La Desigualdad de Chebycheff (o Bienaymé-Chebyshev) es un teorema fundamental del cálculo de probabilidades que proporciona una cota superior o inferior universal para la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media, sin importar la forma de la función de distribución (discreta o continua), conociendo únicamente su esperanza $$\mu$$ y su varianza $$\sigma^2$$.
Enunciado del Teorema
Sea $$X$$ una variable aleatoria cualquiera con media $$\mu = E[X]$$ y desviación típica finita $$\sigma > 0$$. Para cualquier número real $$k > 0$$ (o distancia $$\epsilon = k\sigma > 0$$):
$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$Forma complementaria (probabilidad de concentración)
Considerando el suceso contrario, la probabilidad de que la variable caiga dentro de una vecindad de $$k$$ desviaciones típicas alrededor de la media está acotada inferiormente por:
$$P(|X - \mu| < k\sigma) = P(\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$Interpretación de cotas según el valor de $$k$$
- Para $$k = 2$$: Al menos el $$75\%$$ de los valores están a menos de $$2\sigma$$ de la media: $$P(|X - \mu| < 2\sigma) \ge 1 - \frac{1}{4} = 0.75 \quad (75\%)$$
- Para $$k = 3$$: Al menos el $$88.89\%$$ de los valores se concentran a menos de $$3\sigma$$ de la media: $$P(|X - \mu| < 3\sigma) \ge 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.8889 \quad (88.89\%)$$
- Para $$k = 4$$: Al menos el $$93.75\%$$ de la masa probabilística está en el intervalo $$(\mu - 4\sigma, \mu + 4\sigma)$$.
Aunque la cota suele ser conservadora (pesimista) respecto a distribuciones simétricas como la normal, su poder radica en su carácter estrictamente no paramétrico y universal.
Una variable aleatoria $$X$$ tiene media $$\mu = 50$$ y desviación típica $$\sigma = 5$$, sin conocer la forma de su distribución.
Para $$k = 2$$, acotamos la probabilidad de que $$X$$ caiga dentro del intervalo $$(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma) = (40, 60)$$:
Garantizamos con rigor universal que al menos el $$75\%$$ de las observaciones están a menos de dos desviaciones típicas de la media.
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Una fábrica produce piezas metálicas cuya longitud media es de $$20\text{ cm}$$ con una varianza de $$0.25\text{ cm}^2$$. Sin conocer el tipo de distribución, ¿qué porcentaje mínimo de piezas medirá entre $$18.5\text{ cm}$$ y $$21.5\text{ cm}$$?
Resolución paso a paso:
1) Identificamos los parámetros:
$$\mu = 20, \quad \sigma^2 = 0.25 \implies \sigma = \sqrt{0.25} = 0.5\text{ cm}$$2) Analizamos el intervalo pedido $$(18.5, 21.5)$$:
$$18.5 < X < 21.5 \iff -1.5 < X - 20 < 1.5 \iff |X - 20| < 1.5$$3) Calculamos $$k$$ relacionando la amplitud con $$\sigma$$:
$$k\sigma = 1.5 \implies k(0.5) = 1.5 \implies k = 3$$4) Aplicamos la desigualdad de Chebycheff:
$$P(|X - 20| < 1.5) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.8889$$Se garantiza que como mínimo el $$88.89\%$$ de las piezas cumple con las especificaciones.
El rendimiento medio de un fondo de inversión es del $$8\%$$ con una desviación típica del $$3\%$$. Acota la probabilidad de que el rendimiento se desvíe de la media en $$6\%$$ o más.
Resolución paso a paso:
Buscamos acotar la probabilidad del suceso extremo $$|X - 8| \ge 6$$:
$$k\sigma = 6 \implies k(3) = 6 \implies k = 2$$Por la desigualdad de Chebycheff para las colas:
$$P(|X - 8| \ge 6) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$$La probabilidad de sufrir una desviación igual o superior al $$6\%$$ (rendimientos inferiores al $$2\%$$ o superiores al $$14\%$$) es a lo sumo del $$25\%$$.
¿Cuántas desviaciones típicas alrededor de la media debemos considerar como mínimo para asegurar que al menos el $$99\%$$ de la distribución quede encerrada en dicho intervalo?
Resolución paso a paso:
Planteamos la condición de concentración mínima del $$99\%$$:
$$1 - \frac{1}{k^2} = 0.99 \implies \frac{1}{k^2} = 1 - 0.99 = 0.01 = \frac{1}{100}$$Despejamos $$k$$:
$$k^2 = 100 \implies k = 10$$Debemos abarcar un intervalo de $$\mu \pm 10\sigma$$ para asegurar con certeza universal (válida para cualquier distribución) que contiene al menos el $$99\%$$ de la probabilidad.