Aplicaciones: áreas planas

1. Área bajo una curva. Sea \(f\) una función continua e no negativa en \([a,b]\) La región plana \(R\) limitada por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas e las rectas verticales \(x = a \ \text{y}\\x = b\) tiene área \(A(R) = \int_a^b f(x)\,dx\) Esta es la interpretación geométrica de la integral definida que motivó su construcción. Si \(f\) toma valores negativos, la integral \(\int_a^b f(x)\,dx\) ya no es un área: las partes bajo el eje contribuyen con signo negativo y se produce una compensación. El área geométrica, siempre positiva, se obtiene integrando el valor absoluto: \(A(R) = \int_a^b |f(x)|\,dx\) En la práctica se determinan los intervalos donde \(f\) es positiva e donde es negativa, resolviendo \(f(x) = 0\), y se suma el valor absoluto de cada integral parcial. Ejemplo: El área encerrada entre \(y = x^2 - 1\) e el eje de abscisas, para \(x\) entre \(-1\) e \(1\), no es \(\int_{-1}^{1} (x^2-1)\,dx = -\frac{4}{3}\), que es negativa, sino su valor absoluto \(\frac{4}{3}\), porque la parábola queda por debajo del eje en todo el intervalo. 2. Área entre dos curvas. Sean \(f \ \text{y}\\g\) dos funciones continuas en \([a,b]\) La región encerrada entre sus gráficas e las rectas \(x = a \ \text{y}\\x = b\) tiene área \(A = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\) El valor absoluto mide en cada punto la distancia vertical entre las dos gráficas, que es siempre positiva. Método operativo para calcular el área entre dos curvas. Primero, hallar los puntos de intersección resolviendo \(f(x) = g(x)\); sus abscisas determinan los límites de integración e los subintervalos. Segundo, en cada subintervalo averiguar qué función está por encima, evaluando \(f - g\) en un punto interior o estudiando su signo. Tercero, integrar la diferencia (la de arriba menos la de abajo) en cada subintervalo e sumar los resultados. Si las curvas se cortan en puntos interiores, es imprescindible partir la integral en esos puntos: integrar la diferencia con un único signo en todo el intervalo produciría compensaciones erróneas. Ejemplo: El área encerrada entre \(y = x^2\) e \(y = x\) se obtiene de los cortes \(x = 0\) e \(x = 1\) En \((0,1)\) la recta está por encima de la parábola, luego \(A = \int_0^1 (x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{6}\) 3. Regiones descritas mediante funciones de \(y\) Cuando la frontera de la región se describe más cómodamente despejando \(x\) en función de \(y\), conviene integrar respecto de \(y\) Si la región está limitada a la izquierda por \(x = g(y)\) e a la derecha por \(x = f(y)\), para \(y\) entre \(c \ \text{y}\\d\), su área es \(A = \int_c^d |f(y)-g(y)|\,dy\) Esta formulación es la simétrica de la anterior intercambiando los papeles de \(x \ \text{e}\\y\): ahora se mide la distancia horizontal entre las curvas. Es especialmente útil cuando una misma \(x\) corresponde a dos valores de \(y\), como ocurre con curvas que se pliegan sobre sí mismas. Ejemplo: El área encerrada entre la parábola \(x = y^2\) e la recta \(x = y + 2\) se calcula integrando respecto de \(y\) Los cortes cumplen \(y^2 = y + 2\), es decir, \(y = -1 \ \text{e}\\y = 2\) La recta queda a la derecha de la parábola, luego \(A = \int_{-1}^{2} (y+2-y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}\) Ejemplo 1: Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de \(y = x^2\) e \(y = 2x\)