ci-6-1-3 6.1.3 Desarrollos limitados de algunas funciones elementales
El conocimiento de memoria de los desarrollos canónicos de Maclaurin en el entorno del origen (\( x \to 0 \)) es la herramienta de cálculo más potente de todo el cálculo infinitesimal universitario.
Tabla sistemática de desarrollos canónicos fundamentales de orden \( n \):
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n) $$
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} + o(x^{2m+2}) $$
$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m+1}) $$
$$ \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} + o(x^{2m+2}) $$
$$ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m+1}) $$
$$ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n) $$
$$ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) $$
$$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \dots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n) $$
donde $$ \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\dots(\alpha - k + 1)}{k!} $$
$$ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{2m+1} + o(x^{2m+2}) $$
$$ \arcsin(x) = x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^5}{5} + \dots + o(x^{2m+2}) $$
📝 Ejemplo: de serie binomial para raíz cuadrada: Desarrollar \( \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2} \) hasta orden 3
Tomamos \( \alpha = 1/2 \):
- Coeficiente de orden 1: \( \alpha = 1/2 \)
- Coeficiente de orden 2: $$ \frac{(1/2)(1/2 - 1)}{2} = \frac{(1/2)(-1/2)}{2} = -\frac{1}{8} $$
- Coeficiente de orden 3: $$ \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6} = \frac{3/8}{6} = \frac{1}{16} $$
Por tanto:
$$ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3) $$
A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:
📝 Ejemplo 1 Calcular el desarrollo de Maclaurin de orden 3 de la función recíproca de la raíz cuadrada:
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = (1 + x)^{-1/2} $$
y utilizarlo para aproximar el valor de \( \frac{1}{\sqrt{1.04}} \)
👉 PASO 1
Aplicamos la serie binomial generalizada con exponente \( \alpha = -\frac{1}{2} \):
$$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{6} x^3 + o(x^3) $$
👉 PASO 2
Calculamos cada coeficiente binomial:
- Para grado 1: \( \alpha = -\frac{1}{2} \)
- Para grado 2: $$ \frac{(-1/2)(-1/2 - 1)}{2} = \frac{(-1/2)(-3/2)}{2} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8} $$
- Para grado 3: $$ \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{6} = \frac{-15/8}{6} = -\frac{15}{48} = -\frac{5}{16} $$
👉 PASO 3
Ensamblamos el desarrollo limitado de orden 3:
$$ \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + o(x^3) $$
👉 PASO 4
Evaluamos en el punto \( x = 0.04 \):
$$ P_3(0.04) = 1 - \frac{1}{2}(0.04) + \frac{3}{8}(0.04)^2 - \frac{5}{16}(0.04)^3 $$
$$ = 1 - 0.02 + \frac{3}{8}(0.0016) - \frac{5}{16}(0.000064) = 1 - 0.02 + 0.0006 - 0.00002 = 0.98058 $$
👉 PASO 5
Comprobamos con el valor exacto:
$$ \frac{1}{\sqrt{1.04}} = \frac{1}{1.0198039} \approx 0.9805806756 $$
El error es menor que \( 10^{-6} \)
✅ Conclusión
El desarrollo es $$ \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{5x^3}{16} + o(x^3) $$ y la aproximación es \( 0.98058 \)
📝 Ejemplo 2 Calcular el desarrollo de Maclaurin de orden 5 de la función arcoseno \( f(x) = \arcsin(x) \) mediante la serie binomial de su derivada
👉 PASO 1
Sabemos que la derivada de \( \arcsin(x) \) es:
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2} $$
👉 PASO 2
Empleamos el desarrollo binomial calculado en el Ejemplo 1 para \( (1 + u)^{-1/2} \) sustituyendo \( u = -x^2 \) hasta orden 4:
$$ (1 + u)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}u + \frac{3}{8}u^2 + o(u^2) $$
Sustituyendo \( u = -x^2 \):
$$ (1 - x^2)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}(-x^2) + \frac{3}{8}(-x^2)^2 + o(x^4) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + o(x^4) $$
👉 PASO 3
Integramos término a término sabiendo que \( \arcsin(0) = 0 \):
$$ \arcsin(x) = \int_0^x \left[ 1 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{3}{8}t^4 + o(t^4) \right] dt $$
👉 PASO 4
Integramos cada monomio:
$$ \int_0^x 1 dt = x, \qquad \int_0^x \frac{1}{2}t^2 dt = \frac{x^3}{6}, \qquad \int_0^x \frac{3}{8}t^4 dt = \frac{3x^5}{40} $$
✅ Conclusión
El desarrollo limitado de orden 5 del arcoseno es $$ \arcsin(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) $$
📝 Ejemplo 3 Calcular el desarrollo de Maclaurin de orden 4 de la función par secante:
$$ f(x) = \sec(x) = \frac{1}{\cos x} $$
👉 PASO 1
Escribimos el desarrollo del coseno de orden 4:
$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = 1 - u \quad \text{con } u = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4) $$
👉 PASO 2
Aplicamos la serie geométrica \( \frac{1}{1 - u} = 1 + u + u^2 + o(u^2) \):
$$ u^2 = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \right)^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^4) $$
👉 PASO 3
Sumamos los términos reteniendo hasta orden 4:
$$ \sec(x) = 1 + \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \right) + \frac{x^4}{4} + o(x^4) = 1 + \frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{24} + \frac{6}{24}\right)x^4 + o(x^4) $$
$$ \sec(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4) $$
✅ Conclusión
El desarrollo limitado de orden 4 de la secante es $$ \sec(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4) $$
📝 Ejemplo 4 Calcular el desarrollo de Maclaurin de orden 5 de la función argumento seno hiperbólico \( f(x) = \operatorname{argsinh}(x) \) mediante la serie binomial de su derivada
👉 PASO 1
La derivada del argumento seno hiperbólico es:
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = (1 + x^2)^{-1/2} $$
👉 PASO 2
Empleamos la serie binomial de exponente \( -1/2 \) con variable \( u = x^2 \) hasta orden 4:
$$ (1 + x^2)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + o(x^4) $$
👉 PASO 3
Integramos término a término utilizando la condición inicial \( \operatorname{argsinh}(0) = 0 \):
$$ \operatorname{argsinh}(x) = \int_0^x \left[ 1 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{3}{8}t^4 + o(t^4) \right] dt = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) $$
✅ Conclusión
El desarrollo limitado de orden 5 es $$ \operatorname{argsinh}(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) $$
📝 Ejemplo 5 Hallar el desarrollo de Maclaurin de orden 4 de la función combinada:
$$ f(x) = \sqrt{\cos(2x)} $$
👉 PASO 1
Desarrollamos el coseno de argumento \( 2x \) hasta orden 4:
$$ \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + o(x^4) = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} + o(x^4) = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4) $$
👉 PASO 2
Escribimos la raíz como una potencia fraccionaria de la forma \( (1 + u)^{1/2} \) con:
$$ u(x) = -2x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4) $$
👉 PASO 3
Aplicamos la serie binomial de la raíz cuadrada $$ (1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2) $$:
- Término lineal:
$$ \frac{1}{2}u = \frac{1}{2}\left(-2x^2 + \frac{2x^4}{3}\right) = -x^2 + \frac{x^4}{3} + o(x^4) $$
- Término cuadrático:
$$ -\frac{1}{8}u^2 = -\frac{1}{8}(-2x^2 + o(x^2))^2 = -\frac{1}{8}(4x^4) = -\frac{x^4}{2} + o(x^4) $$
👉 PASO 4
Sumamos los términos reteniendo hasta grado 4:
$$ \sqrt{\cos(2x)} = 1 + \left(-x^2 + \frac{x^4}{3}\right) - \frac{x^4}{2} + o(x^4) = 1 - x^2 + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)x^4 + o(x^4) $$
Operamos el coeficiente de \( x^4 \):
$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} $$
✅ Conclusión
El desarrollo limitado de orden 4 es $$ \sqrt{\cos(2x)} = 1 - x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4) $$