5.2 5.2.4 Derivada n-ésima de un producto. Fórmula de Leibniz

5.2.4 Derivada n-ésima de un producto.

Fórmula de Leibniz

Motivación y cálculo de derivadas sucesivas de un producto

Al derivar sucesivamente el producto de dos funciones derivables $ u(x) $ y $ v(x) $:

- Orden 1: $ (u \cdot v)' = u' v + u v' $

- Orden 2: $$ (u \cdot v)'' = (u' v + u v')' = u'' v + 2 u' v' + u v'' $$

- Orden 3: $$ (u \cdot v)''' = u''' v + 3 u'' v' + 3 u' v'' + u v''' $$

Aparece una perfecta analogía combinatoria con los coeficientes binomiales de Tartaglia-Pascal que figuran en el desarrollo del binomio de Newton $ (a + b)^n $

Teorema de la Fórmula de Leibniz

La Fórmula de Leibniz para la derivada de orden $ n \in \mathbb{N} $ de un producto establece que:

$$ (u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)} $$

donde $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ son los coeficientes binomiales, adoptando el convenio estándar de orden cero para la función original: $ u^{(0)} = u $ y $ v^{(0)} = v $

Desarrollando los primeros términos:

$$ (u \cdot v)^{(n)} = \binom{n}{0} u^{(n)} v + \binom{n}{1} u^{(n-1)} v' + \binom{n}{2} u^{(n-2)} v'' + \dots + \binom{n}{n} u v^{(n)} $$

Regla de truncamiento y técnica de cálculo práctico

La aplicación más eficaz de la fórmula de Leibniz se produce cuando uno de los dos factores es un polinomio de grado finito $ m < n $. Como la derivada de orden superior al grado de un polinomio es idénticamente nula ($ P^{(k)}(x) = 0 $ para todo $ k > m $), elegimos siempre dicho polinomio como la función $ v(x) $. El sumatorio de Leibniz se trunca entonces tras los primeros $ m + 1 $ sumandos, convirtiendo un problema aparentemente inabarcable en un cálculo algebraico elemental.

📝 Ejemplo:

Para calcular la derivada de orden 10 de $ f(x) = x^2 e^{3x} $, tomamos $ v(x) = x^2 $ y $ u(x) = e^{3x} $

Las derivadas de $ v $ son $ v' = 2x $, $ v'' = 2 $ y $ v^{(k)} = 0 $ para todo $ k \ge 3 $

Por su parte, $ u^{(k)} = 3^k e^{3x} $. Aplicando Leibniz:

$$ (x^2 e^{3x})^{(10)} = \binom{10}{0} u^{(10)} v + \binom{10}{1} u^{(9)} v' + \binom{10}{2} u^{(8)} v'' $$

$$ = 1 \cdot (3^{10} e^{3x}) \cdot x^2 + 10 \cdot (3^9 e^{3x}) \cdot (2x) + 45 \cdot (3^8 e^{3x}) \cdot 2 = 3^8 e^{3x} [9x^2 + 60x + 90] $$

📝 Ejemplo 1 Calcular la derivada de orden $ n $ de la función producto $ f(x) = x^2 e^{a x} $ ($ a \ne 0 $) para cualquier $ n \ge 2 $

👉 PASO 1

Identificamos los dos factores del producto asignando el polinomio al factor que se anula en derivadas sucesivas:

$$ v(x) = x^2, \qquad u(x) = e^{a x} $$

👉 PASO 2

Calculamos las derivadas del factor polinómico $ v(x) $:

- $ v^{(0)}(x) = x^2 $

- $ v^{(1)}(x) = 2x $

- $ v^{(2)}(x) = 2 $

- $ v^{(k)}(x) = 0 \quad \forall k \ge 3 $

👉 PASO 3

Calculamos la derivada general de orden $ k $ de la función exponencial $ u(x) = e^{a x} $:

$$ u^{(k)}(x) = a^k e^{a x} \quad \forall k \ge 0 $$

👉 PASO 4

Aplicamos la Fórmula de Leibniz expandiendo los únicos tres términos no nulos del sumatorio ($ k = 0, 1, 2 $):

$$ f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} u^{(n)} v^{(0)} + \binom{n}{1} u^{(n-1)} v^{(1)} + \binom{n}{2} u^{(n-2)} v^{(2)} $$

👉 PASO 5

Sustituimos los coeficientes binomiales y las derivadas evaluadas:

- Coeficiente para $ k = 0 $: $$ \binom{n}{0} = 1 \implies 1 \cdot (a^n e^{ax}) \cdot x^2 = a^n x^2 e^{ax} $$

- Coeficiente para $ k = 1 $: $$ \binom{n}{1} = n \implies n \cdot (a^{n-1} e^{ax}) \cdot (2x) = 2n a^{n-1} x e^{ax} $$

- Coeficiente para $ k = 2 $: $$ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \implies \frac{n(n-1)}{2} \cdot (a^{n-2} e^{ax}) \cdot 2 = n(n-1) a^{n-2} e^{ax} $$

👉 PASO 6

Sumamos y extraemos como factor común $ a^{n-2} e^{ax} $:

$$ f^{(n)}(x) = a^{n-2} e^{ax} \left[ a^2 x^2 + 2n a x + n(n - 1) \right] $$

✅ Conclusión

La derivada de orden $ n $ es $$ f^{(n)}(x) = a^{n-2} e^{ax} [a^2 x^2 + 2nax + n(n - 1)] $$

📝 Ejemplo 2 Hallar la derivada de orden 20 de la función $ f(x) = (x^3 - 2x + 1) \cos(x) $

👉 PASO 1

Asignamos las funciones para la fórmula de Leibniz:

$$ v(x) = x^3 - 2x + 1, \qquad u(x) = \cos(x) $$

👉 PASO 2

Calculamos las derivadas sucesivas del polinomio hasta anularse:

- $ v^{(0)} = x^3 - 2x + 1 $

- $ v^{(1)} = 3x^2 - 2 $

- $ v^{(2)} = 6x $

- $ v^{(3)} = 6 $

- $ v^{(k)} = 0 \quad \forall k \ge 4 $

👉 PASO 3

Calculamos las derivadas necesarias de $ u(x) = \cos(x) $ recordando la fórmula angular $ u^{(m)}(x) = \cos(x + m\pi/2) $:

- Para $ m = 20 $: $$ \cos(x + 20 \cdot \pi/2) = \cos(x + 10\pi) = \cos(x) $$

- Para $ m = 19 $: $$ \cos(x + 19 \cdot \pi/2) = \cos(x + 9\pi + \pi/2) = \sin(x) $$

- Para $ m = 18 $: $$ \cos(x + 18 \cdot \pi/2) = \cos(x + 9\pi) = -\cos(x) $$

- Para $ m = 17 $: $$ \cos(x + 17 \cdot \pi/2) = \cos(x + 8\pi + \pi/2) = -\sin(x) $$

👉 PASO 4

Calculamos los coeficientes binomiales de orden $ n = 20 $:

- $ \binom{20}{0} = 1 $

- $ \binom{20}{1} = 20 $

- $ \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 $

- $$ \binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140 $$

👉 PASO 5

Ensamblamos los cuatro términos de la fórmula de Leibniz:

$$ f^{(20)}(x) = 1 \cdot [\cos x] \cdot (x^3 - 2x + 1) + 20 \cdot [\sin x] \cdot (3x^2 - 2) + 190 \cdot [-\cos x] \cdot (6x) + 1140 \cdot [-\sin x] \cdot (6) $$

👉 PASO 6

Agrupamos los términos con factor común $ \cos(x) $ y $ \sin(x) $:

- Términos con $ \cos(x) $: $$ (x^3 - 2x + 1) - 190(6x) = x^3 - 2x + 1 - 1140x = x^3 - 1142x + 1 $$

- Términos con $ \sin(x) $: $$ 20(3x^2 - 2) - 1140(6) = 60x^2 - 40 - 6840 = 60x^2 - 6880 $$

✅ Conclusión

La derivada de orden 20 es $$ f^{(20)}(x) = (x^3 - 1142x + 1)\cos(x) + (60x^2 - 6880)\sin(x) $$

📝 Ejemplo 3 Demostrar que la función $ y = (x^2 - 1)^n $ satisface la ecuación diferencial lineal homogénea de Legendre de orden $ n + 1 $ mediante la aplicación de la fórmula de Leibniz

👉 PASO 1

Derivamos la función $ y = (x^2 - 1)^n $ aplicando la regla de la cadena:

$$ y' = n(x^2 - 1)^{n-1} \cdot (2x) = 2nx(x^2 - 1)^{n-1} $$

👉 PASO 2

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el factor $ (x^2 - 1) $ para recomponer la función original:

$$ (x^2 - 1) y' = 2nx(x^2 - 1)^n = 2nx y $$

Reordenamos la ecuación:

$$ (x^2 - 1) y' - 2nx y = 0 $$

👉 PASO 3

Derivamos ambos miembros $ n + 1 $ veces respecto a $ x $:

$$ \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} [ (x^2 - 1) y' ] - 2n \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} [ x y ] = 0 $$

👉 PASO 4

Aplicamos la Fórmula de Leibniz al primer término con $ u = y' $ y $ v = x^2 - 1 $:

$$ \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} [ (x^2 - 1) y' ] = \binom{n+1}{0} y^{(n+2)} (x^2 - 1) + \binom{n+1}{1} y^{(n+1)} (2x) + \binom{n+1}{2} y^{(n)} (2) $$

$$ = (x^2 - 1) y^{(n+2)} + 2(n + 1)x y^{(n+1)} + (n + 1)n y^{(n)} $$

👉 PASO 5

Aplicamos la Fórmula de Leibniz al segundo término con $ u = y $ y $ v = x $:

$$ \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} [ x y ] = \binom{n+1}{0} y^{(n+1)} x + \binom{n+1}{1} y^{(n)} (1) = x y^{(n+1)} + (n + 1) y^{(n)} $$

👉 PASO 6

Sustituimos ambos desarrollos en la ecuación del

👉 Paso 3

$$ (x^2 - 1) y^{(n+2)} + 2(n + 1)x y^{(n+1)} + n(n + 1) y^{(n)} - 2n [ x y^{(n+1)} + (n + 1) y^{(n)} ] = 0 $$

Agrupamos los coeficientes:

- Coeficiente de $ y^{(n+1)} $: $ [2(n + 1)x - 2nx] = 2x $

- Coeficiente de $ y^{(n)} $: $ [n(n + 1) - 2n(n + 1)] = -n(n + 1) $

La ecuación resultante es:

$$ (x^2 - 1) y^{(n+2)} + 2x y^{(n+1)} - n(n + 1) y^{(n)} = 0 $$

✅ Conclusión

Al definir el polinomio de Legendre como $$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2 - 1)^n] = \frac{1}{2^n n!} y^{(n)} $$, la derivada de la ecuación demuestra que $ P_n(x) $ satisface la famosa Ecuación Diferencial de Legendre: $$ (1 - x^2) P_n''(x) - 2x P_n'(x) + n(n + 1) P_n(x) = 0 $$

📝 Ejemplo 4 Calcular la derivada de orden $ n $ de la función producto $ f(x) = x \ln(x) $ ($ x > 0 $) para cualquier orden $ n \ge 2 $

👉 PASO 1

Asignamos los factores para la fórmula de Leibniz:

$$ v(x) = x, \qquad u(x) = \ln(x) $$

👉 PASO 2

Las derivadas del término lineal $ v(x) = x $ son:

- $ v^{(0)} = x $

- $ v^{(1)} = 1 $

- $ v^{(k)} = 0 \quad \forall k \ge 2 $

Por tanto, el sumatorio de Leibniz solo contiene dos sumandos no nulos.

👉 PASO 3

Calculamos la derivada de orden superior de $ u(x) = \ln(x) $:

$$ u^{(m)}(x) = \frac{(-1)^{m-1} (m - 1)!}{x^m} \quad \forall m \ge 1 $$

👉 PASO 4

Aplicamos la Fórmula de Leibniz para $ n \ge 2 $:

$$ f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} u^{(n)} v^{(0)} + \binom{n}{1} u^{(n-1)} v^{(1)} $$

$$ = 1 \cdot \left( \frac{(-1)^{n-1} (n - 1)!}{x^n} \right) \cdot x + n \cdot \left( \frac{(-1)^{n-2} (n - 2)!}{x^{n-1}} \right) \cdot 1 $$

👉 PASO 5

Operamos algebraicamente las potencias de $ x $:

$$ \frac{(-1)^{n-1} (n - 1)!}{x^n} \cdot x = \frac{(-1)^{n-1} (n - 1)!}{x^{n-1}} $$

Para el segundo sumando, observamos que $ (-1)^{n-2} = -(-1)^{n-1} $ y $ n(n - 2)! = \frac{n}{n - 1} (n - 1)! $:

$$ n \cdot \frac{(-1)^{n-2} (n - 2)!}{x^{n-1}} = -\frac{(-1)^{n-1} n(n - 2)!}{x^{n-1}} $$

👉 PASO 6

Sumamos ambas expresiones sacando como factor común $ \frac{(-1)^{n-1} (n - 2)!}{x^{n-1}} $:

$$ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n - 2)!}{x^{n-1}} [ (n - 1) - n ] = \frac{(-1)^{n-1} (n - 2)!}{x^{n-1}} (-1) = \frac{(-1)^n (n - 2)!}{x^{n-1}} $$

✅ Conclusión

Para todo $ n \ge 2 $, la derivada de orden $ n $ es $ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n (n - 2)!}{x^{n-1}} $

📝 Ejemplo 5 Calcular la derivada de orden 10 de la función $ f(x) = (x^2 + 3) \sinh(2x) $

👉 PASO 1

Asignamos $ v(x) = x^2 + 3 $ y $ u(x) = \sinh(2x) $

👉 PASO 2

Calculamos las derivadas de $ v(x) $:

- $ v^{(0)} = x^2 + 3 $

- $ v^{(1)} = 2x $

- $ v^{(2)} = 2 $

- $ v^{(k)} = 0 \quad \forall k \ge 3 $

👉 PASO 3

Calculamos las derivadas sucesivas de la función hiperbólica $ u(x) = \sinh(2x) $:

- Derivadas de orden par: $$ \frac{d^{2m}}{dx^{2m}}[\sinh(2x)] = 2^{2m} \sinh(2x) $$

- Derivadas de orden impar: $$ \frac{d^{2m+1}}{dx^{2m+1}}[\sinh(2x)] = 2^{2m+1} \cosh(2x) $$

En particular, para el orden $ n = 10 $:

- $$ u^{(10)}(x) = 2^{10} \sinh(2x) = 1024 \sinh(2x) $$

- $ u^{(9)}(x) = 2^9 \cosh(2x) = 512 \cosh(2x) $

- $ u^{(8)}(x) = 2^8 \sinh(2x) = 256 \sinh(2x) $

👉 PASO 4

Calculamos los coeficientes binomiales de orden 10:

- $ \binom{10}{0} = 1 $

- $ \binom{10}{1} = 10 $

- $ \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 $

👉 PASO 5

Ensamblamos la Fórmula de Leibniz con los tres términos no nulos:

$$ f^{(10)}(x) = 1 \cdot [1024 \sinh(2x)] \cdot (x^2 + 3) + 10 \cdot [512 \cosh(2x)] \cdot (2x) + 45 \cdot [256 \sinh(2x)] \cdot (2) $$

👉 PASO 6

Operamos y agrupamos los coeficientes:

- Coeficiente de $ \sinh(2x) $:

$$ 1024(x^2 + 3) + 45 \cdot 512 = 1024x^2 + 3072 + 23040 = 1024x^2 + 26112 $$

- Coeficiente de $ \cosh(2x) $:

$$ 10 \cdot 512 \cdot 2x = 10240x $$

✅ Conclusión

La derivada de orden 10 es $$ f^{(10)}(x) = (1024x^2 + 26112)\sinh(2x) + 10240x \cosh(2x) $$