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3.7.5 Curvatura y puntos de inflexion

Enunciado del ejercicio

1. Función cóncava y convexa La curvatura describe cómo se dobla la gráfica. Usaremos el convenio habitual: la función es convexa en un intervalo si su gráfica tiene forma de copa hacia arriba (sonríe), y cóncava si tiene forma de copa hacia abajo. El signo de la segunda derivada decide: \(\text{Si } f''(x) > 0 \text{ en } I \text{, } f \text{ es convexa en } I\) \(\text{Si } f''(x) < 0 \text{ en } I \text{, } f \text{ es cóncava en } I\) La idea es que si \(f''(x) > 0\), la primera derivada es creciente: las pendientes de las tangentes aumentan y la curva se dobla hacia arriba. Ejemplo: La función \(f(x) = x^2\) verifica \(f''(x) = 2 > 0\) en todo \(\mathbb{R}\): es convexa, con forma de copa hacia arriba. 2. Puntos de inflexión Un punto \((c, f(c))\) es un punto de inflexión si la función es continua en \(c\) y la curvatura cambia a su través, es decir, \(f''\) cambia de signo. Los candidatos son los puntos donde \(f''(x) = 0\) o donde \(f''\) no existe; después hay que comprobar el cambio de signo. Ejemplo: Para \(f(x) = x^3\), \(f''(x) = 6x\) cambia de signo en \(x = 0\): el punto \((0, 0)\) es un punto de inflexión. Ejemplo 1: Función siempre convexa Estudia la curvatura de \(f(x) = x^2\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la segunda derivada. A continuación analizaremos su signo. Para terminar concluiremos la curvatura.

PASO 1

Segunda derivada.

$$f'(x) = 2x \rightarrow f''(x) = 2$$
PASO 2

Signo.

Como \(f''(x) = 2 > 0\) para todo \(x\), no hay candidatos a inflexión.

Conclusión

La función \(f(x) = x^2\) es convexa en todo \(\mathbb{R}\) y no tiene puntos de inflexión.

Ejemplo 2: Cambio de curvatura en el origen

Estudia la curvatura de \(f(x) = x^3\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la segunda derivada e igualarla a cero. A continuación estudiaremos su signo a cada lado. Para terminar identificaremos el punto de inflexión.

PASO 1

Candidato a inflexión.

$$f'(x) = 3x^2 \rightarrow f''(x) = 6x = 0 \rightarrow x = 0$$
PASO 2

Cambio de signo.

Si \(x < 0\), \(f''(x) < 0\); si \(x > 0\), \(f''(x) > 0\) Hay cambio de signo.

Conclusión

La función es cóncava en \((-\infty, 0)\) y convexa en \((0, +\infty)\); el punto \((0, 0)\) es un punto de inflexión.

Ejemplo 3: Curvatura de un polinomio de grado cuatro

Estudia la curvatura y halla los puntos de inflexión de \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 1\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la segunda derivada e igualarla a cero. A continuación construiremos la tabla de signos. Para terminar escribiremos los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión.

PASO 1

Candidatos a inflexión.

$$f'(x) = 4x^3 - 12x \rightarrow f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0 \rightarrow x = -1 \text{ o } x = 1$$
PASO 2

Tabla de signos.

Evaluando en valores de prueba: \(f''(-2) = 36 > 0\), \(f''(0) = -12 < 0\), \(f''(2) = 36 > 0\) Hay cambio de signo en ambos candidatos.

PASO 3

Puntos de inflexión.

$$f(-1) = 1 - 6 + 1 = -4$$
$$f(1) = 1 - 6 + 1 = -4$$
Conclusión

La función es convexa en \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) y cóncava en \((-1, 1)\); tiene puntos de inflexión en \((-1, -4)\) y \((1, -4)\)

Ejemplo 4: Curvatura de la campana de Gauss

Estudia la curvatura de \(f(x) = e^{-x^2}\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primera y la segunda derivada con la regla de la cadena. A continuación igualaremos la segunda derivada a cero. Para terminar estudiaremos su signo.

PASO 1

Primera y segunda derivada.

$$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$$

Derivamos el producto:

$$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$$
PASO 2

Candidatos a inflexión.

Como \(2e^{-x^2} > 0\) siempre, \(f''(x) = 0\) equivale a:

$$2x^2 - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2} \text{ o } x }= -\frac{1}{\sqrt{2} }$$
PASO 3

Signo de la segunda derivada.

El factor \(2x^2 - 1\) es positivo fuera del intervalo entre las raíces y negativo dentro. Hay cambio de signo en ambos candidatos.

Conclusión

La función es convexa en \(\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}}, +\infty\right)\) y cóncava en \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}\right) }\); tiene puntos de inflexión en \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2} }\) con valor \(f\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}\right) }= e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e} }\)

Ejemplo 5: Curvatura de una función racional

Estudia la curvatura y halla los puntos de inflexión de \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primera y la segunda derivada con la regla del cociente. A continuación igualaremos a cero el numerador de la segunda derivada. Para terminar estudiaremos el signo y hallaremos los puntos.

PASO 1

Primera derivada.

$$f'(x) = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$$
PASO 2

Segunda derivada.

Derivamos el cociente con numerador \(u = -2x\) y denominador \(v = (1+x^2)^2\), cuya derivada es \(v' = 2(1+x^2) \cdot 2x = 4x(1+x^2)\):

$$f''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x) \cdot 4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3} = \frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}$$
PASO 3

Candidatos y signo.

El denominador es siempre positivo; el numerador se anula cuando \(3x^2 - 1 = 0\), es decir, \(x = \frac{1}{\sqrt{3} }\) o \(x = -\frac{1}{\sqrt{3} }\) El numerador es positivo fuera y negativo dentro: hay cambio de signo en ambos.

PASO 4

Puntos de inflexión.

$$f\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}\right) }= \frac{1}{1 + 1/3} = \frac{3}{4}$$
Conclusión

La función es convexa en \(\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{3}}}, +\infty\right)\) y cóncava en \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}\right) }\); tiene puntos de inflexión en \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4}\right)\) y \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4}\right)\)