Colección de 40 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es $$ \frac{1}{3} $$ y la de que no ocurra ninguno de ellos es $$ \frac{1}{6} $$. Calcula $$ P(A) $$ y $$ P(B) $$.
Dados dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que $$ P(A)=\frac{4}{9} $$, $$ P(B)=\frac{1}{2} $$ y $$ P(A \cup B)=\frac{13}{18} $$. Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
Considera una urna con bolas numeradas del uno al siete. Extraemos dos bolas sin reemplazo. Sea A el suceso «que la suma de los números de las dos bolas sea impar» y B el suceso «que ambas bolas sean pares». Determina: a) La probabilidad de que A y B sean incompatibles. b) La probabilidad del suceso A unión B. c) La probabilidad del suceso A intersección B.
Un dado con las caras numeradas del 1 al 6 está trucado de modo que la probabilidad de obtener un número es directamente proporcional a dicho número. Tiramos el dado una vez. Halla la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió un número impar.
Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$. Calcula el rango de $$ A $$ dependiendo de los valores $$ \alpha $$.
En un club deportivo, el $$ 55\% $$ de los socios practica natación, el $$ 65\% $$ practica tenis, y el $$ 10\% $$ no practica ni natación ni tenis. Si el club tiene 1200 socios, ¿cuántos practicarían ambos deportes?
En un club deportivo, el $$ 55\% $$ de los socios practica natación, el $$ 65\% $$ practica tenis, y el $$ 10\% $$ no practica ni natación ni tenis. Tomando al azar una persona de este club que practique natación, calcula la probabilidad de que no juegue al tenis.
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul?
Dadas las probabilidades de tres sucesos distintos en un mismo espacio muestral, identifica el espacio muestral, define con claridad los sucesos y utiliza las operaciones básicas de unión, intersección y complementario.
Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?
Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
Considera la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{pmatrix} $$. Halla los valores del parámetro $$ m $$ para los que el rango de $$ A $$ es menor que $$ 3 $$.
Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un $$ 20\% $$ y un $$ 18\% $$ de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C,...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0,85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,15. Calcula la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript.
Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un $$ 20\% $$ y un $$ 18\% $$ de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C,...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0,85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,15. Calcula la probabilidad de que un desarrollador que está desempleado se haya especializado en Python o JavaScript.
En el enfermero de la doctora Martínez no se puede confiar, pues durante la ausencia del médico la probabilidad de que no le inyecte un suero a un enfermo es de 0,6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0,25. A su regreso, la Dra. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. Calcula la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero a este paciente.
Se estima que solo un $$ 20\% $$ de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el $$ 80\% $$ obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un $$ 10\% $$ obtiene beneficios. Calcula el porcentaje de los que obtienen beneficios comprando acciones en bolsa.
Se estima que solo un $$ 20\% $$ de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el $$ 80\% $$ obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un $$ 10\% $$ obtiene beneficios. Eligiendo una persona al azar, calcula la probabilidad de que no tenga conocimientos bursátiles y que no tenga beneficios al invertir en bolsa.
Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de $$ \frac{1}{3} $$, que la produzca el virus B es de $$ \frac{2}{3} $$, y que la produzca el virus C es de $$ \frac{1}{7} $$. Si elegimos al azar un tubo de ensayo e inoculamos el virus a un animal, calcula la probabilidad de que contraiga la enfermedad.
Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de $$ \frac{1}{3} $$, que la produzca el virus B es de $$ \frac{2}{3} $$, y que la produzca el virus C es de $$ \frac{1}{7} $$. Si se inocula el virus a un animal y contrae la enfermedad, calcula la probabilidad de que el virus que se ha inoculado sea del tipo C.
Considera las matrices $$ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix} $$. Calcula $$ B^2 $$ y $$ B^{2016} $$.
Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades: La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,95. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,95. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,05. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de que el test dé positivo.
Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades: La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,95. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,95. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,05. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.
Sea $$r$$ la recta definida por $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases}$$ y $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x - y = 1 \\ z = -1 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.
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El $$ 60\% $$ de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el $$ 25\% $$ en Madrid y el resto en Lisboa. El $$ 1\% $$ de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del $$ 0,5\% $$ y del $$ 2\% $$, respectivamente. Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
El $$ 60\% $$ de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el $$ 25\% $$ en Madrid y el resto en Lisboa. El $$ 1\% $$ de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del $$ 0,5\% $$ y del $$ 2\% $$, respectivamente. Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
De una baraja española (40 cartas) Carlos y Paula extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas, Paula da dos cartas a Carlos y posteriormente una para ella. Calcula la probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
Encuentra la matriz $$ X || equis mayúscula || $$ que satisface la ecuación $$ XA + A^3B = A || equis mayúscula por a mayúscula, más a mayúscula al cubo por ve mayúscula, es igual a a mayúscula || $$, siendo
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} || a mayúscula es igual a la matriz fila uno, cero, cero, uno, fila dos, cero, uno, cero, fila tres, uno, cero, cero || $$
y
$$ B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} || ve mayúscula es igual a la matriz fila uno, dos, menos uno, cero, fila dos, cero, dos, menos uno, fila tres, menos uno, cero, dos || $$
{"__escalate__ are missing: "reason": "Missing required fields: fire_event, action_type"} **es
Se estudia una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad en un grupo de 200000 personas a las que se ha sometido a dicha prueba y de los que el $$ 0,5\% $$ están enfermos. Se ha observado que de los enfermos ha dado negativo a 50 personas y, de las sanas, le ha dado positivo a 19900. Si se escoge al azar una de estas personas sometidas a la prueba diagnóstica, calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
El enunciado del ejercicio no aparece en tu mensaje. El campo "
En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV: $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Coches} & \text{Motos} \\ \hline \text{Aptos} & 116.383 & 160.667 \\ \hline \text{No Aptos} & 2.679 & 3.447 \\ \hline \end{array} $$ Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?
¿Puedes proporcionar el enunciado completo del ejercicio? Solo veo la solución/pista, pero no el enunciado con las locuciones ni el contenido completo para poder identificar si hay información superflua.
Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de $$29\%$$, $$51\%$$ y $$20\%$$. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes $$18\%$$, $$31\%$$ y $$11\%$$, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de $$29\%$$, $$51\%$$ y $$20\%$$. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes $$18\%$$, $$31\%$$ y $$11\%$$, respectivamente. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?
Para resolver este problema de probabilidad, primero identificamos el **espacio muestral** y los **sucesos** involucrados: **Espacio muestral (Ω):** Conjunto de todos los estudiantes de la población. **Sucesos:** - **F:** Estudiar futbol → P(F) = 0.6 - **B:** Estudiar baloncesto → P(B) = 0.4 --- ## a) P(Fútbol ∪ Baloncesto) - Probabilidad de que estudien futbol O baloncesto (o ambos) Usamos la **fórmula de la unión**: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ Sin embargo, el problema **no proporciona** P(F ∩ B), por lo que **no podemos calcular un valor numérico exacto**. La expresión es: $$P(F \cup B) = 0.6 + 0.4 - P(F \cap B) = 1 - P(F \cap B)$$ --- ## b) P(Fútbol ∩ Baloncesto) - Probabilidad de que estudien futbol Y baloncesto El problema **no proporciona** esta información directamente. **Si asumimos que los sucesos son independientes** (no se menciona en el enunciado, pero es una suposición común): $$P(F \cap B) = P(F) \times P(B) = 0.6 \times 0.4 = \boxed{0.24}$$ **Sin esa suposición**, no hay información suficiente para calcularlo. --- ## c) P(Fútbol' ∩ Baloncesto') - Probabilidad de que NO estudien futbol Y NO estudien baloncesto Usamos la propiedad de los complementarios y De Morgan: $$P(F' \cap B') = P((F \cup B)') = 1 - P(F \cup B)$$ Si asumimos independencia: $$P(F' \cap B') = 1 - 0.76 = \boxed{0.24}$$ **En general:** $$P(F' \cap B') = 1 - P(F \cup B) = 1 - (1 - P(F \cap B)) = P(F \cap B)$$ --- ## Resumen | Parte | Fórmula | Valor (con independencia) | |-------|---------|--------------------------| | a) | $P(F \cup B) = 1 - P(F \cap B)$ | 0.76 | | b) | $P(F \cap B) = ?$ | 0.24 | | c) | $P(F' \cap B') = 1 - P(F \cup B)$ | 0.24 | **Nota:** Para obtener respuestas numéricas definitivas, el problema necesitaría proporcionar P(F ∩ B) o declarar explícitamente que los sucesos son independientes.
Parece que el enunciado del ejercicio está vacío o no se ha incluido en tu mensaje. Solo veo el encabezado `
Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay $$2$$ monedas de oro y $$3$$ monedas de plata. En la segunda hay $$6$$ monedas de oro y $$3$$ de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa. Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.
Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay $$2$$ monedas de oro y $$3$$ monedas de plata. En la segunda hay $$6$$ monedas de oro y $$3$$ de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa. Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.