3.7.4 Máximos y mínimos absolutos: teorema de Weierstrass
Máximos y mínimos absolutos
Un punto \(x = c \) es un máximo absoluto de \(f \) en un intervalo \(I \) si \(f(c) \ge f(x) \) para todo \(x \in I \); es un mínimo absoluto si \(f(c) \le f(x) \) para todo \(x \in I \)
A diferencia de los extremos relativos, que solo miran el entorno del punto, los absolutos comparan con todo el intervalo.
Para \(f(x) = x^2 \) en \([-1, 2] \), los candidatos son el punto crítico \(0 \) y los extremos \(-1 \) y \(2 \): los valores \(0 \), \(1 \) y \(4 \) dan mínimo absoluto \(0 \) y máximo absoluto \(4 \)
Teorema de Weierstrass
El teorema de Weierstrass garantiza la existencia de extremos absolutos:
si \(f \) es continua en un intervalo cerrado \([a, b] \), entonces alcanza en él un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
La continuidad en un cerrado es esencial: en intervalos abiertos o con discontinuidades los extremos absolutos pueden no existir.
El teorema de Weierstrass garantiza que \(f(x) = x^2 \), continua en el cerrado \([-1, 2] \), alcanza su máximo y su mínimo absolutos en ese intervalo, como se comprueba en el ejemplo anterior.
Método de cálculo
Para hallar los extremos absolutos de una función continua en \([a, b] \) se comparan los valores de la función en los candidatos: los puntos críticos interiores (donde \(f'(x) = 0 \) o \(f' \) no existe) y los extremos del intervalo \(a \) y \(b \)
El mayor valor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.
Para \(f(x) = x^3 - 3x \) en \([-1, 2] \): \(f(-1) = 2 \), \(f(1) = -2 \) y \(f(2) = 2 \), luego el máximo absoluto es \(2 \) y el mínimo absoluto es \(-2 \)
Halla los extremos absolutos de \(f(x) = x^2 \) en el intervalo \([-1, 2] \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que se cumplen las hipótesis de Weierstrass.
A continuación hallaremos los puntos críticos interiores.
Para terminar compararemos los valores en los candidatos.
Candidatos.
La función es continua en \([-1, 2] \)
Su derivada \(f'(x) = 2x \) se anula en \(x = 0 \), interior al intervalo.
Candidatos: \(x = -1 \), \(x = 0 \) y \(x = 2 \)
Comparación de valores.
El mínimo absoluto es \(0 \), alcanzado en \(x = 0 \), y el máximo absoluto es \(4 \), alcanzado en \(x = 2 \)
Observa que el máximo está en un extremo del intervalo, no en un punto crítico.
Halla los extremos absolutos de \(f(x) = 2x + 1 \) en el intervalo \([0, 3] \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función.
A continuación comprobaremos que no hay puntos críticos.
Para terminar evaluaremos en los extremos del intervalo.
Derivada.
\(f'(x) = 2 \ne 0 \) para todo \(x \): no hay puntos críticos interiores.
Evaluación en los extremos.
El mínimo absoluto es \(1 \) en \(x = 0 \) y el máximo absoluto es \(7 \) en \(x = 3 \); al no haber puntos críticos, los extremos absolutos están en los extremos del intervalo.
Halla los extremos absolutos de \(f(x) = x^3 - 3x^2 \) en el intervalo \([-1, 3] \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar los puntos críticos interiores.
A continuación evaluaremos la función en los candidatos.
Para terminar identificaremos los valores mayor y menor.
Puntos críticos.
Evaluación en los candidatos.
El máximo absoluto es \(0 \), alcanzado en \(x = 0 \) y en \(x = 3 \); el mínimo absoluto es \(-4 \), alcanzado en \(x = -1 \) y en \(x = 2 \)
Descompón el número \(12 \) en dos sumandos positivos de modo que su producto sea máximo.
Para resolver este ejemplo empezaremos por expresar el producto en función de un sumando.
A continuación derivaremos e igualaremos a cero.
Para terminar aplicaremos el método de Weierstrass en el intervalo cerrado.
Función objetivo.
Si un sumando es \(x \), el otro es \(12 - x ,\ \text{con}\ x \in [0, 12] \)
El producto es:
Punto crítico.
Comparación en el cerrado.
El producto máximo es \(36 \) y se consigue con los sumandos \(6 \) y \(6 \): a suma fija, el producto es máximo cuando los dos números son iguales.
Se dispone de \(60 \) metros de valla para cercar un terreno rectangular junto a un río, de modo que solo hay que vallar tres lados.
Halla las dimensiones de área máxima.
Para resolver este ejemplo empezaremos por expresar el área en función del lado perpendicular al río.
A continuación derivaremos e igualaremos a cero.
Para terminar compararemos los valores en el intervalo cerrado.
Función objetivo.
Llamamos \(x \) al lado perpendicular al río; el lado paralelo mide \(60 - 2x ,\ \text{con}\ x \in [0, 30] \)
El área es:
Punto crítico.
Comparación en el cerrado.
El área máxima es \(450 \) metros cuadrados y se consigue con \(x = 15 \) metros perpendiculares al río y \(30 \) metros paralelos a él.