2.2.7 Vectores ortogonales y ortonormales
Condición analítica de ortogonalidad, conjuntos ortonormales y proceso de ortonormalización en el espacio euclídeo R3.
1. Definición de Ortogonalidad y Ortonormalidad
Dos vectores $$\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3$$ son ortogonales (perpendiculares, $$\vec{u} \perp \vec{v}$$) si su producto escalar es nulo:
Un conjunto de vectores $$\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$$ es ortonormal si son ortogonales dos a dos y además todos ellos son unitarios:
Consideremos los siguientes tres vectores en $$\mathbb{R}^3$$:
Comprobamos que son ortogonales dos a dos:
Y todos tienen módulo unitario: $$|\vec{e}_1|=1$$, $$|\vec{e}_2|=\sqrt{1/2+1/2}=1$$, $$|\vec{e}_3|=1$$. Por tanto, forman una base ortonormal de $$\mathbb{R}^3$$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla un vector no nulo perpendicular a $$\vec{u}=(1, 2, -3)$$.
$$x + 2y - 3z = 0$$
Tomando $$y=1, z=0 \implies x = -2$$. El vector $$\vec{v} = (-2, 1, 0)$$ es ortogonal a $$\vec{u}$$.
Enunciado: Comprueba que $$\vec{u}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$$ y $$\vec{u}_2=\left(0, 0, 1\right)$$ son ortonormales.
$$|\vec{u}_1| = \sqrt{1/2 + 1/2} = 1, \quad |\vec{u}_2| = 1$$
$$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 + 0 + 0 = 0 \implies \text{Son ortonormales}$$
Enunciado: Normaliza $$\vec{u}=(2, 2, 1)$$ y un vector perpendicular a él.
$$|\vec{u}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 \implies \vec{e}_1 = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$$