3.7.1 Monotonia crecimiento y decrecimiento
1. Crecimiento y decrecimiento: definiciones Una función \(f\) es creciente en un intervalo \(I\) si para cualesquiera \(x_1, x_2 \in I\) con \(x_1 < x_2\) se cumple \(f(x_1) < f(x_2)\); es decreciente si se cumple \(f(x_1) > f(x_2)\) Intuitivamente, la gráfica sube al avanzar hacia la derecha o baja, respectivamente. Ejemplo: La función \(f(x) = x^2\) es creciente en \((0, +\infty)\): si \(0 < x_1 < x_2\) entonces \(x_1^2 < x_2^2\) 2. Relación con el signo de la derivada Si \(f\) es derivable en un intervalo \(I\), el signo de la derivada determina la monotonía. Recordamos el teorema del valor medio de Lagrange: si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) Es consecuencia del teorema del valor medio de Lagrange: \(\text{Si } f'(x) > 0 \text{ en } I \text{, entonces } f \text{ es estrictamente creciente en } I\) \(\text{Si } f'(x) < 0 \text{ en } I \text{, entonces } f \text{ es estrictamente decreciente en } I\) Ejemplo: Para \(f(x) = x^3 - 3x\), la derivada \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\) determina la monotonía según su signo. 3. Método de estudio: puntos críticos y tabla de signos Para estudiar la monotonía se calculan los puntos críticos, es decir, los puntos donde \(f'(x) = 0\) o donde \(f'\) no existe. Estos puntos dividen el dominio en intervalos; tomando un valor de prueba en cada intervalo se determina el signo de \(f'\) y, con ello, si la función crece o decrece. Ejemplo: Los puntos críticos de \(f(x) = x^3 - 3x\) son \(x = -1\) y \(x = 1\): la tabla de signos de \(f'\) muestra que la función crece en \((-\infty, -1)\), decrece en \((-1, 1)\) y vuelve a crecer en \((1, +\infty)\) Ejemplo 1: Función siempre creciente Estudia la monotonía de \(f(x) = 3x - 2\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función. A continuación analizaremos el signo de la derivada. Para terminar concluiremos la monotonía.
Derivada.
Signo de la derivada.
Como \(f'(x) = 3 > 0\) para todo \(x\), no hay puntos críticos.
La función \(f(x) = 3x - 2\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\)
Estudia la monotonía de \(f(x) = x^2 - 2x\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar e igualar a cero para hallar el punto crítico. A continuación estudiaremos el signo de la derivada a cada lado. Para terminar escribiremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Punto crítico.
Tabla de signos.
Si \(x < 1\), entonces \(f'(x) < 0\); si \(x > 1\), entonces \(f'(x) > 0\)
La función decrece en \((-\infty, 1)\) y crece en \((1, +\infty)\); en \(x = 1\) alcanza su valor mínimo.
Estudia la monotonía de \(f(x) = x^3 - 3x^2\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar e igualar a cero para hallar los puntos críticos. A continuación construiremos la tabla de signos de la derivada. Para terminar escribiremos los intervalos de monotonía.
Puntos críticos.
Tabla de signos.
Los puntos \(0\) y \(2\) dividen la recta entres intervalos. Tomando valores de prueba:
La función crece en \((-\infty, 0) \cup (2, +\infty)\) y decrece en \((0, 2)\)
Estudia la monotonía de \(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar con la regla del cociente. A continuación igualaremos el numerador a cero para hallar los puntos críticos. Para terminar construiremos la tabla de signos.
Derivada.
Con \(u = x\) y \(v = x^2 + 1\):
Puntos críticos y signo.
El denominador es siempre positivo, luego el signo de \(f'\) es el de \(1 - x^2\), que se anula en \(x = -1\) y \(x = 1\) Evaluando:
La función decrece en \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) y crece en \((-1, 1)\)
Estudia la monotonía de \(f(x) = xe^{-x}\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar con la regla del producto. A continuación sacaremos factor común para hallar el punto crítico. Para terminar estudiaremos el signo de la derivada.
Derivada.
Punto crítico y signo.
Como \(e^{-x} > 0\) siempre, el signo depende de \(1 - x\), que se anula en \(x = 1\) Si \(x < 1\), \(f'(x) > 0\); si \(x > 1\), \(f'(x) < 0\)
La función crece en \((-\infty, 1)\) y decrece en \((1, +\infty)\); en \(x = 1\) alcanza su valor máximo, \(f(1) = \frac{1}{e}\)