1.2.1 Propiedades de los determinantes · Teoría y Ejemplos

1. Concepto y Notación de Determinante

El determinante es un valor numérico escalar que se asocia de forma unívoca a toda matriz cuadrada. Dada una matriz de orden $$n$$, $$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$$, su determinante se denota como $$\det(A)$$ o encerrando sus elementos entre dos barras verticales $$|A|$$.

Los determinantes constituyen una herramienta algebraica decisiva para estudiar la independencia lineal de vectores, calcular la matriz inversa y clasificar y resolver sistemas de ecuaciones lineales.

💡 Condición indispensable

Únicamente las matrices cuadradas poseen determinante. Las matrices rectangulares con $$m \neq n$$ no admiten determinante.

📌 Ejemplo Concreto de Notación de un Determinante:

Dada la matriz cuadrada de orden 3:

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \\ -1 & 6 & 2 \end{pmatrix}

Su determinante no es una tabla de coeficientes, sino un único valor numérico escalar real que se expresa sustituyendo los paréntesis por barras verticales:

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \\ -1 & 6 & 2 \end{vmatrix}

2. Propiedades de Nulidad e Invarianza por Trasposición

Propiedad 1: Invarianza ante la trasposición

El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta:

$$|A| = |A^t|$$

Consecuencia vital: Toda propiedad que sea válida para las filas de un determinante también lo es de manera idéntica para sus columnas.

📌 Ejemplo Concreto de Invarianza ante la Trasposición:

Consideremos una matriz cuadrada $$A$$ cuyo determinante vale $$|A| = 7$$. Su matriz traspuesta $$A^t$$ se obtiene intercambiando ordenadamente sus filas por columnas:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

Por la Propiedad 1, sin necesidad de calcular ninguna operación adicional, se cumple rigurosamente:

$$|A^t| = |A| = 7$$

Propiedad 2: Línea de ceros

Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero, el determinante vale cero:

\begin{vmatrix} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ d & e & f \end{vmatrix} = 0

📌 Ejemplo Concreto de Línea Nula:

Consideremos el siguiente determinante de orden 3 donde la segunda fila está compuesta íntegramente por ceros ($$F_2 = (0, 0, 0)$$):

|M| = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & -1 \end{vmatrix} = 0

Por poseer una línea de ceros, su valor numérico es nulo de forma inmediata sin necesidad de realizar ningún desarrollo algebraico.

Propiedad 3: Líneas iguales o proporcionales

Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) idénticas o proporcionales, su determinante es nulo:

F_i = k \cdot F_j \implies |A| = 0

📌 Ejemplo Concreto de Filas Proporcionales:

Observemos el siguiente determinante donde la tercera fila es el triple exacto de la primera ($$F_3 = 3 \cdot F_1$$):

\begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 7 & 0 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \end{vmatrix} = 0

Al verificarse $$F_3 = 3 \cdot (1, 4, -2) = (3, 12, -6)$$, el determinante se anula automáticamente por proporcionalidad directa.

Propiedad 4: Línea combinación lineal de otras

Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (o columnas) paralelas, el valor del determinante es cero:

F_3 = \alpha F_1 + \beta F_2 \implies |A| = 0

📌 Ejemplo Concreto de Combinación Lineal:

Consideremos el determinante cuyas filas verifican la relación lineal $$F_3 = F_1 + F_2$$:

F_1 = (1, 2, 3), \quad F_2 = (2, -1, 1) \implies F_3 = (1+2, \; 2-1, \; 3+1) = (3, 1, 4)

Disponiendo estas filas en el determinante:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 0

Como las filas son linealmente dependientes, el determinante es exactamente cero sin necesidad de cálculo numérico.

3. Propiedades Operacionales y Linealidad

Propiedad 5: Intercambio de dos líneas

Si se permutan entre sí dos filas (o dos columnas) contiguas o no, el determinante cambia de signo, pero conserva su valor absoluto:

F_i \leftrightarrow F_j \implies |A'| = -|A|

📌 Ejemplo Concreto de Intercambio de Filas:

Si sabemos que un determinante $$|A|$$ tiene valor escalar $$|A| = 15$$:

|A| = \begin{vmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{vmatrix} = 15

Si permutamos entre sí la primera y la segunda fila ($$F_1 \leftrightarrow F_2$$), el nuevo determinante $$|A'|$$ cumple:

|A'| = \begin{vmatrix} F_2 \\ F_1 \\ F_3 \end{vmatrix} = -|A| = -15

Propiedad 6: Multiplicación de una línea por un escalar

Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número real $$k$$, el determinante queda multiplicado por dicho número:

\begin{vmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = k \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

⚠️ ¡Cuidado con la multiplicación global!

Si multiplicamos toda la matriz $$A$$ de orden $$n$$ por un escalar $$k$$, cada una de sus $$n$$ filas queda multiplicada por $$k$$. En consecuencia:

|k \cdot A| = k^n \cdot |A|

Esta relación es fundamental y muy recurrente en exámenes de la EBAU.

📌 Ejemplo Concreto de Multiplicación por Escalar:

Sea una matriz $$A$$ de orden $$n = 3$$ cuyo determinante es $$|A| = 4$$.

Si multiplicamos únicamente su primera fila por el número $$5$$, el nuevo determinante resultante vale: $|A'| = 5 \cdot |A| = 5 \cdot 4 = 20$
Si multiplicamos toda la matriz por el escalar $$2$$, al ser de orden $$n = 3$$, el determinante queda multiplicado por $$2^3 = 8$$: $|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot 4 = 32$

Propiedad 7: Descomposición aditiva respecto a una línea

Si los elementos de una línea se expresan como suma de dos sumandos, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes:

\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}

Nota: ¡Atención! En general, $$|A + B| \neq |A| + |B|$$.

📌 Ejemplo Concreto de Descomposición Aditiva:

Podemos desglosar la primera columna de un determinante como suma de dos términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 + x & 5 \\ 4 + y & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & 5 \\ y & 1 \end{vmatrix}

Nótese que la segunda columna se conserva exactamente igual en ambos determinantes resultantes.

Propiedad 8: Adición de combinaciones lineales (Método del pivote)

Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un número real, el valor del determinante no varía:

F_i \leftarrow F_i + k \cdot F_j \implies |A'| = |A|

📌 Ejemplo Concreto de Invarianza por Combinación Lineal (Hacer ceros):

Consideremos el determinante:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix}

Si a la segunda fila le restamos el doble de la primera ($$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$$), el determinante conserva exactamente su valor:

$$F_2 - 2F_1 = (2, 5, 1) - (2, 6, 4) = (0, -1, -3)$$

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix}

Esta propiedad es la base fundamental del método de Gauss para calcular determinantes triangulando la matriz.

4. Determinante del Producto y de la Inversa

Propiedad 9: Determinante del producto matricial

Dadas dos matrices cuadradas $$A$$ y $$B$$ del mismo orden, el determinante de su producto es igual al producto de sus determinantes:

|A \cdot B| = |A| \cdot |B|

📌 Ejemplo Concreto de Determinante del Producto:

Sean dos matrices cuadradas $$A$$ y $$B$$ con determinantes conocidos $$|A| = -3$$ y $$|B| = 5$$:

|A \cdot B| = |A| \cdot |B| = (-3) \cdot 5 = -15

Por extensión, para la potencia de una matriz cuadrada: $$|A^3| = |A|^3 = (-3)^3 = -27$$.

Propiedad 10: Determinante de la matriz inversa

Una matriz $$A$$ posee inversa si y solo si su determinante es no nulo ($$|A| \neq 0$$). Como $$A \cdot A^{-1} = I$$ y $$|I| = 1$$, se deduce directamente:

|A \cdot A^{-1}| = |A| \cdot |A^{-1}| = 1 \implies |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

📌 Ejemplo Concreto de Determinante de la Matriz Inversa:

Si una matriz cuadrada $$M$$ tiene determinante $$|M| = -\frac{2}{5}$$:

Como $$|M| \neq 0$$, la matriz es regular (admite inversa $$M^{-1}$$) y su determinante es el inverso recíproco:

|M^{-1}| = \frac{1}{|M|} = \frac{1}{-2/5} = -\frac{5}{2} = -2{,}5

Ejemplo 1 · Matriz de Orden 3 × 3

Cálculo indirecto de determinantes usando propiedades algebraicas

Sea una matriz cuadrada $$A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$$ cuyo determinante es $$|A| = 5$$. Calcula:

a)\ |2A| \qquad b)\ |A^{-1}| \qquad c)\ |A^t \cdot A|

Paso 1: Aplicar la propiedad del escalar $$|k \cdot A| = k^n |A|$$

Dado que la dimensión es $$n = 3$$ y el escalar es $$k = 2$$:

|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot 5 = 40

Paso 2: Aplicar la propiedad de la matriz inversa

|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{5} = 0{,}2

Paso 3: Aplicar el determinante del producto y la traspuesta

|A^t \cdot A| = |A^t| \cdot |A| = |A| \cdot |A| = 5 \cdot 5 = 25

Ejemplo 2 · Matriz Cuadrada de Orden 3 × 3

Detección analítica de determinante nulo por combinación lineal

Comprueba sin desarrollar por fórmulas completas que el determinante de la siguiente matriz es nulo:

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 7 \end{pmatrix}

Paso 1: Análisis de las filas para buscar dependencia lineal

Examinamos la relación entre las filas $$F_1 = (1, 2, 3)$$, $$F_2 = (2, -1, 1)$$ y $$F_3 = (4, 3, 7)$$.

Probamos la combinación lineal $$2F_1 + F_2$$:

2 \cdot F_1 + F_2 = 2 \cdot (1, 2, 3) + (2, -1, 1) = (2, 4, 6) + (2, -1, 1) = (4, 3, 7) = F_3

Paso 2: Justificación teórica

Puesto que la tercera fila es combinación lineal exacta de las dos primeras ($$F_3 = 2F_1 + F_2$$), por la Propiedad 4 de los determinantes se concluye de forma directa e inmediata:

$$|M| = 0$$

Ejemplo 3 · Matriz Triangular Superior de Orden 4 × 4

Determinante de una matriz triangular y efecto de operaciones elementales

Calcula el determinante de la siguiente matriz triangular superior:

T = \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 & 7 \\ 0 & -2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Paso 1: Aplicar la propiedad del determinante triangular

En toda matriz triangular (superior o inferior) o diagonal, el determinante es exactamente igual al producto de los elementos de su diagonal principal:

|T| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot a_{44}

Paso 2: Realizar el producto directo

|T| = 3 \cdot (-2) \cdot 4 \cdot (-1) = 24

El valor del determinante de orden 4 es exactamente 24 sin necesidad de realizar desarrollos complejos.

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