Inicio / Asignaturas / Cálculo Infinitesimal / 4.2.4 Funciones trigonométricas

4.2.4 Funciones trigonométricas

▶ Reproducir en la pizarra

ci-4-2-4 4.2.4 Funciones trigonométricas

En el cálculo infinitesimal el argumento de las funciones trigonométricas se mide siempre en radianes.

En la circunferencia goniométrica de radio unidad \( x^2 + y^2 = 1 \), a cada ángulo orientado \( \theta \in \mathbb{R} \) le corresponde un punto de coordenadas \( (\cos \theta, \sin \theta) \)

Las funciones seno y coseno están definidas en toda la recta real:

$$ \operatorname{Dom}(\sin) = \mathbb{R}, \qquad \operatorname{Dom}(\cos) = \mathbb{R} $$

y sus imágenes están acotadas en el intervalo cerrado unidad:

$$ \operatorname{Im}(\sin) = [-1, 1], \qquad \operatorname{Im}(\cos) = [-1, 1] $$
Ejemplo: de seno y coseno:

Para el ángulo notable \( \theta = \frac{\pi}{6} \) radianes (\( 30^\circ \)), tenemos \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) y $$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

A partir de ellas se definen las restantes cuatro funciones trigonométricas con sus correspondientes exclusiones de dominio:

1. Tangente: \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), con dominio $$ \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\} $$ e imagen \( \mathbb{R} \)

2. Cotangente: \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \), con dominio $$ \mathbb{R} \setminus \{ k\pi : k \in \mathbb{Z} \} $$ e imagen \( \mathbb{R} \)

3. Secante: \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \), con dominio idéntico al de la tangente e imagen \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \)

4. Cosecante: \( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \), con dominio idéntico al de la cotangente e imagen \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \)

Ejemplo: de tangente y secante: En \( x = \frac{\pi}{4} \), como $$ \sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$, la tangente vale \( \tan(\pi/4) = 1 \) y la secante vale $$ \sec(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} $$

Las funciones trigonométricas son periódicas.

Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo fundamental \( 2\pi \):

$$ \sin(x + 2\pi) = \sin(x), \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos(x) $$

mientras que la tangente y la cotangente tienen periodo fundamental \( \pi \):

$$ \tan(x + \pi) = \tan(x), \qquad \cot(x + \pi) = \cot(x) $$

En cuanto a la paridad, el coseno y la secante son funciones pares: \( \cos(-x) = \cos(x) \), mientras que el seno, tangente, cotangente y cosecante son funciones impares: \( \sin(-x) = -\sin(x) \), \( \tan(-x) = -\tan(x) \)

Ejemplo: de paridad y periodicidad:

Para evaluar \( \sin\left(-\frac{13\pi}{6}\right) \), primero aplicamos que el seno es impar: \( \sin(-13\pi/6) = -\sin(13\pi/6) \). Descomponemos el ángulo restando múltiplos de \( 2\pi \): \( \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \). Luego: $$ -\sin(2\pi + \pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac{1}{2} $$

Las identidades fundamentales del álgebra trigonométrica incluyen:

1

Identidad pitagórica principal: $$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $$

2

Identidades pitagóricas secundarias: $$ 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x), \qquad 1 + \cot^2(x) = \csc^2(x) $$

3

Seno y coseno de la suma y diferencia

$$ \sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b) $$
$$ \cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b) $$
4

Ángulo doble y mitad

$$ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x), \qquad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) $$
$$ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \qquad \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $$
Ejemplo: de uso de ángulo mitad:

Para calcular \( \sin^2(\pi/8) \), aplicamos la identidad del ángulo mitad con \( 2x = \pi/4 \):

$$ \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos(\pi/4)}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \implies \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

Ejemplo 1 Resolver la ecuación trigonométrica en el intervalo cerrado fundamental \( [0, 2\pi) \):
$$ 2\cos^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0 $$
PASO 1

Expresamos toda la ecuación en términos de una única función trigonométrica sustituyendo la identidad pitagórica \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \):

$$ 2(1 - \sin^2(x)) + 3\sin(x) - 3 = 0 $$
$$ 2 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0 \implies -2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 1 = 0 $$
PASO 2

Multiplicamos por \( -1 \) y realizamos el cambio de variable \( u = \sin(x) \) con la restricción obligatoria \( |u| \le 1 \):

$$ 2u^2 - 3u + 1 = 0 $$
PASO 3

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ u = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} $$

Obtenemos las soluciones:

$$ u_1 = \frac{4}{4} = 1, \qquad u_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Ambos valores pertenecen al intervalo admisible \( [-1, 1] \)

PASO 4

Deshacemos el cambio de variable encontrando los ángulos en \( [0, 2\pi) \):

- Para \( \sin(x) = 1 \):

El seno alcanza su valor máximo únicamente en:

$$ x = \frac{\pi}{2} $$

- Para \( \sin(x) = \frac{1}{2} \):

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante:

$$ x = \frac{\pi}{6}, \qquad x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $$
Conclusión

Las soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi) \) son $$ x \in \left\{ \frac{\pi}{6}, \; \frac{\pi}{2}, \; \frac{5\pi}{6} \right\} $$

Ejemplo 2 Demostrar formalmente la siguiente identidad trigonométrica para todo punto donde esté definida:
$$ \frac{\sin(3x) - \sin(x)}{\cos(3x) + \cos(x)} = \tan(x) $$
PASO 1

Recordamos las fórmulas de transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en producto:

$$ \sin(A) - \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) $$
$$ \cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $$
PASO 2

Identificamos los ángulos \( A = 3x \) y \( B = x \). Calculamos la semisuma y la semidiferencia:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{3x + x}{2} = 2x, \qquad \frac{A - B}{2} = \frac{3x - x}{2} = x $$
PASO 3

Transformamos el numerador:

$$ \sin(3x) - \sin(x) = 2 \sin(x) \cos(2x) $$
PASO 4

Transformamos el denominador:

$$ \cos(3x) + \cos(x) = 2 \cos(2x) \cos(x) $$
PASO 5

Sustituimos ambas expresiones en el cociente y simplificamos los factores comunes no nulos:

$$ \frac{\sin(3x) - \sin(x)}{\cos(3x) + \cos(x)} = \frac{2 \sin(x) \cos(2x)}{2 \cos(2x) \cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $$
Conclusión

La identidad queda plenamente demostrada para todo $$ x \notin \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \; \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} $$

Ejemplo 3 Determinar la amplitud, el periodo fundamental, el desfase angular y el valor máximo de la función armónica combinada:
$$ f(x) = 3\sin(2x) + 4\cos(2x) $$

escribiéndola en la forma compacta de amplitud-fase \( f(x) = A \sin(2x + \phi) \)

PASO 1

Cualquier combinación lineal de la forma \( a\sin(\omega x) + b\cos(\omega x) \) puede expresarse como \( A\sin(\omega x + \phi) \) desarrollando el seno de la suma:

$$ A\sin(\omega x + \phi) = A[\sin(\omega x)\cos(\phi) + \cos(\omega x)\sin(\phi)] = [A\cos(\phi)]\sin(\omega x) + [A\sin(\phi)]\cos(\omega x) $$
PASO 2

Igualamos los coeficientes correspondientes a cada término trigonométrico:

$$ A\cos(\phi) = 3, \qquad A\sin(\phi) = 4 $$
PASO 3

Elevamos al cuadrado y sumamos ambas igualdades para obtener la amplitud \( A \):

$$ A^2 \cos^2(\phi) + A^2 \sin^2(\phi) = 3^2 + 4^2 \implies A^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = 9 + 16 = 25 $$

Como la amplitud se toma positiva, \( A = \sqrt{25} = 5 \)

PASO 4

Dividimos ambas ecuaciones para calcular el desfase angular \( \phi \):

$$ \frac{A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \tan(\phi) = \frac{4}{3} \implies \phi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ rad} $$

Como tanto el seno como el coseno son positivos (\( 3 > 0, 4 > 0 \)), el ángulo \( \phi \) se encuentra en el primer cuadrante.

PASO 5

Determinamos el periodo fundamental sabiendo que la frecuencia angular es \( \omega = 2 \):

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$
Conclusión

La función es \( f(x) = 5\sin\left(2x + \arctan(4/3)\right) \), con amplitud \( A = 5 \), periodo \( T = \pi \), desfase \( \phi \approx 0.9273 \text{ rad} \) y valor máximo absoluto igual a 5.

Ejemplo 4 Calcular el límite trigonométrico fundamental utilizando el equivalente infinitesimal de Taylor:
$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{x \sin(3x)} $$
PASO 1

Al evaluar directamente en \( x = 0 \):

$$ \frac{1 - \cos(0)}{0 \cdot \sin(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} $$
PASO 2

Recordamos los equivalentes infinitesimales fundamentales cuando el argumento tiende a cero:

- Para el seno: \( \sin(u) \sim u \quad (u \to 0) \)

- Para el coseno: $$ 1 - \cos(u) = 2\sin^2(u/2) \sim 2\left(\frac{u}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{2} \quad (u \to 0) $$

PASO 3

Aplicamos los equivalentes a los términos de nuestra expresión con \( u = 4x \to 0 \) y \( v = 3x \to 0 \):

$$ 1 - \cos(4x) \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2 $$
$$ \sin(3x) \sim 3x $$
PASO 4

Sustituimos estos equivalentes en el límite:

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{x (3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{3x^2} $$
PASO 5

Cancelamos el factor común no nulo \( x^2 \):

$$ L = \frac{8}{3} $$
Conclusión

El valor del límite es \( L = \frac{8}{3} \)

Ejemplo 5 Hallar todos los valores de \( x \in [0, 2\pi) \) que satisfacen la inecuación trigonométrica:
$$ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 > 0 $$
PASO 1

Realizamos el cambio de variable \( u = \sin(x) \) con \( u \in [-1, 1] \), transformando la desigualdad en una inecuación cuadrática:

$$ 2u^2 - u - 1 > 0 $$
PASO 2

Hallamos las raíces de la ecuación cuadrática asociada \( 2u^2 - u - 1 = 0 \):

$$ u = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \implies u_1 = 1, \quad u_2 = -\frac{1}{2} $$

Factorizamos la inecuación:

$$ 2(u - 1)\left(u + \frac{1}{2}\right) > 0 $$
PASO 3

Analizamos los intervalos de signo para \( u \in [-1, 1] \):

Como \( u = \sin(x) \le 1 \), el factor \( (u - 1) \) es siempre menor o igual que cero.

No puede ser positivo.

Para que el producto sea estrictamente positivo (\( > 0 \)), requerimos que ambos factores tengan el mismo signo.

Como \( u - 1 \le 0 \), la única posibilidad es que ambos sean estrictamente negativos:

$$ u - 1 < 0 \implies u < 1, \qquad u + \frac{1}{2} < 0 \implies u < -\frac{1}{2} $$

La intersección con el dominio admisible \( [-1, 1] \) exige:

$$ -1 \le \sin(x) < -\frac{1}{2} $$
PASO 4

Resolvemos la desigualdad para el ángulo \( x \in [0, 2\pi) \)

El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrante.

Los puntos donde \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \) son:

- En el tercer cuadrante: \( x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \)

- En el cuarto cuadrante: \( x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \)

El seno toma valores inferiores a \( -\frac{1}{2} \) entre estos dos ángulos.

Conclusión

El conjunto de soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi) \) es el intervalo abierto $$ x \in \left( \frac{7\pi}{6}, \; \frac{11\pi}{6} \right) \setminus \left\{ \frac{3\pi}{2} \right\} $$, teniendo en cuenta que en \( x = \frac{3\pi}{2} \), \( \sin(3\pi/2) = -1 < -1/2 \), luego el intervalo es continuo: $$ x \in \left( \frac{7\pi}{6}, \; \frac{11\pi}{6} \right) $$