5.2 5.2.2 Derivación logarítmica

ci-5-2-2 5.2.2 Derivación logarítmica

La técnica de derivación logarítmica es un método extraordinariamente potente que permite calcular de forma sencilla y elegante las derivadas de funciones complejas que involucran:

1. Funciones potencial-exponenciales donde tanto la base como el exponente son funciones de la variable independiente: $ y = [u(x)]^{v(x)} $

Productos y cocientes largos compuestos por múltiples factores con potencias fraccionarias

El procedimiento general consta de cuatro pasos sistemáticos:

👉 Paso 1

Aplicar logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación $ y = f(x) $:

$$ \ln(y) = \ln(f(x)) $$

👉 Paso 2

Utilizar las propiedades de los logaritmos (logaritmo de producto, cociente y potencia) para desglosar y simplificar al máximo el segundo miembro en sumas y productos simples.

👉 Paso 3

Derivar implícitamente ambos miembros respecto a la variable independiente $ x $. En el primer miembro se obtiene siempre:

$$ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y} $$

👉 Paso 4

Despejar la derivada $ y' $ multiplicando toda la expresión resultante por la función original $ y $:

$$ y' = y \cdot \left[ \frac{d}{dx} \ln(f(x)) \right] $$

Fórmula general para la función potencial-exponencial $ y = u(x)^{v(x)} $ con $ u(x) > 0 $:

Tomando logaritmos: $ \ln y = v(x) \ln(u(x)) $

Derivando implícitamente mediante la regla del producto:

$$ \frac{y'}{y} = v'(x) \ln(u(x)) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} $$

Despejando $ y' $:

$$ y' = u(x)^{v(x)} \left[ v'(x) \ln(u(x)) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} \right] = v u^{v-1} u' + u^v \ln(u) v' $$

Observamos una hermosa propiedad de dualidad: la derivada total es exactamente la suma de tratar la función primero como una potencia pura (derivada respecto a la base) más tratarla como una exponencial pura (derivada respecto al exponente).

📝 Ejemplo: elemental de derivación logarítmica: Calcular la derivada de $ y = x^x $ para $ x > 0 $

Tomamos logaritmos: $$ \ln y = \ln(x^x) = x \ln(x) $$

2. Derivamos implícitamente: $$ \frac{y'}{y} = (1) \cdot \ln(x) + x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \ln(x) + 1 $$

Despejamos $$ y' $$ multiplicando por $$ y = x^x $$

$$ y' = x^x (\ln(x) + 1) $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular la derivada de la función potencial-exponencial con base y exponente trigonométricos:

$$ y = (\sin x)^{\cos x} \quad \text{en el intervalo } x \in (0, \pi) $$

👉 PASO 1

Como $ x \in (0, \pi) $, la base cumple $ \sin(x) > 0 $, por lo que el logaritmo neperiano está perfectamente definido.

Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros:

$$ \ln(y) = \ln\left( (\sin x)^{\cos x} \right) $$

👉 PASO 2

Bajamos el exponente aplicando la propiedad de las potencias del logaritmo:

$$ \ln(y) = \cos(x) \cdot \ln(\sin x) $$

👉 PASO 3

Derivamos implícitamente respecto a $ x $ aplicando la regla del producto en el segundo miembro:

$$ \frac{y'}{y} = [\cos(x)]' \cdot \ln(\sin x) + \cos(x) \cdot [\ln(\sin x)]' $$

- La derivada de $ \cos(x) $ es $ -\sin(x) $

- La derivada de $ \ln(\sin x) $ por la regla de la cadena es $ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) $

Por tanto:

$$ \frac{y'}{y} = -\sin(x) \ln(\sin x) + \cos(x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} - \sin(x)\ln(\sin x) $$

👉 PASO 4

Despejamos $ y' $ multiplicando toda la expresión por la función original $ y = (\sin x)^{\cos x} $:

$$ y' = (\sin x)^{\cos x} \left[ \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} - \sin(x)\ln(\sin x) \right] $$

✅ Conclusión

La derivada es $$ y' = (\sin x)^{\cos x} \left[ \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} - \sin(x)\ln(\sin x) \right] $$

📝 Ejemplo 2 Calcular mediante derivación logarítmica la derivada del cociente múltiple algebraico:

$$ y = \frac{(x + 1)^3 \sqrt{2x - 5}}{(x - 3)^4 (x^2 + 2)^5} \quad \text{para } x > \frac{5}{2}, \; x \ne 3 $$

👉 PASO 1

Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación:

$$ \ln(y) = \ln\left( \frac{(x + 1)^3 (2x - 5)^{1/2}}{(x - 3)^4 (x^2 + 2)^5} \right) $$

👉 PASO 2

Expandimos el segundo miembro transformando los productos en sumas, los cocientes en restas y bajando los exponentes como coeficientes multiplicativos:

$$ \ln(y) = 3\ln(x + 1) + \frac{1}{2}\ln(2x - 5) - 4\ln(x - 3) - 5\ln(x^2 + 2) $$

👉 PASO 3

Derivamos término a término respecto a $ x $ de forma casi inmediata:

$$ \frac{y'}{y} = 3\left(\frac{1}{x + 1}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2x - 5}\right) - 4\left(\frac{1}{x - 3}\right) - 5\left(\frac{2x}{x^2 + 2}\right) $$

Simplificamos los coeficientes:

$$ \frac{y'}{y} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{2x - 5} - \frac{4}{x - 3} - \frac{10x}{x^2 + 2} $$

👉 PASO 4

Despejamos la derivada $ y' $ multiplicando por la función original $ y $:

$$ y' = \left[ \frac{(x + 1)^3 \sqrt{2x - 5}}{(x - 3)^4 (x^2 + 2)^5} \right] \left( \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{2x - 5} - \frac{4}{x - 3} - \frac{10x}{x^2 + 2} \right) $$

✅ Conclusión

La técnica logarítmica permite resolver de forma limpia y directa una derivada que por las reglas convencionales de producto y cociente hubiera sido extraordinariamente farragosa.

📝 Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva potencial-exponencial $ y = x^{\sqrt{x}} $ en el punto de abscisa $ x_0 = 4 $

👉 PASO 1

Calculamos la ordenada del punto de tangencia evaluando en $ x_0 = 4 $:

$$ y_0 = f(4) = 4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16 $$

El punto de contacto es $ P(4, 16) $

👉 PASO 2

Hallamos la función derivada $ y' $ mediante derivación logarítmica.

Tomamos logaritmos para $ x > 0 $:

$$ \ln(y) = \ln\left( x^{\sqrt{x}} \right) = \sqrt{x} \ln(x) = x^{1/2} \ln(x) $$

👉 PASO 3

Derivamos implícitamente respecto a $ x $ aplicando la regla del producto:

$$ \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \cdot \ln(x) + x^{1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln(x) + \sqrt{x}\left(\frac{1}{x}\right) $$

Como $ \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} $:

$$ \frac{y'}{y} = \frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln(x) + 2}{2\sqrt{x}} $$

👉 PASO 4

Despejamos la derivada:

$$ y' = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{\ln(x) + 2}{2\sqrt{x}} \right) $$

👉 PASO 5

Evaluamos la pendiente de la recta tangente en $ x_0 = 4 $:

$$ m = y'(4) = 4^{\sqrt{4}} \left( \frac{\ln(4) + 2}{2\sqrt{4}} \right) = 16 \left( \frac{2\ln(2) + 2}{2(2)} \right) = 16 \left( \frac{2(\ln(2) + 1)}{4} \right) = 16 \cdot \frac{\ln(2) + 1}{2} = 8(\ln(2) + 1) $$

Aproximando numéricamente: $$ m = 8(0.69315 + 1) = 8(1.69315) \approx 13.545 $$

👉 PASO 6

Escribimos la ecuación de la recta tangente en la forma punto-pendiente:

$$ y - 16 = 8(\ln(2) + 1)(x - 4) $$

$$ y = 8(\ln 2 + 1)x - 32(\ln 2 + 1) + 16 = 8(\ln 2 + 1)x - 32\ln(2) - 16 $$

✅ Conclusión

La ecuación de la recta tangente es $ y - 16 = 8(\ln(2) + 1)(x - 4) $

📝 Ejemplo 4 Calcular la derivada de la torre exponencial de tres niveles:

$$ y = x^{(x^x)} \quad \text{para } x > 0 $$

👉 PASO 1

Tomamos logaritmos neperianos en la ecuación principal:

$$ \ln(y) = \ln\left( x^{(x^x)} \right) = x^x \ln(x) $$

👉 PASO 2

Derivamos implícitamente respecto a $ x $ aplicando la regla del producto:

$$ \frac{y'}{y} = (x^x)' \cdot \ln(x) + x^x \cdot [\ln(x)]' = (x^x)' \ln(x) + x^x \left(\frac{1}{x}\right) $$

👉 PASO 3

Recordamos que la derivada del término $ u(x) = x^x $ fue calculada previamente mediante derivación logarítmica:

$$ (x^x)' = x^x (\ln(x) + 1) $$

👉 PASO 4

Sustituimos esta derivada en la expresión:

$$ \frac{y'}{y} = [x^x (\ln(x) + 1)] \ln(x) + x^{x-1} = x^x \left[ \ln^2(x) + \ln(x) + \frac{1}{x} \right] $$

👉 PASO 5

Despejamos $ y' $ multiplicando por la función original $ y = x^{(x^x)} $:

$$ y' = x^{(x^x)} \cdot x^x \left[ \ln^2(x) + \ln(x) + \frac{1}{x} \right] = x^{x^x + x} \left[ \ln^2(x) + \ln(x) + \frac{1}{x} \right] $$

✅ Conclusión

La derivada de la torre exponencial es $$ y' = x^{x^x + x} \left( \ln^2(x) + \ln(x) + \frac{1}{x} \right) $$

📝 Ejemplo 5 Hallar los puntos críticos donde la derivada se anula ($ y' = 0 $) para la función $ y = x^{1/x} $ ($ x > 0 $), y determinar el valor máximo absoluto de dicha función

👉 PASO 1

Tomamos logaritmos neperianos para $ x > 0 $:

$$ \ln(y) = \ln\left( x^{1/x} \right) = \frac{1}{x} \ln(x) = \frac{\ln(x)}{x} $$

👉 PASO 2

Derivamos implícitamente respecto a $ x $ aplicando la regla del cociente en el segundo miembro:

$$ \frac{y'}{y} = \frac{[\ln(x)]' x - \ln(x) [x]'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $$

👉 PASO 3

Despejamos la función derivada:

$$ y' = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right) $$

👉 PASO 4

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero ($ y' = 0 $).

Como $ x^{1/x} > 0 $ y $ x^2 > 0 $, la derivada se anula si y solo si el numerador es cero:

$$ 1 - \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 \implies x = e $$

👉 PASO 5

Determinamos el signo de la derivada en torno a $ x = e \approx 2.718 $:

- Para $ 0 < x < e $: $$ \ln(x) < 1 \implies 1 - \ln(x) > 0 \implies y' > 0 $$

- Para $ x > e $: $$ \ln(x) > 1 \implies 1 - \ln(x) < 0 \implies y' < 0 $$

Por el criterio de la primera derivada, la función alcanza su máximo absoluto global en el punto crítico $ x = e $

👉 PASO 6

Evaluamos el valor máximo absoluto:

$$ y_{\text{max}} = f(e) = e^{1/e} = \sqrt[e]{e} \approx 2.71828^{0.36788} \approx 1.44466 $$

Como consecuencia de este resultado matemático, para cualquier número real $ x > 0 $ se cumple que $ x^{1/x} \le e^{1/e} $, lo que demuestra la célebre comparación: $ e^\pi > \pi^e $

✅ Conclusión

El único punto crítico es $ x = e $, donde la función alcanza su máximo absoluto global con un valor de $$ y_{\text{max}} = e^{1/e} = \sqrt[e]{e} \approx 1.4447 $$