución de la integral racional.
El denominador $t^2+t+1$ tiene discriminante negativo, luego es irreducible.
Completamos cuadrados: $t^2+t+1 = \left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$
Entonces:
$\int \frac{dt}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2}\ arctan\left(\frac{t+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right) + C$
PASO 3: Deshacer el cambio.
Sustituyendo $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$:
$\frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2\,\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right) + C$
Conclusión: $\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x} = \frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2\,\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right) + C$

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio
  
    1. Potencias de seno y coseno. Para calcular $\int \operatorname{sen}^m x\,\cos^n x\,dx$ con $m$ y  enteros no negativos, se distingue según la paridad de los exponentes. Si $m$ es impar, se reserva un factor $\operatorname{sen} x$ para la diferencial y se escribe el resto en función de $\cos x$ mediante $\operatorname{sen}^2 x = 1-\cos^2 x$ El cambio $t = \cos x$ convierte la integral en polinómica. Si $n$ es impar, se reserva un factor $\cos x$ y se escribe el resto en función de $\operatorname{sen} x$ mediante $\cos^2 x = 1-\operatorname{sen}^2 x$ El cambio $t = \operatorname{sen} x$ convierte la integral en polinómica. Si $m$ y  son pares, se utilizan las fórmulas del ángulo doble $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ y $cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ para rebajar el grado. Ejemplo: Para calcular $\int \operatorname{sen}^3 x\,dx$, como el exponente es impar, se escribe $\int \operatorname{sen}^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\,\operatorname{sen} x\,dx$ Con $t = \cos x$, $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$, queda $-\int (1-t^2)\,dt = -\left(t-\frac{t^3}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ 2. Productos de senos y cosenos de ángulos distintos. Las integrales $\int \operatorname{sen}(mx)\,\cos(nx)\,dx$, $\int \operatorname{sen}(mx)\,\operatorname{sen}(nx)\,dx$ y $int \cos(mx)\,\cos(nx)\,dx$ se linealizan con las fórmulas de suma a producto. $\operatorname{sen}(mx)\,\cos(nx) = \frac{\operatorname{sen}((m+n)x) + \operatorname{sen}((m-n)x)}{2}$ $$\operatorname{sen}(mx)\,\operatorname{sen}(nx) = \frac{\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)}{2}$$ $\cos(mx)\,\cos(nx) = \frac{\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)}{2}$ Tras aplicar estas identidades, cada sumando es un seno o un coseno de un múltiplo de $x$, cuya primitiva es inmediata. Ejemplo: Para calcular $\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos(x)\,dx$ se usa la primera identidad con $m = 3$ e $n = 1$: $\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos(x)\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(4x)+\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx = -\frac{\cos(4x)}{8} - \frac{\cos(2x)}{4} + C$ 3. Funciones racionales en seno y coseno: el cambio universal. Una función racional en $\operatorname{sen} x$ y $cos x$ es un cociente de polinomios en esas dos funciones, que denotamos $R(\operatorname{sen} x, \cos x)$ Teorema (cambio universal): El cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ transforma cualquier integral $\int R(\operatorname{sen} x, \cos x)\,dx$ en la integral de una función racional en $t$, mediante las relaciones $\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$ La integral racional resultante se resuelve por el método de la sección 2. 4. Existen cambios más económicos según la paridad de $R$ Si $R$ es impar en $\operatorname{sen} x$, es decir, $R(-\operatorname{sen} x, \cos x) = -R(\operatorname{sen} x, \cos x)$, se usa $t = \cos x$ Si $R$ es impar en $\cos x$, se usa $t = \operatorname{sen} x$ Si $R$ es par en ambas, es decir, $R(-\operatorname{sen} x, -\cos x) = R(\operatorname{sen} x, \cos x)$, se usa $t = \tan x$ Ejemplo: Para calcular $\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x}$, que es impar en $\cos x$, se usa $t = \cos x$ Escribiendo $\int \frac{\operatorname{sen} x\,dx}{\operatorname{sen}^2 x} = \int \frac{\operatorname{sen} x\,dx}{1-\cos^2 x}$ y sustituyendo, queda $-\int \frac{dt}{1-t^2}$, que por fracciones simples vale $\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$ Ejemplo 1: Calcula $\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx$

Explicación
El exponente del seno es impar, así que reservaremos un factor $\operatorname{sen} x$ para formar la diferencial del cambio $t = \cos x$. El resto se expresará en función del coseno y la integral quedará polinómica.

PASO 1
Preparación del integrando.
Separamos un factor $\operatorname{sen} x$:
$$\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx = \int \operatorname{sen}^2 x\,\cos^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx$$
Sustituimos $\operatorname{sen}^2 x = 1-\cos^2 x$:
$$\int (1-\cos^2 x)\,\cos^2 x\,\operatorname{sen} x\,dx$$

PASO 2
Cambio de variable y resolución.
Con $t = \cos x$ se tiene $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$ La integral queda:
$$-\int (1-t^2)\,t^2\,dt = -\int (t^2-t^4)\,dt = -\frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + C$$

PASO 3
Deshacer el cambio.
Sustituyendo $t = \cos x$:
$$-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

Conclusión
$$\int \operatorname{sen}^3 x\,\cos^2 x\,dx = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

Ejemplo 2: Calcula $\int \cos^2 x\,dx$
  
Explicación
Ambos exponentes son pares, luego aplicaremos la fórmula del ángulo doble para rebajar el grado del coseno. La integral resultante será inmediata término a término.

PASO 1
Aplicación del ángulo doble.
Sustituimos $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:
$$\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx$$

PASO 2
Integración término a término.
$$\frac{1}{2}\int dx = \frac{x}{2}$$
Para $\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx$ se usa que la derivada de $2x$ es $2$:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}$$
Reuniendo con la constante:
$$\frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C$$

Conclusión
$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C$$

Ejemplo 3: Calcula $\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x}$
  
Explicación
Se trata de una función racional en el seno, sin paridades que permitan un cambio económico, así que aplicaremos el cambio universal $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. Obtendremos una integral racional con denominador cuadrático irreducible, que resolveremos completando cuadrados.

PASO 1
Aplicación del cambio universal.
Con $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ se tiene $\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1+t^2}$ y $dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$ Sustituyendo:
$$\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x} = \int \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{2+\frac{2t}{1+t^2}} = \int \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+2t} = \int \frac{dt}{t^2+t+1}$$

PASO 2
Resolución de la integral racional.
El denominador $t^2+t+1$ tiene discriminante negativo, luego es irreducible. Completamos cuadrados: $t^2+t+1 = \left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ Entonces:
$$\int \frac{dt}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2}\ arctan\left(\frac{t+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right) + C$$

PASO 3
Deshacer el cambio.
Sustituyendo $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$:
$$\frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2\,\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right) + C$$

Conclusión
$$\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x} = \frac{2}{\sqrt{3}}\ arctan\left(\frac{2\,\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right) + C$$

Integración de funciones trigonométricas

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