6.2 6.2.3 Series de potencias de algunas funciones elementales

ci-6-2-3 6.2.3 Series de potencias de algunas funciones elementales

Una función $ f: D \to \mathbb{R} $ se dice que es analítica en un punto $ x_0 $ si coincide exactamente con su serie de Taylor en un entorno abierto de dicho punto:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \quad \forall x \in (x_0 - R, x_0 + R) $$

Esto equivale formalmente a que el resto de Taylor tienda a cero cuando el orden tiende a infinito: $ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 $

Teoremas Fundamentales de Derivación e Integración de Series de Potencias:

En el interior de su intervalo de convergencia $ |x - x_0| < R $, la función suma $ S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n $ es infinitamente derivable ($ C^\infty $) y se comporta con la misma sencillez que un polinomio ordinario:

Derivación término a término

$$ S'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x - x_0)^{n-1} \quad \forall |x - x_0| < R $$

La serie derivada conserva exactamente el mismo radio de convergencia $ R $

Integración término a término

$$ \int_{x_0}^x S(t) dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (x - x_0)^{n+1} \quad \forall |x - x_0| < R $$

La serie integrada conserva exactamente el mismo radio de convergencia $ R $

Tabla de desarrollos en series de potencias analíticas completas:

Exponencial: $$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad (R = \infty) $$

Seno: $$ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \quad (R = \infty) $$

Coseno: $$ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \quad (R = \infty) $$

Seno hiperbólico: $$ \sinh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (R = \infty) $$

Coseno hiperbólico: $$ \cosh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (R = \infty) $$

Geométrica: $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (R = 1) $$

7. Logaritmo natural: $$ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad (R = 1, \; x \in (-1, 1]) $$

8. Arcotangente: $$ \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad (R = 1, \; x \in [-1, 1]) $$

📝 Ejemplo: de derivación término a término: A partir de la serie geométrica $ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n $ para $ |x| < 1 $, derivamos respecto a $ x $:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - x}\right) = \frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots $$

con el mismo radio de convergencia $ R = 1 $

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Obtener el desarrollo en serie de potencias centrada en el origen de la función racional:

$$ f(x) = \frac{1}{2 - 3x} $$

especificando su término general, su radio y su intervalo de convergencia.

👉 PASO 1

Factorizamos el número 2 en el denominador para adaptar la expresión al modelo de la serie geométrica $ \frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^\infty u^n $:

$$ f(x) = \frac{1}{2\left(1 - \frac{3}{2}x\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3x}{2}} $$

👉 PASO 2

Identificamos la razón de la progresión geométrica:

$$ u = \frac{3x}{2} $$

👉 PASO 3

Sustituimos en la serie geométrica:

$$ f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3x}{2}\right)^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n} x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^{n+1}} x^n $$

👉 PASO 4

Determinamos el radio de convergencia exigiendo que la razón geométrica sea en valor absoluto menor que 1:

$$ |u| < 1 \implies \left|\frac{3x}{2}\right| < 1 \implies |x| < \frac{2}{3} $$

Por tanto, el radio de convergencia es:

$$ R = \frac{2}{3} $$

👉 PASO 5

Determinamos el intervalo de convergencia:

Como es una serie geométrica, en los extremos $ x = \pm 2/3 $ el término general no tiende a cero, por lo que diverge.

El intervalo es el intervalo abierto:

$$ \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) $$

✅ Conclusión

La serie de potencias es $$ \frac{1}{2 - 3x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^{n+1}} x^n $$ con radio de convergencia $ R = \frac{2}{3} $ e intervalo $ \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) $

📝 Ejemplo 2 Hallar el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de la función:

$$ f(x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = 2 \operatorname{argtanh}(x) $$

y calcular a partir de él la serie numérica para el logaritmo natural de 2.

👉 PASO 1

Utilizamos las propiedades de los logaritmos para descomponer el cociente en una resta:

$$ f(x) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x) $$

👉 PASO 2

Escribimos las series de potencias conocidas de cada término para $ |x| < 1 $:

- Para $ \ln(1 + x) $:

$$ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \dots $$

- Para $ \ln(1 - x) $:

$$ \ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \dots $$

👉 PASO 3

Restamos ambas series término a término:

$$ f(x) = \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots \right) - \left( -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots \right) $$

Observamos que todos los términos de grado par se cancelan exactamente ($$ -\frac{x^{2k}}{2k} - (-\frac{x^{2k}}{2k}) = 0 $$), mientras que los términos impares se duplican:

$$ f(x) = 2x + 2\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^5}{5} + \dots = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \quad (|x| < 1) $$

👉 PASO 4

Para calcular $ \ln(2) $, igualamos el argumento a 2:

$$ \frac{1 + x}{1 - x} = 2 \implies 1 + x = 2 - 2x \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} $$

Como $ |1/3| < 1 $, pertenece al intervalo de convergencia.

👉 PASO 5

Sustituimos $ x = 1/3 $ en la serie:

$$ \ln(2) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} \left(\frac{1}{3}\right)^{2k+1} = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{5 \cdot 3^5} + \frac{1}{7 \cdot 3^7} + \dots \right) $$

Calculando solo los tres primeros términos:

$$ \ln(2) \approx 2\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{81} + \frac{1}{1215}\right) = 2(0.33333 + 0.01235 + 0.00082) = 2(0.34650) = 0.6930 $$

✅ Conclusión

La serie es $$ \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} $$ con radio $ R = 1 $

📝 Ejemplo 3 Calcular el desarrollo en serie de potencias de la integral no elemental del seno cardinal:

$$ \operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} dt $$

y determinar su radio de convergencia.

👉 PASO 1

Escribimos la serie de Maclaurin de la función seno:

$$ \sin(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} t^{2n+1} = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \dots $$

con radio de convergencia $ R = \infty $

👉 PASO 2

Dividimos entre $ t $ término a término para obtener la serie del integrando:

$$ \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} t^{2n} = 1 - \frac{t^2}{3!} + \frac{t^4}{5!} - \frac{t^6}{7!} + \dots $$

👉 PASO 3

Por el teorema de integración de series de potencias, integramos término a término entre 0 y $ x $:

$$ \operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \int_0^x t^{2n} dt $$

👉 PASO 4

Calculamos la integral de cada monomio:

$$ \int_0^x t^{2n} dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$

👉 PASO 5

Ensamblamos la serie de potencias de la función integral del seno:

$$ \operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)! (2n+1)} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3! \cdot 3} + \frac{x^5}{5! \cdot 5} - \frac{x^7}{7! \cdot 7} + \dots $$

👉 PASO 6

Determinamos el radio de convergencia:

Como la serie del integrando tiene radio $ R = \infty $, la serie integrada conserva exactamente el mismo radio: $ R = \infty $

✅ Conclusión

La serie de potencias converge para todo $ x \in \mathbb{R} $ y su expresión es $$ \operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(2n+1)} x^{2n+1} $$

📝 Ejemplo 4 Hallar el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de la función:

$$ f(x) = \frac{x}{(1 - x)^2} $$

y calcular la derivada de orden 10 evaluada en el origen, $ f^{(10)}(0) $

👉 PASO 1

Sabemos que la derivada de la serie geométrica $ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n $ es:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - x}\right) = \frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} \quad (|x| < 1) $$

👉 PASO 2

Multiplicamos toda la serie por $ x $:

$$ f(x) = x \cdot \frac{1}{(1 - x)^2} = x \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty n x^n \quad (|x| < 1) $$

Desarrollando los primeros términos:

$$ f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots + n x^n + \dots $$

👉 PASO 3

Por el Teorema de Taylor, el coeficiente del término $ x^n $ en una serie de potencias es exactamente:

$$ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $$

👉 PASO 4

Igualamos los coeficientes:

$$ a_n = n \implies \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = n \implies f^{(n)}(0) = n \cdot n! $$

👉 PASO 5

Para $ n = 10 $:

$$ f^{(10)}(0) = 10 \cdot 10! = 10 \cdot 3628800 = 36288000 $$

✅ Conclusión

La serie de potencias es $ \sum_{n=1}^\infty n x^n $ con $ R = 1 $, y el valor de la derivada décima en el origen es $ f^{(10)}(0) = 10 \cdot 10! = 36288000 $

📝 Ejemplo 5 Hallar la solución en serie de potencias de la ecuación diferencial lineal de Airy:

$$ y'' - x y = 0 \quad \text{con las condiciones iniciales } y(0) = 1, \; y'(0) = 0 $$

👉 PASO 1

Planteamos la solución en serie de potencias centrada en el origen:

$$ y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$

Por las condiciones iniciales: $ a_0 = y(0) = 1 $ y $ a_1 = y'(0) = 0 $

👉 PASO 2

Calculamos la segunda derivada derivando término a término:

$$ y''(x) = \sum_{n=2}^\infty n(n - 1) a_n x^{n-2} $$

👉 PASO 3

Calculamos el término $ x y(x) $:

$$ x y(x) = x \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} $$

👉 PASO 4

Igualamos la ecuación diferencial $ y'' = xy $ reindexando para que las potencias de $ x $ coincidan.

Escribimos explícitamente los primeros términos:

- $$ y''(x) = 2 \cdot 1 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \dots $$

- $$ x y(x) = a_0 x + a_1 x^2 + a_2 x^3 + a_3 x^4 + \dots $$

👉 PASO 5

Igualamos los coeficientes de potencias iguales:

- Término constante ($ x^0 $): $ 2 a_2 = 0 \implies a_2 = 0 $

- Potencia $ x^1 $: $$ 6 a_3 = a_0 \implies a_3 = \frac{a_0}{6} = \frac{1}{6} $$

- Potencia $ x^2 $: $ 12 a_4 = a_1 = 0 \implies a_4 = 0 $

- Potencia $ x^3 $: $ 20 a_5 = a_2 = 0 \implies a_5 = 0 $

- Potencia $ x^4 $: $$ 30 a_6 = a_3 \implies a_6 = \frac{a_3}{30} = \frac{1}{6 \cdot 30} = \frac{1}{180} $$

👉 PASO 6

Deducimos la ley de recurrencia general: solo los múltiplos de 3 son no nulos:

$$ a_{3k} = \frac{a_{3(k-1)}}{3k(3k - 1)} \quad \text{con } a_0 = 1 $$

✅ Conclusión

La solución analítica de la ecuación de Airy es la serie de potencias de radio infinito $$ y(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \dots + \frac{\prod_{j=1}^k \frac{1}{3j(3j-1)}}{(3k)!} x^{3k} + \dots $$