5.4 Monotonía y extremos de funciones. Optimización

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Enunciado del ejercicio

ci-5-4-1 5.4 Monotonía y extremos de funciones. Optimización Sea $f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función derivable en un intervalo abierto $I$ El Teorema del Valor Medio fundamenta la relación directa entre el signo de la derivada primera y el comportamiento monótono de la función: 1. Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in I$, la función es estrictamente creciente en $I$ 2. Si $f'(x) < 0$ para todo $x \in I$, la función es estrictamente decreciente en $I$ 3. Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in I$, la función es estrictamente constante en $I$ Ejemplo de intervalos de monotonía: Para la función cúbica $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$, calculamos su primera derivada: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ - Para $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$: $f'(x) > 0$, la función es estrictamente creciente. - Para $x \in (1, 2)$: $f'(x) < 0$, la función es estrictamente decreciente. Un punto $c \in \operatorname{Dom}(f)$ se denomina punto crítico o punto estacionario de la función si ocurre alguna de las dos situaciones siguientes: 1. La derivada se anula en dicho punto: $f'(c) = 0$ 2. La derivada no existe en dicho punto: $\nexists f'(c)$ (por ejemplo, en esquinas, picos o tangentes verticales). Por el Teorema de Fermat, si una función alcanza un extremo local (máximo o mínimo relativo) en un punto interior $c$ y es derivable en él, entonces obligatoriamente $f'(c) = 0$ ¡ADVERTENCIA FUNDAMENTAL!: La condición $f'(c) = 0$ es necesaria pero no suficiente. Por ejemplo, para $f(x) = x^3$, en $c = 0$ se tiene $f'(0) = 0$, pero en el origen la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo (es un punto de inflexión con tangente horizontal). Criterios de clasificación de extremos locales: 1. Criterio de la Primera Derivada: - Si $f'(x)$ cambia de signo positivo ($+$) a negativo ($-$) al pasar por el punto crítico $c$, entonces $f(c)$ es un máximo local. - Si $f'(x)$ cambia de signo negativo ($-$) a positivo ($+$) al pasar por $c$, entonces $f(c)$ es un mínimo local. - Si $f'(x)$ no cambia de signo a ambos lados de $c$, entonces en $c$ no hay extremo local. 2. Criterio de la Segunda Derivada (si $f'(c) = 0$ y existe $f''(c)$): - Si $f''(c) < 0$, la curva es cóncava hacia abajo y $f(c)$ es un máximo local estricto. - Si $f''(c) > 0$, la curva es cóncava hacia arriba y $f(c)$ es un mínimo local estricto. - Si $f''(c) = 0$, el criterio no decide y debe recurrirse a la primera derivada o a derivadas de orden superior. A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso: $\text{Ejemplo 1}$ Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y localizar todos los extremos relativos con sus valores de la función racional: $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2} \quad (x \ne 2)$

PASO 1

Identificamos el dominio natural: $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

PASO 2

Calculamos la primera derivada mediante la regla del cociente:

$$f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 - 3)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$$

PASO 3

Hallamos los puntos críticos igualando la derivada a cero ($f'(x) = 0$):

$$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3$$

Ambos pertenecen al dominio de la función. El polo $x = 2$ no es un punto crítico porque la función no está definida en él, pero divide la recta real.

PASO 4

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los cuatro intervalos generados por $x = 1, 2, 3$

Como el denominador $(x - 2)^2 > 0$ para todo $x \ne 2$, el signo depende exclusivamente del numerador $(x - 1)(x - 3)$: - En $(-\infty, 1)$: $f'(x) > 0 \implies f$ - En $(1, 2)$: $f'(x) < 0 \implies f$ - En $(2, 3)$: $f'(x) < 0 \implies f$ - En $(3, +\infty)$: $f'(x) > 0 \implies f$

PASO 5

Clasificamos los extremos relativos:

- En $x = 1$: la derivada cambia de positiva a negativa. La función alcanza un máximo relativo:

$$y_1 = f(1) = \frac{1^2 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2 \implies \text{Máximo en } (1, 2)$$

- En $x = 3$: la derivada cambia de negativa a positiva. La función alcanza un mínimo relativo:

$$y_2 = f(3) = \frac{3^2 - 3}{3 - 2} = \frac{9 - 3}{1} = 6 \implies \text{Mínimo en } (3, 6)$$

(¡Nótese que el valor numérico del mínimo local 6 es superior al del máximo local 2, lo cual es perfectamente posible en funciones con asíntotas verticales intermedias!).

Conclusión

La función es creciente en $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ y decreciente en $(1, 2) \cup (2, 3)$, con un máximo local en $(1, 2)$ y un mínimo local en $(3, 6)$

Ejemplo 2 Hallar los extremos locales de la función trascendente combinada con exponencial:

$$f(x) = x^2 e^{-x}$$

utilizando el Criterio de la Segunda Derivada.

PASO 1

Calculamos la primera derivada mediante la regla del producto:

$$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = (2x - x^2) e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$$

PASO 2

Hallamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$

Como $e^{-x} > 0$ para todo número real, se tiene:

$$x(2 - x) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$

PASO 3

Calculamos la segunda derivada derivando $f'(x) = (2x - x^2) e^{-x}$:

$$f''(x) = (2 - 2x) e^{-x} + (2x - x^2)(-e^{-x}) = [2 - 2x - 2x + x^2] e^{-x} = (x^2 - 4x + 2) e^{-x}$$

PASO 4

Evaluamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos:

- Para $x_1 = 0$:

$$f''(0) = (0^2 - 4(0) + 2) e^0 = 2 \cdot 1 = 2 > 0$$

Al ser $f''(0) > 0$, en $x = 0$ existe un mínimo local estricto. El valor mínimo es $f(0) = 0^2 e^0 = 0 \implies \text{Mínimo en } (0, 0)$ - Para $x_2 = 2$:

$$f''(2) = (2^2 - 4(2) + 2) e^{-2} = (4 - 8 + 2) e^{-2} = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2} < 0$$

Al ser $f''(2) < 0$, en $x = 2$ existe un máximo local estricto. El valor máximo es $f(2) = 2^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.5413 \implies \text{Máximo en } \left(2, \frac{4}{e^2}\right)$

Conclusión

La función tiene un mínimo relativo en el origen $(0, 0)$ y un máximo relativo en $\left(2, \frac{4}{e^2}\right)$

Ejemplo 3 Determinar los extremos absolutos (máximo y mínimo globales) de la función $f(x) = 2x - 3 x^{2/3}$ en el intervalo compacto $[-1, 3]$

PASO 1

Analizamos el dominio y la continuidad: La función es continua en todo $\mathbb{R}$, y por tanto continua en el intervalo cerrado $[-1, 3]$. Por el Teorema de Weierstrass existen extremos absolutos.

PASO 2

Calculamos la primera derivada para $x \ne 0$:

$$f'(x) = 2 - 3\left(\frac{2}{3} x^{-1/3}\right) = 2 - 2x^{-1/3} = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2\left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) = 2\left(\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}\right)$$

PASO 3

Localizamos todos los puntos críticos interiores al intervalo $(-1, 3)$:

- Puntos donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$):

$$\sqrt[3]{x} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 1 \implies x_1 = 1 \in (-1, 3)$$

- Puntos donde la derivada no existe ($\nexists f'(x)$): En $x_2 = 0$, el denominador se anula: $\lim_{x \to 0} f'(x) = \infty$. Como $0 \in (-1, 3)$ y la función está definida allí ($f(0) = 0$), $x = 0$ es un punto crítico singular obligatorio.

PASO 4

Evaluamos la función $f(x)$ en todos los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

- En el extremo izquierdo $x = -1$:

$$f(-1) = 2(-1) - 3(-1)^{2/3} = -2 - 3(1) = -5$$

- En el punto crítico singular $x = 0$:

$$f(0) = 2(0) - 3(0)^{2/3} = 0$$

- En el punto crítico estacionario $x = 1$:

$$f(1) = 2(1) - 3(1)^{2/3} = 2 - 3 = -1$$

- En el extremo derecho $x = 3$:

$$f(3) = 2(3) - 3(3)^{2/3} = 6 - 3\sqrt[3]{9} \approx 6 - 3(2.08008) = 6 - 6.24025 = -0.24025$$

PASO 5

Comparamos los cuatro valores numéricos obtenidos:

- El valor máximo absoluto es el mayor de todos: $0$, alcanzado en $x = 0$ - El valor mínimo absoluto es el menor de todos: $-5$, alcanzado en $x = -1$

Conclusión

El máximo absoluto es $M = 0$ en $x = 0$, y el mínimo absoluto es $m = -5$ en $x = -1$

Ejemplo 4 Calcular las dimensiones de una lata cilíndrica cerrada (con tapas superior e inferior) de volumen fijado $V_0 = 1000\pi \text{ cm}^3$ que minimice la superficie total de hojalata empleada en su fabricación

PASO 1

Identificamos las variables geométricas del cilindro:

- Radio de las tapas circulares: $r > 0$ - Altura del cilindro: $h > 0$ - Condición de ligadura del volumen constante fijado:

$$V = \pi r^2 h = 1000\pi \implies r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{r^2}$$

PASO 2

Planteamos la función objetivo a minimizar, que es el área superficial total:

$$A(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$

PASO 3

Expresamos el área como función de una única variable $r$ sustituyendo $h = \frac{1000}{r^2}$:

$$A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\left(\frac{1000}{r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2000\pi}{r} = 2\pi \left( r^2 + \frac{1000}{r} \right) \quad (r > 0)$$

PASO 4

Calculamos la primera derivada respecto a $r$:

$$A'(r) = 2\pi \left( 2r - \frac{1000}{r^2} \right) = 2\pi \left( \frac{2r^3 - 1000}{r^2} \right) = \frac{4\pi (r^3 - 500)}{r^2}$$

PASO 5

Hallamos el punto crítico igualando la derivada a cero:

$$r^3 - 500 = 0 \implies r^3 = 500 \implies r = \sqrt[3]{500} \approx 7.937 \text{ cm}$$

PASO 6

Comprobamos que se trata de un mínimo utilizando la segunda derivada:

$$A''(r) = 2\pi \left( 2 + \frac{2000}{r^3} \right)$$

Para cualquier $r > 0$, $A''(r) > 0$, lo que garantiza que el punto crítico es un mínimo absoluto global estricto.

PASO 7

Calculamos la altura óptima $h$ sustituyendo el radio crítico:

$$h = \frac{1000}{r^2} = \frac{2(500)}{(500)^{2/3}} = 2(500)^{1/3} = 2r$$

$$h = 2\sqrt[3]{500} \approx 15.874 \text{ cm}$$

Conclusión

La lata de superficie mínima debe tener un radio de $r = \sqrt[3]{500} \text{ cm} \approx 7.94 \text{ cm}$ y una altura igual al diámetro $h = 2r = 2\sqrt[3]{500} \text{ cm} \approx 15.87 \text{ cm}$

Ejemplo 5 Se desea construir una ventana de perímetro total fijado $P = 12 \text{ metros}$ con la forma clásica normanda: un rectángulo coronado por un semicírculo cuyo diámetro coincide con el ancho del rectángulo. Hallar las dimensiones que maximizan el área total de la ventana y el paso de luz

PASO 1

Definimos las variables:

- Radio del semicírculo superior: $r > 0$ - Ancho de la ventana (base del rectángulo): $2r$ - Altura de los lados rectos verticales del rectángulo: $y > 0$

PASO 2

Planteamos la restricción del perímetro total de la ventana (la base inferior, los dos lados verticales y el arco semicircular superior):

$$P = 2r + 2y + \pi r = (2 + \pi)r + 2y = 12$$

Despejamos la altura vertical $y$ en función del radio $r$:

$$2y = 12 - (2 + \pi)r \implies y = 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r$$

PASO 3

Planteamos la función objetivo a maximizar, que es el área total:

$$A = \text{Área del rectángulo} + \text{Área del semicírculo} = (2r) y + \frac{1}{2}\pi r^2$$

PASO 4

Sustituimos $y$ en la expresión del área:

$$A(r) = 2r \left[ 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r \right] + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$$

PASO 5

Derivamos respecto a $r$ para hallar el punto crítico:

$$A'(r) = 12 - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = 12 - (4 + \pi)r$$

Igualando a cero ($A'(r) = 0$):

$$12 - (4 + \pi)r = 0 \implies r = \frac{12}{4 + \pi} \approx \frac{12}{7.14159} \approx 1.680 \text{ metros}$$

PASO 6

Verificamos mediante la segunda derivada:

$$A''(r) = -(4 + \pi) < 0$$

Como es estrictamente negativa, la función es cóncava y el punto crítico corresponde a un máximo absoluto global.

PASO 7

Calculamos la altura vertical $y$:

$$y = 6 - \left(\frac{2 + \pi}{2}\right) \left(\frac{12}{4 + \pi}\right) = 6 - \frac{6(2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{6(4 + \pi) - 6(2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{24 - 12}{4 + \pi} = \frac{12}{4 + \pi} = r$$

Conclusión

El área máxima se logra cuando el radio del semicírculo es $r = \frac{12}{4 + \pi} \approx 1.68 \text{ m}$, la base del rectángulo es $2r = \frac{24}{4 + \pi} \approx 3.36 \text{ m}$ y la altura de la parte rectangular es exactamente igual al radio $y = r = \frac{12}{4 + \pi} \approx 1.68 \text{ m}$

5.4 Monotonía y extremos de funciones. Optimización

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