5.1 5.1.1 Interpretación geométrica

ci-5-1-2 5.1.1 Interpretación geométrica

Geométricamente, el valor de la derivada $ f'(x_0) $ representa exactamente la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva $ y = f(x) $ en el punto de contacto $ P(x_0, f(x_0)) $:

$$ m_{\text{tan}} = f'(x_0) = \tan(\alpha) $$

donde $ \alpha $ es el ángulo que forma la recta tangente con el semieje positivo de abscisas.

La ecuación en la forma punto-pendiente de la recta tangente en el punto $ (x_0, f(x_0)) $ es:

$$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

📝 Ejemplo: de recta tangente: Hallar la recta tangente a la parábola $ f(x) = x^2 - 4x + 1 $ en el punto de abscisa $ x_0 = 3 $

Calculamos el valor de la función: $ f(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2 $. El punto de contacto es $ P(3, -2) $

Calculamos la derivada: $$ f'(x) = 2x - 4 \implies m = f'(3) = 2(3) - 4 = 2 $$

La recta tangente es: $$ y - (-2) = 2(x - 3) \implies y + 2 = 2x - 6 \implies y = 2x - 8 $$

La recta normal a la curva en el punto $ P(x_0, f(x_0)) $ es la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el mismo punto de contacto.

Como el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a $ -1 $ ($ m_{\text{tan}} \cdot m_{\text{nor}} = -1 $), la pendiente de la recta normal (siempre que $ f'(x_0) \ne 0 $) es:

$$ m_{\text{nor}} = -\frac{1}{f'(x_0)} $$

Su ecuación punto-pendiente es:

$$ y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) $$

📝 Ejemplo: de recta normal:

Para la misma parábola anterior en $ x_0 = 3 $ con $ P(3, -2) $ y $ f'(3) = 2 $, la pendiente normal es $ m_{\text{nor}} = -1/2 $

La recta normal es: $$ y - (-2) = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $$

Casos singulares de tangentes:

1. Tangente Horizontal: Ocurre cuando $ f'(x_0) = 0 $. La recta tangente es horizontal de ecuación $ y = f(x_0) $ y la recta normal es vertical de ecuación $ x = x_0 $

2. Tangente Vertical: Ocurre cuando la función es continua en $ x_0 $ pero el límite del cociente incremental es infinito: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm \infty $$. La recta tangente es la recta vertical $ x = x_0 $

3. Punto de Retroceso o Cúspide: Ocurre cuando los límites laterales del cociente incremental son infinitos pero con signos opuestos: uno tiende a $ +\infty $ y el otro a $ -\infty $

📝 Ejemplo: de tangente vertical: La función $ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $ en $ x_0 = 0 $ es continua. Calculamos el límite del cociente incremental:

$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2/3}} = +\infty $$

La recta tangente en el origen es la recta vertical de ecuación $ x = 0 $ (el propio eje vertical de ordenadas).

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parábola $ y = x^2 - 4x + 5 $ que pasan por el punto exterior $ A(1, -3) $, y determinar sus respectivos puntos de tangencia

👉 PASO 1

Verificamos que el punto $ A(1, -3) $ no pertenece a la parábola evaluando la función:

$$ f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2 \ne -3 $$

Efectivamente, $ A $ es un punto exterior desde el cual se trazan tangentes hacia la curva.

👉 PASO 2

Sea $ P(x_0, y_0) = (x_0, x_0^2 - 4x_0 + 5) $ un punto de tangencia genérico desconocido sobre la parábola.

La pendiente de la recta tangente en dicho punto viene dada por la derivada:

$$ f'(x) = 2x - 4 \implies m = 2x_0 - 4 $$

👉 PASO 3

La recta tangente pasa tanto por el punto de contacto $ P(x_0, y_0) $ como por el punto dado $ A(1, -3) $

Por tanto, la pendiente debe coincidir con la tasa de variación media entre ambos puntos:

$$ m = \frac{y_0 - (-3)}{x_0 - 1} = \frac{(x_0^2 - 4x_0 + 5) + 3}{x_0 - 1} = \frac{x_0^2 - 4x_0 + 8}{x_0 - 1} $$

👉 PASO 4

Igualamos ambas expresiones de la pendiente:

$$ 2x_0 - 4 = \frac{x_0^2 - 4x_0 + 8}{x_0 - 1} $$

Multiplicamos por $ (x_0 - 1) $:

$$ (2x_0 - 4)(x_0 - 1) = x_0^2 - 4x_0 + 8 $$

$$ 2x_0^2 - 2x_0 - 4x_0 + 4 = x_0^2 - 4x_0 + 8 \implies 2x_0^2 - 6x_0 + 4 = x_0^2 - 4x_0 + 8 $$

$$ x_0^2 - 2x_0 - 4 = 0 $$

👉 PASO 5

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$$ x_0 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} $$

Obtenemos dos puntos de tangencia distintos:

- $$ x_{01} = 1 + \sqrt{5} \implies m_1 = 2(1 + \sqrt{5}) - 4 = -2 + 2\sqrt{5} $$

- $$ x_{02} = 1 - \sqrt{5} \implies m_2 = 2(1 - \sqrt{5}) - 4 = -2 - 2\sqrt{5} $$

👉 PASO 6

Escribimos las ecuaciones de ambas rectas tangentes utilizando el punto conocido $ A(1, -3) $:

- Primera recta tangente:

$$ y - (-3) = (-2 + 2\sqrt{5})(x - 1) \implies y = 2(\sqrt{5} - 1)x - 2\sqrt{5} - 1 $$

- Segunda recta tangente:

$$ y - (-3) = (-2 - 2\sqrt{5})(x - 1) \implies y = -2(\sqrt{5} + 1)x + 2\sqrt{5} - 1 $$

✅ Conclusión

Las dos rectas tangentes que pasan por $ A(1, -3) $ son $ y + 3 = 2(\sqrt{5} - 1)(x - 1) $ y $ y + 3 = -2(\sqrt{5} + 1)(x - 1) $, con puntos de tangencia en $ x_0 = 1 \pm \sqrt{5} $

📝 Ejemplo 2 Hallar las rectas tangente y normal a la elipse implícita $ 4x^2 + 9y^2 = 72 $ en el punto del primer cuadrante cuya abscisa es $ x_0 = 3 $

👉 PASO 1

Hallamos la ordenada $ y_0 $ del punto de contacto sustituyendo $ x_0 = 3 $ en la ecuación de la elipse:

$$ 4(3)^2 + 9y^2 = 72 \implies 4(9) + 9y^2 = 72 \implies 36 + 9y^2 = 72 $$

$$ 9y^2 = 36 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $$

Como el punto pertenece al primer cuadrante, tomamos el valor positivo: $ y_0 = 2 $

El punto de contacto es $ P(3, 2) $

👉 PASO 2

Calculamos la pendiente de la tangente derivando implícitamente la ecuación de la elipse respecto a $ x $:

$$ \frac{d}{dx}(4x^2 + 9y^2) = \frac{d}{dx}(72) \implies 8x + 18y y' = 0 $$

Despejamos la derivada $ y' $:

$$ y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y} $$

👉 PASO 3

Evaluamos la derivada en el punto de contacto $ P(3, 2) $ para hallar la pendiente tangente:

$$ m_{\text{tan}} = y'(3, 2) = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3} $$

👉 PASO 4

Escribimos la ecuación de la recta tangente en $ P(3, 2) $:

$$ y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 3) \implies 3(y - 2) = -2(x - 3) \implies 3y - 6 = -2x + 6 $$

$$ 2x + 3y - 12 = 0 \iff y = -\frac{2}{3}x + 4 $$

👉 PASO 5

Hallamos la pendiente de la recta normal:

$$ m_{\text{nor}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2} $$

Escribimos la ecuación de la recta normal en $ P(3, 2) $:

$$ y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3) \implies 2(y - 2) = 3(x - 3) \implies 2y - 4 = 3x - 9 $$

$$ 3x - 2y - 5 = 0 \iff y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} $$

✅ Conclusión

La recta tangente es $ 2x + 3y - 12 = 0 $ y la recta normal es $ 3x - 2y - 5 = 0 $

📝 Ejemplo 3 Determinar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la hipérbola equilátera $ y = \frac{k}{x} $ ($ k > 0 $) en cualquier punto arbitrario $ P(x_0, y_0) $ del primer cuadrante, y demostrar que dicha área es constante e independiente de la posición del punto de contacto

👉 PASO 1

Sea $ P(x_0, y_0) = (x_0, k/x_0) $ un punto sobre la hipérbola con $ x_0 > 0 $

Calculamos la derivada de $ y = \frac{k}{x} = k x^{-1} $:

$$ y' = -k x^{-2} = -\frac{k}{x^2} $$

La pendiente de la recta tangente en $ P $ es:

$$ m = y'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2} $$

👉 PASO 2

Escribimos la ecuación de la recta tangente en la forma punto-pendiente:

$$ y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0) $$

Desarrollamos:

$$ y = -\frac{k}{x_0^2} x + \frac{k}{x_0} + \frac{k}{x_0} \implies y = -\frac{k}{x_0^2} x + \frac{2k}{x_0} $$

👉 PASO 3

Calculamos el punto de corte de la recta tangente con el eje horizontal de abscisas ($ y = 0 $):

$$ 0 = -\frac{k}{x_0^2} x + \frac{2k}{x_0} \implies \frac{k}{x_0^2} x = \frac{2k}{x_0} \implies x = \frac{2k}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{k} = 2x_0 $$

La base del triángulo rectángulo mide $ B = 2x_0 $

👉 PASO 4

Calculamos el punto de corte con el eje vertical de ordenadas ($ x = 0 $):

$$ y = -\frac{k}{x_0^2}(0) + \frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0} $$

La altura del triángulo rectángulo mide $ H = \frac{2k}{x_0} $

👉 PASO 5

Calculamos el área del triángulo rectángulo formado por los dos ejes coordenados y los segmentos de corte:

$$ \text{Área} = \frac{B \cdot H}{2} = \frac{(2x_0) \cdot \left(\frac{2k}{x_0}\right)}{2} = \frac{4k}{2} = 2k $$

✅ Conclusión

El área del triángulo es estrictamente constante e igual a $ \text{Área} = 2k $, independientemente de las coordenadas del punto de tangencia $ x_0 $

📝 Ejemplo 4 Calcular el ángulo de corte agudo $ \theta \in [0, \pi/2] $ entre las dos parábolas parabólicas:

$$ y = x^2 \quad \text{e} \quad y = 2 - x^2 $$

👉 PASO 1

Hallamos los puntos de intersección igualando ambas funciones:

$$ x^2 = 2 - x^2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$

Por simetría, analizamos el punto de intersección del primer cuadrante $ P(1, 1) $

👉 PASO 2

Calculamos la pendiente de la recta tangente a la primera curva $ y_1 = x^2 $ en $ x = 1 $:

$$ y'_1 = 2x \implies m_1 = 2(1) = 2 $$

👉 PASO 3

Calculamos la pendiente de la recta tangente a la segunda curva $ y_2 = 2 - x^2 $ en $ x = 1 $:

$$ y'_2 = -2x \implies m_2 = -2(1) = -2 $$

👉 PASO 4

El ángulo entre dos curvas en su punto de intersección es el ángulo comprendido entre sus respectivas rectas tangentes, calculado mediante la fórmula:

$$ \tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| $$

👉 PASO 5

Sustituimos las pendientes $ m_1 = 2 $ y $ m_2 = -2 $:

$$ \tan(\theta) = \left| \frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)} \right| = \left| \frac{-4}{1 - 4} \right| = \left| \frac{-4}{-3} \right| = \frac{4}{3} $$

👉 PASO 6

Despejamos el ángulo agudo:

$$ \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ rad} \approx 53.13^\circ $$

✅ Conclusión

El ángulo de intersección entre las curvas es exactamente $ \theta = \arctan(4/3) \approx 53.13^\circ $

📝 Ejemplo 5 Hallar los puntos de la curva cúbica $ y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 $ en los cuales la recta tangente es paralela a la recta secante que une los puntos de la curva en $ x = -2 $ y $ x = 4 $, ilustrando la interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio de Lagrange

👉 PASO 1

Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo $ [-2, 4] $:

- En $ x = -2 $:

$$ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3 \implies A(-2, 3) $$

- En $ x = 4 $:

$$ f(4) = 4^3 - 3(4^2) - 9(4) + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15 \implies B(4, -15) $$

👉 PASO 2

Calculamos la pendiente de la recta secante que pasa por $ A $ y $ B $:

$$ m_{\text{sec}} = \frac{f(4) - f(-2)}{4 - (-2)} = \frac{-15 - 3}{4 + 2} = \frac{-18}{6} = -3 $$

👉 PASO 3

Calculamos la derivada de la función para obtener la pendiente de la recta tangente en un punto genérico $ x $:

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 $$

👉 PASO 4

Para que la recta tangente sea paralela a la secante, sus pendientes deben ser iguales:

$$ f'(x) = m_{\text{sec}} \implies 3x^2 - 6x - 9 = -3 $$

$$ 3x^2 - 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 $$

👉 PASO 5

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} $$

Aproximando numéricamente:

$$ x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732, \qquad x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732 $$

Ambos puntos pertenecen al interior del intervalo considerado: $ 1 \pm \sqrt{3} \in (-2, 4) $

✅ Conclusión

Existen dos puntos donde la recta tangente es paralela a la secante: $ x = 1 - \sqrt{3} $ y $ x = 1 + \sqrt{3} $