Una variable aleatoria continua $$X$$ es aquella capaz de asumir infinitos valores no numerables a lo largo de un intervalo continuo de la recta real $$\mathbb{R}$$ (como el tiempo, la masa, la longitud o la temperatura).
Función de densidad de probabilidad $$f(x)$$
En el dominio continuo, la probabilidad de que la variable tome un valor puntual exacto es nula: $$P(X = c) = 0$$ para cualquier constante $$c$$. La probabilidad se define exclusivamente sobre intervalos mediante el área bajo la curva de una función de densidad $$f(x)$$:
$$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$$Propiedades obligatorias de la función de densidad
- No negatividad: $$f(x) \ge 0$$ para todo $$x \in \mathbb{R}$$.
- Área total unitaria: La integral en todo el dominio es la certeza absoluta: $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$$
- Indiferencia de extremos en intervalos: Como la probabilidad puntual es cero: $$P(a \le X \le b) = P(a < X \le b) = P(a \le X < b) = P(a < X < b)$$
Función de distribución acumulada $$F(x)$$
Mide la probabilidad acumulada desde $$-\infty$$ hasta la cota $$x$$:
$$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$$Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si $$f(t)$$ es continua, la derivada de la función de distribución coincide con la función de densidad: $$F'(x) = f(x)$$.
Parámetros de la distribución continua
- Media o Esperanza: $$\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x)\,dx$$
- Varianza: $$\sigma^2 = \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,dx = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,dx\right) - \mu^2$$
Dada la función de densidad continua $$f(x) = \frac{1}{2}x$$ definida para $$x \in [0, 2]$$ y $$f(x) = 0$$ en el resto:
1) Área total bajo la curva (Certeza unitaria):
2) Cálculo de probabilidad en un subintervalo:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Sea la función $$f(x) = c(2 - x)$$ definida en el intervalo $$[0, 2]$$, y cero fuera de él. Halla la constante $$c$$ y calcula $$P(X < 1)$$.
Resolución paso a paso:
1) Calculamos $$c$$ forzando que la integral total sea 1:
$$\int_0^2 c(2 - x)\,dx = 1 \implies c \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = c\left( 4 - 2 \right) = 2c = 1 \implies c = \frac{1}{2}$$Por tanto, la función de densidad en $$[0, 2]$$ es $$f(x) = \frac{2-x}{2} = 1 - \frac{x}{2}$$.
2) Calculamos la probabilidad $$P(X < 1)$$:
$$P(X < 1) = \int_0^1 \left(1 - \frac{x}{2}\right)\,dx = \left[ x - \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$$Una variable $$X$$ sigue una distribución uniforme continua en el intervalo $$[2, 6]$$, con $$f(x) = \frac{1}{4}$$. Calcula su media y su desviación típica.
Resolución paso a paso:
1) Esperanza matemática $$\mu$$:
$$\mu = \int_2^6 x \left(\frac{1}{4}\right)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^6 = \frac{1}{8}(36 - 4) = \frac{32}{8} = 4$$2) Momento de segundo orden $$E[X^2]$$:
$$E[X^2] = \int_2^6 x^2 \left(\frac{1}{4}\right)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^6 = \frac{1}{12}(216 - 8) = \frac{208}{12} = \frac{52}{3} \approx 17.333$$3) Varianza y desviación típica:
$$\sigma^2 = \frac{52}{3} - 4^2 = \frac{52}{3} - 16 = \frac{4}{3} \approx 1.333 \implies \sigma = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$$Dada la función de densidad $$f(x) = \frac{1}{8}x$$ para $$x \in [0, 4]$$, halla su función de distribución $$F(x)$$ y la mediana (valor $$M$$ tal que $$F(M) = 0.5$$).
Resolución paso a paso:
1) Función de distribución acumulada $$F(x)$$ para $$x \in [0, 4]$$:
$$F(x) = \int_0^x \frac{1}{8}t\,dt = \left[\frac{t^2}{16}\right]_0^x = \frac{x^2}{16}$$Definida a trozos completa:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{x^2}{16} & \text{si } 0 \le x \le 4 \\ 1 & \text{si } x > 4 \end{cases}$$2) Mediana $$M$$ que divide la probabilidad acumulada al 50%:
$$F(M) = 0.5 \implies \frac{M^2}{16} = 0.5 \implies M^2 = 8 \implies M = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.8284$$