3.7.2 Máximos y mínimos relativos: criterio de la primera derivada

Extremos relativos y puntos críticos

Un punto $x = c $ es un máximo relativo de $f $ si $f(c) \ge f(x) $ para los $x $ próximos a $c $; es un mínimo relativo si $f(c) \le f(x) $

Si $f $ es derivable en $c $ y allí hay un extremo relativo, necesariamente $f'(c) = 0 $

Se llaman puntos críticos a los puntos del dominio donde $f'(x) = 0 $ o donde $f' $ no existe.

Todo extremo relativo es un punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo: hay que analizarlo.

📝 Ejemplo:

Para $f(x) = x^2 $, el único punto crítico es $x = 0 $ y $f'(x) = 2x $ pasa de negativa a positiva al atravesarlo: hay un mínimo relativo en $x = 0 $

Criterio de la primera derivada

El criterio de la primera derivada decide si un punto crítico es extremo observando el cambio de signo de $f' $ al atravesarlo:

$$\text{Si } f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \text{ en } c \text{, hay un mínimo relativo en } c $$

$$\text{Si } f' \text{ pasa de } + \text{ a } - \text{ en } c \text{, hay un máximo relativo en } c $$

$$\text{Si } f' \text{ no cambia de signo en } c \text{, no hay extremo en } c $$

📝 Ejemplo:

Para $f(x) = x^3 - 3x $, derivamos término a término con la regla de potencias: $f'(x) = 3x^2 - 3 $

Los puntos críticos son las soluciones de $f'(x) = 0 $: $3x^2 - 3 = 0 $, es decir, $x^2 = 1 $, de donde $x = -1 $ o $x = 1 $

El signo de $f' $ viene dado por $3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) $: es positivo cuando $x^2 > 1 $ (en $(-\infty, -1) $ y en $(1, +\infty) $) y negativo cuando $x^2 < 1 $ (en $(-1, 1) $).

Por el criterio de la primera derivada, en $x = -1 $ hay un máximo relativo con valor $f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2 $, y en $x = 1 $ hay un mínimo relativo con valor $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 $

📝 Ejemplo 1: Mínimo relativo de una parábola

Halla los extremos relativos de $f(x) = x^2 - 4x + 3 $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar e igualar a cero para hallar el punto crítico.

A continuación estudiaremos el signo de la derivada a cada lado.

Para terminar aplicaremos el criterio de la primera derivada.

👉 PASO 1

Punto crítico.

$$f'(x) = 2x - 4 = 0 \rightarrow x = 2 $$

👉 PASO 2

Cambio de signo.

Si $x < 2 $, $f'(x) < 0 $;

si $x > 2 $, $f'(x) > 0 $

La derivada pasa de menos a más.

✅ Conclusión

Hay un mínimo relativo en $x = 2 $ con valor $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 $; el punto mínimo es $(2, -1) $

📝 Ejemplo 2: Máximo relativo de una parábola

Halla los extremos relativos de $f(x) = -x^2 + 6x $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar e igualar a cero.

A continuación estudiaremos el signo de la derivada a cada lado del punto crítico.

Para terminar aplicaremos el criterio de la primera derivada.

👉 PASO 1

Punto crítico.

$$f'(x) = -2x + 6 = 0 \rightarrow x = 3 $$

👉 PASO 2

Cambio de signo.

Si $x < 3 $, $f'(x) > 0 $;

si $x > 3 $, $f'(x) < 0 $

La derivada pasa de más a menos.

✅ Conclusión

Hay un máximo relativo en $x = 3 $ con valor $f(3) = -9 + 18 = 9 $; el punto máximo es $(3, 9) $

📝 Ejemplo 3: Máximo y mínimo de un polinomio cúbico

Halla los extremos relativos de $f(x) = x^3 - 3x $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar e igualar a cero para hallar los puntos críticos.

A continuación construiremos la tabla de signos de la derivada.

Para terminar aplicaremos el criterio de la primera derivada en cada punto.

👉 PASO 1

Puntos críticos.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0 \rightarrow x = -1 \text{ o } x = 1 $$

👉 PASO 2

Tabla de signos.

Evaluando en valores de prueba: $f'(-2) = 9 > 0 $, $f'(0) = -3 < 0 $, $f'(2) = 9 > 0 $

En $x = -1 $ la derivada pasa de más a menos; en $x = 1 $ pasa de menos a más.

✅ Conclusión

Hay un máximo relativo en $x = -1 $ con valor $f(-1) = -1 + 3 = 2 $, y un mínimo relativo en $x = 1 $ con valor $f(1) = 1 - 3 = -2 $

📝 Ejemplo 4: Un punto crítico que no es extremo

Halla los extremos relativos de $f(x) = x^4 - 4x^3 $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar y factorizar para hallar los puntos críticos.

A continuación estudiaremos el signo de la derivada en cada intervalo.

Para terminar veremos que uno de los puntos críticos no es extremo.

👉 PASO 1

Puntos críticos.

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0 \rightarrow x = 0 \text{ o } x = 3 $$

👉 PASO 2

Tabla de signos.

El factor $4x^2 $ es siempre mayor o igual que cero, luego el signo lo decide $x - 3 $

Para $x < 3 $ (y $x \ne 0 $), $f'(x) < 0 $;

para $x > 3 $, $f'(x) > 0 $

👉 PASO 3

Análisis de cada punto.

En $x = 0 $ la derivada es negativa a ambos lados: no cambia de signo, luego no hay extremo.

En $x = 3 $ pasa de menos a más: hay un mínimo relativo con valor $f(3) = 81 - 108 = -27 $

✅ Conclusión

El único extremo relativo es un mínimo en el punto $(3, -27) $; $x = 0 $ es un punto crítico que no es extremo (la función sigue decreciendo al atravesarlo).

📝 Ejemplo 5: Optimización: el rectángulo de área máxima

De todos los rectángulos de perímetro $20 $, halla el que tiene área máxima.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por expresar el área en función de un lado.

A continuación derivaremos e igualaremos a cero para hallar el punto crítico.

Para terminar aplicaremos el criterio de la primera derivada y daremos las dimensiones.

👉 PASO 1

Función objetivo.

Si un lado mide $x $, el otro mide $\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x $ (con $0 < x < 10 $).

El área es:

$$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 $$

👉 PASO 2

Punto crítico.

$$A'(x) = 10 - 2x = 0 \rightarrow x = 5 $$

👉 PASO 3

Criterio de la primera derivada.

Si $x < 5 $, $A'(x) > 0 $;

si $x > 5 $, $A'(x) < 0 $

La derivada pasa de más a menos: hay un máximo.

✅ Conclusión

El área máxima se consigue con $x = 5 $, es decir, con el cuadrado de lado $5 $, cuya área es $25 $