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3.7.3 Máximos y mínimos relativos: criterio de la derivada n-ésima

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Criterio de la segunda derivada
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Criterio de la segunda derivada

Si \(x = c \) es un punto crítico, es decir, \(f'(c) = 0 \), el signo de la segunda derivada decide el tipo de extremo sin necesidad de tabla de signos:

$$\text{Si } f''(c) > 0 \text{, hay un mínimo relativo en } c $$
$$\text{Si } f''(c) < 0 \text{, hay un máximo relativo en } c $$

La idea es que si \(f''(c) > 0 \), la primera derivada es creciente en \(c \) y pasa de negativa a positiva: la función baja y luego sube, luego hay un mínimo.

Ejemplo:

Para \(f(x) = x^2 \), el punto crítico \(x = 0 \) verifica \(f''(0) = 2 > 0 \): es un mínimo relativo.

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Criterio de la derivada n-ésima

Si \(f''(c) = 0 \), el criterio anterior no decide.

Se recurre a la primera derivada no nula de orden \(n \) en \(c \):

$$\text{Si } n \text{ es par y } f^{(n)}(c) > 0 \text{, hay mínimo; si } f^{(n)}(c) < 0 \text{, hay máximo} $$

$$\text{Si } n \text{ es impar, no hay extremo: } c \text{ es un punto de inflexión} $$
Ejemplo:

En \(f(x) = x^4 \), el criterio de la segunda derivada no decide en \(x = 0 \) porque \(f''(0) = 0 \); la primera derivada no nula es \(f^{(4)}(0) = 24 > 0 \), de orden par: hay un mínimo relativo.

Ejemplo 1: Criterio de la segunda derivada

Halla los extremos relativos de \(f(x) = x^2 - 2x \) usando el criterio de la segunda derivada.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar el punto crítico igualando la primera derivada a cero.

A continuación calcularemos la segunda derivada.

Para terminar evaluaremos su signo en el punto crítico.

PASO 1

Punto crítico.

$$f'(x) = 2x - 2 = 0 \rightarrow x = 1 $$
PASO 2

Segunda derivada.

$$f''(x) = 2 \rightarrow f''(1) = 2 > 0 $$
Conclusión

Como \(f''(1) > 0 \), hay un mínimo relativo en \(x = 1 \) con valor \(f(1) = 1 - 2 = -1 \)

Ejemplo 2: Segunda derivada nula y criterio n-ésimo

Halla los extremos relativos de \(f(x) = x^4 \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar el punto crítico.

A continuación veremos que la segunda derivada se anula.

Para terminar aplicaremos el criterio de la derivada n-ésima.

PASO 1

Punto crítico y segunda derivada.

$$f'(x) = 4x^3 = 0 \rightarrow x = 0 $$

\(f''(x) = 12x^2 \rightarrow f''(0) = 0 \), luego el criterio de la segunda derivada no decide.

PASO 2

Derivadas sucesivas.

$$f'''(x) = 24x \rightarrow f'''(0) = 0 $$
$$f^{(4)}(x) = 24 \rightarrow f^{(4)}(0) = 24 > 0 $$
Conclusión

La primera derivada no nula es la cuarta (\(n = 4 \), par) y es positiva, luego hay un mínimo relativo en \(x = 0 \) con valor \(f(0) = 0 \)

Ejemplo 3: Derivada tercera no nula e inflexión

Estudia el punto \(x = 0 \) de la función \(f(x) = x^3 \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que es un punto crítico con segunda derivada nula.

A continuación calcularemos la tercera derivada.

Para terminar aplicaremos el criterio de la derivada n-ésima.

PASO 1

Punto crítico.

$$f'(x) = 3x^2 \rightarrow f'(0) = 0 $$
$$f''(x) = 6x \rightarrow f''(0) = 0 $$
PASO 2

Tercera derivada.

$$f'''(x) = 6 \rightarrow f'''(0) = 6 \ne 0 $$
Conclusión

La primera derivada no nula es la tercera (\(n = 3 \), impar), luego en \(x = 0 \) no hay extremo: es un punto de inflexión, donde la función deja de decrecer en curvatura para cambiar su concavidad.

Ejemplo 4: Varios extremos con la segunda derivada

Halla los extremos relativos de \(f(x) = -x^4 + 2x^2 \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar y factorizar para hallar los puntos críticos.

A continuación calcularemos la segunda derivada.

Para terminar evaluaremos su signo en cada punto crítico.

PASO 1

Puntos críticos.

$$f'(x) = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = 0 \rightarrow x = 0 \text{, } x = 1 \text{, } x = -1 $$
PASO 2

Segunda derivada.

$$f''(x) = -12x^2 + 4 $$
PASO 3

Evaluación en cada punto crítico.

\(f''(1) = -12 + 4 = -8 < 0 \): máximo relativo en \(x = 1 ,\ \text{con}\ f(1) = -1 + 2 = 1 \)
\(f''(-1) = -12 + 4 = -8 < 0 \): máximo relativo en \(x = -1 ,\ \text{con}\ f(-1) = -1 + 2 = 1 \)
\(f''(0) = 4 > 0 \): mínimo relativo en \(x = 0 ,\ \text{con}\ f(0) = 0 \)
Conclusión

La función tiene máximos relativos en \((-1, 1) \) y \((1, 1) \), y un mínimo relativo en \((0, 0) \)

Ejemplo 5: Criterio n-ésimo con la cuarta derivada

Halla los extremos relativos de \(f(x) = x^5 - 5x^4 \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar los puntos críticos factorizando la derivada.

A continuación aplicaremos el criterio de la segunda derivada donde sea posible.

Para terminar usaremos el criterio de la derivada n-ésima en el punto donde la segunda se anula.

PASO 1

Puntos críticos.

$$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3(x - 4) = 0 \rightarrow x = 0 \text{ o } x = 4 $$
PASO 2

Segunda derivada.

$$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x - 3) $$

En \(x = 4 \): \(f''(4) = 20 \cdot 16 \cdot 1 = 320 > 0 \), luego hay un mínimo relativo con valor \(f(4) = 1024 - 1280 = -256 \)

En \(x = 0 \): \(f''(0) = 0 \), no decide.

PASO 3

Criterio n-ésimo en \(x = 0 \)

$$f'''(x) = 60x^2 - 120x \rightarrow f'''(0) = 0 $$
$$f^{(4)}(x) = 120x - 120 \rightarrow f^{(4)}(0) = -120 < 0 $$

La primera derivada no nula es la cuarta (\(n = 4 \), par) y es negativa.

Conclusión

Hay un máximo relativo en \(x = 0 \) con valor \(f(0) = 0 \), y un mínimo relativo en \(x = 4 \) con valor \(f(4) = -256 \)