6.1 6.1.1 Definición y propiedades

6.1.1 Definición y propiedades

Aproximación polinómica local y condiciones de contacto

El objetivo del análisis de Taylor es sustituir localmente una función derivable general $ f(x) $ en el entorno inmediato de un punto base $ x_0 $ por el polinomio de grado a lo sumo $ n $ más próximo posible, exigiendo que comparta con la función el mismo valor y las mismas derivadas sucesivas hasta el orden $ n \in \mathbb{N} $:

$$ P_n(x_0) = f(x_0), \quad P_n'(x_0) = f'(x_0), \quad P_n''(x_0) = f''(x_0), \quad \dots, \quad P_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) $$

Estas $ n + 1 $ condiciones de contacto determinan de manera única los coeficientes del polinomio aproximador.

Polinomios de Taylor y de Maclaurin

El único polinomio que verifica las condiciones de contacto de orden $ n $ centrado en el punto $ x_0 $ es el Polinomio de Taylor:

$$ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n $$

Cuando el centro de desarrollo es el origen ($ x_0 = 0 $), el polinomio resultante se denomina Polinomio de Maclaurin:

$$ P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

📝 Ejemplo:

Para la función exponencial natural $ f(x) = e^x $, todas sus derivadas sucesivas en el origen son idénticas a uno: $ f^{(k)}(0) = e^0 = 1 $. El polinomio de Maclaurin de orden $ n $ es:

$$ P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} $$

Teorema de Taylor y fórmula del resto de Lagrange

📐 Teorema: de Taylor

Sea $ f $ una función con derivadas continuas hasta el orden $ n + 1 $ en un intervalo abierto que contiene a $ x_0 $ y a $ x $. Entonces la función se descompone exactamente como la suma del polinomio de Taylor y un término de error denominado Resto de Taylor:

$$ f(x) = P_n(x) + R_n(x) $$

Forma de Lagrange del Resto:

El resto de orden $ n $ puede expresarse como:

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \quad \text{para algún } c \text{ estrictamente comprendido entre } x_0 \text{ y } x $$

Esta expresión es una generalización de orden superior del Teorema del Valor Medio de Lagrange.

Acotación rigurosa del error de aproximación

Si la derivada de orden $ n + 1 $ está acotada en el intervalo que une $ x_0 $ con $ x $, es decir, si existe una constante real $ M > 0 $ tal que $ |f^{(n+1)}(t)| \le M $, el error absoluto cometido al aproximar la función por su polinomio de Taylor satisface la cota estricta:

$$ |R_n(x)| = |f(x) - P_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!} |x - x_0|^{n+1} $$

📝 Ejemplo:

Aproximación del número $ e = e^1 $ mediante el polinomio de Maclaurin de orden 4 evaluado en $ x = 1 $:

$$ P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2{,}70833 $$

El resto de Lagrange es $$ R_4(1) = \frac{e^c}{5!} (1 - 0)^5 = \frac{e^c}{120} $$ con $ c \in (0, 1) $. Como $ e^c < e^1 < 3 $, el error absoluto máximo cometido es menor que $ \frac{3}{120} = \frac{1}{40} = 0{,}025 $

📝 Ejemplo 1 Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en $ x_0 = 1 $ de la función irracional $ f(x) = \sqrt{x} $, y utilizarlo para aproximar el valor de $ \sqrt{1.2} $

👉 PASO 1

Calculamos las primeras tres derivadas sucesivas de $ f(x) = x^{1/2} $:

- $ f(x) = x^{1/2} \implies f(1) = 1 $

- $$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1) = \frac{1}{2} $$

- $$ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} \implies f''(1) = -\frac{1}{4} $$

- $$ f'''(x) = \frac{3}{8}x^{-5/2} = \frac{3}{8x^2\sqrt{x}} \implies f'''(1) = \frac{3}{8} $$

👉 PASO 2

Construimos el polinomio de Taylor aplicando la fórmula:

$$ P_3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 $$

Sustituyendo los valores calculados:

$$ P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{-1/4}{2}(x - 1)^2 + \frac{3/8}{6}(x - 1)^3 $$

$$ P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}(x - 1) - \frac{1}{8}(x - 1)^2 + \frac{1}{16}(x - 1)^3 $$

👉 PASO 3

Evaluamos el polinomio en el punto $ x = 1.2 $, donde el incremento es $ x - 1 = 0.2 = \frac{1}{5} $:

$$ P_3(1.2) = 1 + \frac{1}{2}(0.2) - \frac{1}{8}(0.2)^2 + \frac{1}{16}(0.2)^3 $$

$$ = 1 + 0.1 - \frac{1}{8}(0.04) + \frac{1}{16}(0.008) = 1 + 0.1 - 0.005 + 0.0005 = 1.0955 $$

👉 PASO 4

Comparamos con el valor real obtenido con calculadora:

$$ \sqrt{1.2} \approx 1.095445115 $$

El error cometido es de tan solo $ |1.095445 - 1.0955| = 0.000055 $

✅ Conclusión

El polinomio es $$ P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 + \frac{1}{16}(x-1)^3 $$ y la aproximación es $ \sqrt{1.2} \approx 1.0955 $

📝 Ejemplo 2 Determinar el grado mínimo $ n $ del polinomio de Maclaurin de la función seno $ f(x) = \sin(x) $ necesario para aproximar $ \sin(0.5) $ con un error menor que $ 10^{-5} $

👉 PASO 1

Escribimos la expresión del resto de Lagrange de orden $ n $ para el desarrollo centrado en $ x_0 = 0 $ evaluado en $ x = 0.5 $:

$$ R_n(0.5) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (0.5)^{n+1} \quad \text{con } c \in (0, 0.5) $$

👉 PASO 2

Las derivadas de cualquier orden de la función seno son senos o cosenos con signo, por lo que están uniformemente acotadas por 1 en valor absoluto:

$$ |f^{(n+1)}(c)| \le 1 \quad \forall c \in \mathbb{R} $$

👉 PASO 3

Acotamos el valor absoluto del resto:

$$ |R_n(0.5)| \le \frac{1}{(n+1)!} (0.5)^{n+1} = \frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} $$

👉 PASO 4

Exigimos que la cota sea estrictamente menor que la tolerancia fijada:

$$ \frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} < 10^{-5} \iff 2^{n+1} (n+1)! > 10^5 = 100000 $$

👉 PASO 5

Evaluamos numéricamente para valores enteros crecientes de $ n $:

- Para $ n = 3 $: $ 2^4 \cdot 4! = 16 \cdot 24 = 384 < 100000 $

- Para $ n = 4 $: $ 2^5 \cdot 5! = 32 \cdot 120 = 3840 < 100000 $

- Para $ n = 5 $: $ 2^6 \cdot 6! = 64 \cdot 720 = 46080 < 100000 $

- Para $ n = 6 $: $$ 2^7 \cdot 7! = 128 \cdot 5040 = 645120 > 100000 $$

Como el desarrollo del seno solo contiene potencias impares, el polinomio de Maclaurin de grado 5 coincide idénticamente con el de grado 6 ($$ P_6(x) = P_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} $$).

Por tanto, el polinomio de grado $ n = 5 $ satisface plenamente la cota.

✅ Conclusión

Se requiere un polinomio de grado $ n = 5 $ ($ P_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} $) para garantizar un error estrictamente inferior a $ 10^{-5} $

📝 Ejemplo 3 Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en $ x_0 = \frac{\pi}{3} $ de la función coseno $ f(x) = \cos(x) $, y acotar rigurosamente el error al utilizarlo en el intervalo $ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right] $

👉 PASO 1

Evaluamos la función y sus derivadas en el centro $ x_0 = \pi/3 $:

- $ f(\pi/3) = \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} $

- $$ f'(\pi/3) = -\sin(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

- $ f''(\pi/3) = -\cos(\pi/3) = -\frac{1}{2} $

- $ f'''(x) = \sin(x) $

👉 PASO 2

Construimos el polinomio de Taylor de orden 2:

$$ P_2(x) = f(\pi/3) + f'(\pi/3)\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{f''(\pi/3)}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 $$

$$ P_2(x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 $$

👉 PASO 3

Expresamos el resto de Lagrange de orden 2:

$$ R_2(x) = \frac{f'''(c)}{3!} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^3 = \frac{\sin(c)}{6} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^3 $$

donde $ c $ está comprendido entre $ x $ y $ \frac{\pi}{3} $

👉 PASO 4

Acotamos los términos para $ x \in [\pi/4, \pi/3] $:

- Para el seno: en $ [\pi/4, \pi/3] $, la función seno es creciente, por lo que su valor máximo es $ \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 $

- Para la distancia: la máxima distancia al centro ocurre en el extremo izquierdo $ x = \pi/4 $:

$$ \left|x - \frac{\pi}{3}\right| \le \left|\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right| = \left|\frac{3\pi - 4\pi}{12}\right| = \frac{\pi}{12} \approx \frac{3.1416}{12} \approx 0.2618 $$

👉 PASO 5

Calculamos la cota superior del error:

$$ |R_2(x)| \le \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{6} \left(\frac{\pi}{12}\right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{12} \left(\frac{\pi}{12}\right)^3 \approx \frac{1.732}{12} (0.2618)^3 \approx 0.1443 \times 0.01795 \approx 0.00259 $$

✅ Conclusión

El error absoluto cometido en todo el intervalo $ [\pi/4, \pi/3] $ está rigurosamente acotado por $ |R_2(x)| < 0.0026 $

📝 Ejemplo 4 Calcular el desarrollo de Taylor de orden 3 de la función implícita $ y(x) $ definida por la ecuación $ x^3 + y^3 - 3xy = 0 $ en el entorno del punto $$ P(x_0, y_0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) $$

👉 PASO 1

Verificamos que el punto pertenece a la curva:

$$ \left(\frac{3}{2}\right)^3 + \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} + \frac{27}{8} - \frac{27}{4} = \frac{54}{8} - \frac{54}{8} = 0 $$

👉 PASO 2

Derivamos implícitamente respecto a $ x $:

$$ 3x^2 + 3y^2 y' - 3(y + x y') = 0 \implies x^2 + y^2 y' - y - x y' = 0 $$

Evaluamos en $ x = 3/2, y = 3/2 $:

$$ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 y' - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} y' = 0 \implies \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + \left(\frac{9}{4} - \frac{3}{2}\right) y' = 0 $$

$$ \frac{3}{4} + \frac{3}{4} y' = 0 \implies y'(3/2) = -1 $$

👉 PASO 3

Derivamos implícitamente por segunda vez la ecuación $ x^2 + y^2 y' - y - x y' = 0 $:

$$ 2x + (2y (y')^2 + y^2 y'') - y' - (1 \cdot y' + x y'') = 0 $$

$$ 2x - 2y' + 2y (y')^2 + (y^2 - x) y'' = 0 $$

Sustituimos $ x = 3/2, y = 3/2, y' = -1 $:

$$ 2\left(\frac{3}{2}\right) - 2(-1) + 2\left(\frac{3}{2}\right)(-1)^2 + \left(\frac{9}{4} - \frac{3}{2}\right) y'' = 0 $$

$$ 3 + 2 + 3 + \frac{3}{4} y'' = 0 \implies 8 + \frac{3}{4} y'' = 0 \implies y''(3/2) = -8 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{32}{3} $$

👉 PASO 4

Construimos el polinomio de Taylor de orden 2:

$$ P_2(x) = y(3/2) + y'(3/2)\left(x - \frac{3}{2}\right) + \frac{y''(3/2)}{2!}\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 $$

$$ P_2(x) = \frac{3}{2} - 1\left(x - \frac{3}{2}\right) - \frac{16}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 $$

✅ Conclusión

El polinomio de Taylor de orden 2 de la función implícita es $$ P_2(x) = \frac{3}{2} - \left(x - \frac{3}{2}\right) - \frac{16}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 $$

📝 Ejemplo 5 Demostrar mediante la fórmula de Taylor con resto de Lagrange que el número de Euler $ e $ es un número irracional ($ e \notin \mathbb{Q} $)

👉 PASO 1

Escribimos el desarrollo de Maclaurin de la función exponencial $ e^x $ de orden $ n $ evaluado en $ x = 1 $:

$$ e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + R_n(1) $$

donde el resto de Lagrange es:

$$ R_n(1) = \frac{e^c}{(n+1)!} \quad \text{con } c \in (0, 1) $$

👉 PASO 2

Acotamos el resto sabiendo que como $ 0 < c < 1 $, se tiene $ 1 < e^c < e^1 < 3 $:

$$ 0 < R_n(1) < \frac{3}{(n+1)!} $$

En particular, para cualquier entero $ n \ge 3 $, $ \frac{3}{n+1} \le \frac{3}{4} < 1 $, por lo que:

$$ 0 < R_n(1) = e - \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} < \frac{1}{n! \cdot n} $$

👉 PASO 3

Planteamos la demostración por reducción al absurdo.

Supongamos que $ e $ fuera un número racional, es decir:

$$ e = \frac{p}{q} \quad \text{con } p, q \in \mathbb{N}, \; q \ge 2 $$

👉 PASO 4

Elegimos en el desarrollo de Taylor el orden $ n = q $:

$$ e = \sum_{k=0}^q \frac{1}{k!} + R_q(1) \implies \frac{p}{q} - \sum_{k=0}^q \frac{1}{k!} = R_q(1) $$

👉 PASO 5

Multiplicamos toda la igualdad por el número entero positivo $ q! $:

$$ M = q! \left( \frac{p}{q} - \sum_{k=0}^q \frac{1}{k!} \right) = q! R_q(1) $$

👉 PASO 6

Analizamos la naturaleza de ambos miembros:

- Miembro izquierdo $ M $:

$$ q! \frac{p}{q} = p (q - 1)! \in \mathbb{Z} $$

$$ q! \sum_{k=0}^q \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^q \frac{q!}{k!} \in \mathbb{Z} $$

Por tanto, el miembro izquierdo $ M $ es obligatoriamente un número entero: $ M \in \mathbb{Z} $

- Miembro derecho $ q! R_q(1) $:

Por la acotación deducida en el

👉 Paso 2

$$ 0 < q! R_q(1) < q! \left( \frac{1}{q! \cdot q} \right) = \frac{1}{q} $$

Como $ q \ge 2 $, se tiene:

$$ 0 < M < \frac{1}{2} < 1 $$

👉 PASO 7

Contradicción:

Hemos demostrado que el número $ M $ es un entero estricto, pero simultáneamente está confinado en el intervalo abierto $ (0, 1) $. Al no existir ningún número entero entre 0 y 1, el supuesto inicial es falso.

✅ Conclusión

Queda rigurosamente demostrado que el número de Euler $ e $ es irracional.