Ejercicios Resueltos 3.11 Integrales indefinidas

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (1 + x) \cdot e^x $$. Calcula $$ \int f(x) dx $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (1 + x) \cdot e^x $$. Calcula una primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pase por el punto $$ (0, 3) $$.

Sea $$ \ln(x) $$ y sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2} $$. Usa el cambio de variable $$ t = \ln(x) $$ para calcular una primitiva de $$ f $$.

Calcula una primitiva de la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \frac{2x^2+10x}{x^2+2x-3} $$ para $$ x \neq 1 $$ y $$ x \neq -3 $$.

Calcula la primitiva de la función $$ f(x) = \ln(1-x^2) $$ que pasa por el punto $$ (0,1) $$.

Sea $$ f: (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = (x-1)\cdot \ln x $$. Calcula la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ \left(1, -\frac{3}{2}\right) $$.

De la función $$ f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} $$ y que $$ f(2) = 0 $$. Determina $$ f $$.

De la función $$ f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} $$ y que $$ f(2) = 0 $$. Halla la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por $$ (0,1) $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = (x^2 - 1)e^x $$. Calcula la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (1, e^2) $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^2 \sin(2x) $$. Calcula la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (0,1) $$.

Calcula la integral $$ \int \cos(5x + 1) dx $$.

De una función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(0) = 2 $$ y que $$ f'(x) = 2x $$. Determina $$ f $$.

Calcula $$ \int \frac{x e^x}{(x+1)^2} dx $$.

Sea $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función tal que su función derivada viene dada por $$ f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases} $$. Determina la expresión de $$ f $$ sabiendo que $$ f(1) = \frac{16}{3} $$.

Dada la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=\ln(1+x^2)$$, halla la primitiva de $$f$$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano).

Sea $$I = \int \frac{2}{2-e^x} dx$$. Expresa $$I$$ haciendo el cambio de variable $$t = e^x$$.

Sea $$I = \int \frac{2}{2-e^x} dx$$. Calcula $$I$$.

Calcula $$\int \frac{3x+4}{x^2+1} dx$$

Considera las funciones $$ f : \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^3 x} $$ y $$ g(x) = x^3 \ln x $$. Halla la primitiva de $$ f $$ que toma el valor $$ 1 $$ cuando $$ x = \frac{\pi}{3} $$. (Se puede hacer el cambio de variable $$ t = \cos x $$).

Considera las funciones $$ f : \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^3 x} $$ y $$ g(x) = x^3 \ln x $$. Calcula $$ \int g(x) dx $$.

Calcula $$\int x \cdot \text{sen}(x) \, dx$$.

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{4 - 9x^4}}$$. Halla la primitiva $$F$$ de $$f$$ que cumple $$F(0) = 3$$. (Sugerencia: utiliza el cambio de variable $$t = \frac{3}{2}x^2$$).

Sea $$ f: (-2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \ln(x + 2) $$. Halla una primitiva $$ F $$ de $$ f $$ que verifique $$ F(0) = 0 $$. ( $$ \ln $$ denota logaritmo neperiano).

Sea la función $$ f $$ dada por $$ f(x) = \frac{1}{x^2 + x} $$ para $$ x \neq -1 $$ y $$ x \neq 0 $$. Determina una primitiva $$ F $$ de $$ f $$ tal que $$ F(1) = 1 $$.

Calcula $$ I = \int \frac{5}{1 + \sqrt{e^{-x}}} dx $$. Expresa $$ I $$ haciendo el cambio de variable $$ t^2 = e^{-x} $$.

Halla:

$$\int \frac{e^x}{(e^{2x}-1)(e^x+1)} dx$$

Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$t = e^x$$.

Determina la función $$f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ tal que $$f''(x) = \frac{1}{x}$$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $$P(1,1)$$.

Calcula:

$$\int \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2} dx$$

Sea $$f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = x(1 - \ln(x))$$, donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de $$f$$ cuya gráfica pasa por el punto $$P(1,1)$$.

Sea la función $$ f $$ definida por $$ f(x)=\frac{2}{x^2-1} $$ para $$ x \neq -1 $$ y $$ x \neq 1 $$. Halla una primitiva de $$ f $$.

Sea $$ f $$ la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=x^2\cos x $$. Determina la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (\pi,0) $$.

Sea la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=(1-x^2)e^{-x} $$. Determina la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (-1,0) $$.

Sea $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$g(x)=\ln(x^2+1)$$ (donde $$\ln$$ denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de $$g$$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Halla $$\int \frac{x+1}{1+\sqrt{x}}dx$$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $$t=\sqrt{x}$$.

Sea $$g:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}}$$. Determina la primitiva de $$g$$ cuya gráfica pasa por el punto $$P(1,0)$$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $$t=\sqrt{x}$$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = x\ln(x+1) $$ para $$ x > -1 $$ ($$ \ln $$ denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (1,0) $$.

Determina una función derivable $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ sabiendo que $$ f(1) = -1 $$ y que $$ f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} $$.

Sea $$ f : (-1,3) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x+9}{(x+1)(x-3)} $$. Determina la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (1,0) $$.

Calcula $$ \int \frac{dx}{2x(x+\sqrt{x})} $$. (Sugerencia: cambio de variable $$ t = \sqrt{x} $$).

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x \cdot \cos x $$. Calcula la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (0,0) $$.

Calcula $$ \int \frac{-x^2}{x^2+x-2} dx $$

Determina la función $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ sabiendo que $$ f''(x) = \ln(x) $$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $$ P(1,2) $$.

Calcula $$ \int \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} $$ (Sugerencia $$ \sqrt{x+2} = t $$)

Calcula $$ \int e^{2x} sen(x) dx $$

Determina la función $$f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$$ sabiendo que $$f''(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=2$$ es $$y=x+2$$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} $$ para $$ x \neq 0 $$ y $$ x \neq 1 $$ y sea $$ F $$ la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ P(2,\ln2) $$. Determina la función $$ F $$.

Considera la función $$f$$ dada por $$f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}$$ para $$x > 0$$. Halla todas las primitivas de $$f$$.

Considera la función $$f$$ dada por $$f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}$$ para $$x > 0$$. Determina la primitiva de $$f$$ que toma el valor $$3$$ para $$x = 1$$.

Calcula $$\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}} dx$$ (sugerencia: $$t = \sqrt{2x+1}$$).

Determina la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ tal que $$f''(x) = -2\operatorname{sen} 2x$$ , $$f(0) = 1$$ y $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$.

Calcula $$\int \frac{x}{1+\sqrt{x}} dx$$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $$t = \sqrt{x}$$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \arctan(x) $$. Determina la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (0,\pi) $$.

Sea $$ f $$ la función definida como $$ f(x) = (x+2)\ln(x) $$ para $$ x>0 $$, donde $$ \ln(x) $$ representa al logaritmo neperiano de $$ x $$. Encuentra la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pasa por el punto $$ (1,0) $$.

Halla $$ \int \frac{x^2}{(1+x^3)^{\frac{3}{2}}} dx $$ (sugerencia $$ t=1+x^3 $$).

Halla la primitiva de la función $$ f(x) = \frac{x^2}{(1+x^3)^{\frac{3}{2}}} $$ cuya gráfica pasa por $$ (2,0) $$.

Determina la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ tal que $$ f''(x) = x \cdot e^x $$, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en $$ x=1 $$.

Sea $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$. Calcula $$\int f(x) dx$$.

Sea $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$. Encuentra la primitiva de $$f$$ cuya gráfica pasa por el punto $$(0,1)$$.

Sea la función $$f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ definida por: $$f(x)=\frac{1+e^x}{1-e^x}$$. Halla la primitiva de $$f$$ cuya gráfica pasa por el punto $$(1,1)$$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$t=e^x$$)

Calcula $$\int \ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) dx$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano).

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x)=\frac{x^4}{x^2-1}$$ para $$x\neq 1,-1$$. Halla todas las funciones primitivas de $$f$$.

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x)=\frac{x^4}{x^2-1}$$ para $$x\neq 1,-1$$. Calcula la primitiva que pasa por $$(2,0)$$.

Determina la función $$f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $$f'(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de $$f$$ pasa por el punto $$(1,0)$$.

Sea $$f$$ la función dada por: $$f(x)=\frac{3x^2+4}{(x-2)^2}$$ para $$x \neq 2$$. Calcula $$\int f(x) dx$$.

Sea $$f$$ la función dada por: $$f(x)=\frac{3x^2+4}{(x-2)^2}$$ para $$x \neq 2$$. Calcula la primitiva de $$f$$ que pasa por el punto $$(3,5)$$.

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x)=\frac{-x^3+2x-3}{x^2-x}$$ para $$x \neq 0$$, $$x \neq 1$$. Halla la primitiva de $$f$$ cuya gráfica pasa por el punto $$(2,3\ln 2)$$, donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano.

Calcula $$\int \ln(x^2+2x+2) dx$$ donde $$\ln$$ denota logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$t=x+1$$).

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(t)=\frac{1}{1+e^t}$$. Calcula $$\int f(t) dt$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$x=1+e^t$$).

Calcula $$\int \cos(\ln x) dx$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$ (para $$ x \neq -1 $$, $$ x \neq 1 $$). Halla una primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pase por el punto $$ (2, 4) $$.

Considera la función $$ f $$ definida por: $$ f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Halla una primitiva de $$ f $$ que pase por el punto $$ (2,6) $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x \cdot \text{sen}(2x) $$. Halla la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica pase por el punto $$ (0,0) $$.

Calcula $$ \int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx $$.

Considera la función $$f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \cos(\sqrt{x})$$. Calcula, si es posible, una primitiva de $$f$$ cuya gráfica pase por el punto $$(0,5)$$. Sugerencia: haz el cambio $$\sqrt{x} = t$$.

Calcula una primitiva de la función $$f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \text{arc tg}(\sqrt{x})$$ cuya gráfica pase por el punto $$(0,1)$$ ($$\text{arc tg}$$ denota la función arco tangente). Sugerencia: efectúa el cambio $$x = t^2$$.

Considera la función $$f$$ definida por $$f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$$, para $$x \neq -1$$, $$x \neq 1$$. Calcula una primitiva de $$f$$ cuya gráfica pase por el punto $$(0,1)$$.

Halla la función $$f : (2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ que pasa por el punto $$(3, -4 \ln 5)$$ y verifica $$f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}$$ donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano.

Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (x^2 - 3x + 5) \cdot e^x$$. Halla una primitiva de $$f$$ cuya gráfica pase por el punto $$(0, 5)$$.

Calcula $$\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}}$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$t = \sqrt{1 + e^x}$$).

Calcula una primitiva de la función $$f : (1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por: $$f(x) = (x-1)^2 \ln \frac{\sqrt{x-1}}{2}$$ cuya gráfica pase por el punto $$(5, -\frac{7}{2})$$, donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$x-1 = t^2$$).

Calcula $$\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx$$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$t = e^x$$).

Halla la función $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, que pasa por los puntos $$(2, e - 2 - 2\ln(2))$$ y $$(1,0)$$ y que verifica que $$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}$$.

Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+1}$$. Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto $$(0, 5)$$.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}$$. Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto $$(0,\frac{\pi}{4})$$.

Sea la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2$$, donde $$a > 0$$ es un parámetro. Determina el valor de $$a$$ para que exista una primitiva de $$f(x)$$ cuya grafica pase por los puntos $$(0,0)$$ y $$(a,e+1)$$. Calcula dicha primitiva.

Dada la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \frac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x} $$, halla la primitiva de $$ f $$ cuya gráfica tiene por tangente a la recta $$ y = 2x + 12\ln 2 $$ en el punto de abscisa $$ x = 0 $$. (Sugerencia: puedes hacer el cambio $$ e^x = t $$)

Determina una función f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} sabiendo que su derivada viene dada por f'(x) = x^2 + x - 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).

Sabiendo que $$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por: $$F(x) = e^{x^2}$$ es una primitiva de $$f$$. Comprueba que $$f$$ es creciente.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{\ln(x)}{2x} $$ para $$ x > 0 $$ y sea $$ F $$ la primitiva de $$ f $$ tal que $$ F(1) = 2 $$. Calcula $$ F'(e) $$.